新高考数学二轮复习热点2-1 函数的单调性 奇偶性 周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点2-1函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。【题型1判断函数的单调性】满分技巧判断函数的单调性的四种方法1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间SKIPIF1<0上是增函数的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于A，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函数，不符题意；对于B，因为幂函数满足SKIPIF1<0，且其定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，所以SKIPIF1<0是偶函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，符合题意；对于C，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函数，不符题意；对于D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是增函数，不符题意.故选：B.【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减【答案】C【解析】由题意知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0为奇函数，在SKIPIF1<0上单调递减.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故A错误，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故B错误；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故C正确；取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不单调递减，故D错误.故选:C.【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则函数SKIPIF1<0的单调增区间是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为偶函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象是由函数SKIPIF1<0的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数SKIPIF1<0的单调增区间是SKIPIF1<0．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0是增函数B．SKIPIF1<0是减函数C．SKIPIF1<0是增函数D．SKIPIF1<0是减函数【答案】A【解析】不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是增函数．故选:A.【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数SKIPIF1<0在定义域中满足SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】对于A，函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A不是；对于B，函数SKIPIF1<0的定义域是R，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，B不是；对于C，函数SKIPIF1<0的定义域是R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，C正确；对于D，函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D不是.故选：C【题型2利用函数的单调性求参数】满分技巧利用单调性求参数的三种情况：1、直接利用题意条件和单调性代入求参；2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，只需要SKIPIF1<0即可，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，成立；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是二次函数，由二次函数的性质可得，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0恒成立.若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故不成立.所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件.故选：A.【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<01C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<00【答案】D【解析】由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减的充要条件为SKIPIF1<0，那么其成立的一个充分不必要条件可以是SKIPIF1<0.故选：D.【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0图像的对称轴为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：B【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为对于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，所以函数SKIPIF1<0是增函数，则函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为增函数，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【题型3函数的奇偶性及应用】满分技巧1、常见的奇函数与偶函数（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为偶函数；（2）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为奇函数；（3）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为奇函数；（4）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为奇函数；（5）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为奇函数；（6）SKIPIF1<0为偶函数；（7）SKIPIF1<0为奇函数；2、函数奇偶性的应用（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；（3）求参数：利用待定系数法求解，根据SKIPIF1<0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，下列函数是奇函数的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由于SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不是奇函数，A错误；SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称，即SKIPIF1<0不是奇函数，B错误；SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称，即SKIPIF1<0不是奇函数，C错误；SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为奇函数，D正确，故选：D【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数SKIPIF1<0为奇函数，则实数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．0C．1D．2【答案】B【解析】函数SKIPIF1<0有意义，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，又SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0为偶函数，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍去），或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意知，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A【题型4奇函数+常数求值】满分技巧已知SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】0【解析】令SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，关于原点对称，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数SKIPIF1<0为奇函数，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值分别为M，N，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．2D．4【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值和最小值分别为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为奇函数，故SKIPIF1<0的图象关于原点对称，故SKIPIF1<0,故选：D【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数SKIPIF1<0的最大值和最小值之和为4，则SKIPIF1<0．【答案】2【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大数值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值与最小值之和为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．【题型5函数的周期性及应用】满分技巧（是不为0的常数）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则（）；【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0上的奇函数，满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】因为函数SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】5【解析】由SKIPIF1<0为奇函数，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0为偶函数得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是周期为4的偶函数，所以SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，函数周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为SKIPIF1<0的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【题型6函数的对称性及应用】满分技巧1、关于线对称：若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，特别地，当a＝b＝0时，函数SKIPIF1<0关于y轴对称，此时函数SKIPIF1<0是偶函数．2、关于点对称：若函数SKIPIF1<0满足，则函数SKIPIF1<0关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0关于原点对称，此时函数SKIPIF1<0是奇函数．【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象的对称轴是（）A．SKIPIF1<0轴B．SKIPIF1<0轴C．直线SKIPIF1<0D．不能确定【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0的图象的对称轴为SKIPIF1<0轴．故选：B【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上所有零点之和为（）A．16B．32C．36D．48【答案】B【解析】依题意函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是周期为4的周期函数，且函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0中心对称；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由反比例函数性质知函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0中心对称，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，结合对称性和周期性作出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图可知，函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象有8个交点，且交点关于SKIPIF1<0中心对称，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上所有零点之和为SKIPIF1<0.故选：B【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的所有实根之和为（）A．0B．3C．6D．12【答案】C【解析】由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在同一直角坐标系中画出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有3个交点，所以所有的实根之和为SKIPIF1<0，故选：C.【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都关于SKIPIF1<0中心对称且为SKIPIF1<0上的增函数,所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0中心对称且为SKIPIF1<0上增函数，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等号，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C．【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0是奇函数且关于坐标原点对称，所以SKIPIF1<0两个函数均是以点SKIPIF1<0为对称中心的函数，所以三个交点其中一个必是点SKIPIF1<0，另外两个点关于点SKIPIF1<0对称，不妨记SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，且在SKIPIF1<0单调递减，设SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0是偶函数，在区间SKIPIF1<0上单调递减，所以在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，故选：B【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，又由函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0上单调递增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0．故选：A．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0均只有一条对称轴SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0只有一条对称轴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，所以SKIPIF1<0.故选：A.【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的单调函数，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的单调函数．所以存在唯一SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.如图所示作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象，因为它们互为反函数，则图象关于直线SKIPIF1<0对称，由SKIPIF1<0，在图中作直线SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0的交点的横坐标依次为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是单调递增的，所以SKIPIF1<0，故选：C.【题型8利用函数的性质解不等式】满分技巧解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，则不等式SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上，可得不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：A【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，又当SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0均为单调递增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：A．【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，对任意正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨取任意正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，结合函数单调性可以得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：B.【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题易知，SKIPIF1<0的定义域为R，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数.又SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为奇函数，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不恒成立，不符合题意；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.综上，a的取值范围为SKIPIF1<0.【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】由题可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由SKIPIF1<0为偶函数可得，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得S