浙教版九年级上册数学4.5 相似三角形性质及应用知识点分类训练

4.5相似三角形性质及应用知识点分类训练班级：姓名：考点一：利用三角形相似性质求解例1．若两个相似三角形的面积比是16:9，则这两个三角形对应边上的高之比是（

）A．16:9 B．9:16 C．3:4 D．4:3变式1-1．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CEA．76565 B．72 C．14变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，则△ABC与△ODC的面积比是（）A．9:1 B．3:1 C．4:1 D．2:1考点二：利用三角形相似求坐标例2．如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为A．12,2 B．22,2 变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个考点三：相似三角形动点问题例3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（

）

A．2411s B．95s C．24变式3-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′A．2013 B．2320 C．4023变式3-2．如图，⊙O半径为5，弦AB=8，Q是弦AB上的一个动点，过点Q作弦PC，在点Q运动过程中，始终保持A点是PC的中点，则AP+QB长度的最大值为（

）A．8 B．9.5 C．10 D．12考点四：相似三角形性质综合例4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，点D在边AB上，且AD=2，在AC上找一点E．便得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（

）A．2.4 B．53 C．2.4或53 变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cmA．y=12xC．y=2x+1.6 D．y=变式4-2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE=4，EC=6，则EFBF的值为（

A．3030 B．255 C．30考点五：相似三角形的应用例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（

A．1 B．2 C．3 D．4变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm变式5-2．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD．立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深AD为（

）A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸参考答案考点一：利用三角形相似性质求解例1．若两个相似三角形的面积比是16:9，则这两个三角形对应边上的高之比是（

）A．16:9 B．9:16 C．3:4 D．4:3【答案】D【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是16:9∴这两个相似三角形的相似比是4:3∴这两个相似三角形对应边上的高之比是4:3．故选：D．变式1-1．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CEA．76565 B．72 C．14【答案】D【详解】由勾股定理得DB=A∵AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°∴∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，∴△DAB∽△CED，∴CEAD∴CE7解得CE=28故选：D．变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，则△ABC与△ODC的面积比是（）A．9:1 B．3:1 C．4:1 D．2:1【答案】A【详解】解：∵点A的坐标为−2,0，点C的坐标为1,0，∴OA=2,OC=1，∴AC=3，∵△ABC∽△ODC，∴相似比为：ACOC∴△ABC与△ODC的面积比是9:1，故选：A考点二：利用三角形相似求坐标例2．如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，则△ABC∵∠ACB=90°，①、当点E的坐标为(2,1)时，∠DCE=90°，CE=CD=2，则△DCE∽△BCA②、当点E的坐标为(3,1)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；③、当点E的坐标为(4,2)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；④、当点E的坐标为(5,2)时，∠CDE=90°，CD=DE=2，则△CDE∽△ACB故选：D．

变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为A．12,2 B．22,2 【答案】A【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A在函数y=1xx>0∴S△OCE=2，∵CE⊥x轴，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90°，∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠OCE=∠AOF，∴△OCE∼△AOF，∴CEOF∴CE=2OF，OE=2AF，设点A坐标为(x,1x)连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，∴x+(−2解得：x1=1∴点A坐标为(1故选A．变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】解：如图，P有四种情况，①∵△ABP∴BP设BPx3x1=2，P1②∵△ABP∴ABCD设DP43x=12P2③∵△ABP∴ABP设P34xx1=2，P3④∵△ABP∴ABCD设DP43x=12，P4故选：B．考点三：相似三角形动点问题例3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（

）

A．2411s B．95s C．24【答案】C【详解】解：设运动时间为ts，由题意得：BP=t，CQ=2t，∵AB=8,BC=6，∴BQ=BC−CQ=6−2t，点P从点B运动到点A所需时间为81=8s，点Q从点C运动到点B所需时间为∴0<t<3，∵AB=AC≠BC，∴∠B=∠C≠∠A，①当△BPQ∽△BAC时，则BPAB=BQ解得t=24②当△BQP∽△BAC时，则BQAB=BP解得t=9③当△BPQ∽△CAB时，则BQBC=BP解得t=24④当△BQP∽△CAB时，则BQAC=BP解得t=9综上，运动时间为2411s或故选：C．变式3-1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′A．2013 B．2320 C．4023【答案】A【详解】解：如图2，连接PP′，PP′交QC相交于点E，当四边形PQP′C为菱形时，PE∵∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=A∵点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s∴AP=5−t，∵PE⊥AC，∠ACB=90°，∴PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∴AEAC∴AE4∴AE=−4∴QE=AE−AQ=−4又∵QE=1∴−9解得t=20∵0<20∴当四边形PQP′C是菱形时，t故选A．变式3-2．如图，⊙O半径为5，弦AB=8，Q是弦AB上的一个动点，过点Q作弦PC，在点Q运动过程中，始终保持A点是PC的中点，则AP+QB长度的最大值为（

）A．8 B．9.5 C．10 D．12【答案】C【详解】解：连接AC，∵A点是PC的中点，∴PA=AC，∴∠PBA=∠APQ又∵∠PAQ为公共角，∴△APQ∽△ABP，∴APAB设AP=x，有x8=AQAP+QB=AP+(AB−AQ)=x+8−当x=4时AP+QB取最大值10；故选：C．考点四：相似三角形性质综合例4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，点D在边AB上，且AD=2，在AC上找一点E．便得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（

）A．2.4 B．53 C．2.4或53 【答案】C【详解】解：由题意知，分△ADE∽△ABC，△AED∽△ABC两种情况求解；当△ADE∽△ABC时，AEAC=AD解得，AE=2.4；当△AED∽△ABC时，AEAB=AD解得，AE=5综上所述，AE的长是2.4或53故选：C．变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cmA．y=12xC．y=2x+1.6 D．y=【答案】B【详解】解：由图2可得，AF=BG=xm,EF=EG−FG,FG=AB=1.6m,EG=ym，∴EF=(y−1.6)m，∵CD⊥AF,EF⊥AF，∴CD∥EF，∴△ADC∽△AFE，∴CD即30EF∴30化简，得y=1故选：B．变式4-2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE=4，EC=6，则EFBF的值为（

A．3030 B．255 C．30【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD，AO=CO，∴∠AFD=∠CDF，∵DF⊥AB，∴∠AFD=90°，∴∠CDF=90°，∴∠CDE=∠COD=90°，又∵∠DCE=∠OCD，∴△CDE∽△COD，∴CDCO即CD∵AE=4，EC=6，∴AC=AE+CE=4+6=10，∴AO=CO=5，∴OE=AO−AE=5−4=1，∴CD即CD=30∴AB=CD=30∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，∴AECE∴46∴AF=2∴BF=AB−AF=30∴EF=∴EFBF故选：B．考点五：相似三角形的应用例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴BPDP∴BP8−BP解得：BP=2，经检验，BP=2是原方程的解且符合题意，∴将平面镜P放置在离王刚2m处才能观测到大树的顶端．故选：B．变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【详解】解：设像CD到小孔O的距离为xcm由题意得AB∥CD,∴∠ABO=∠DCO，∠B