新高考数学二轮复习重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移（8题型 满分技巧 限时检测）（解析版）

重难点2-4利用导数研究不等式与极值点偏移8大题型函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。【题型1单变量不等式的证明】满分技巧不等式证明的常用思路1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数【例1】（2024·山东青岛·高三校考期末）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）当时，，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在上单调递增，在上单调递减，（2）（法一）当时，由（1）可知，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在单调递减，在单调递增，因此，（当且仅当时取得等号）（法二）当时，令，可知于是在单调递减，在单调递增，因此，（当且仅当时取得等号）．令，则由（1）知：故在单调递增，因此．所以．【变式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函数.（1）当时，求的单调区间（2）讨论的单调性；（3）当时，证明.【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）答案见解析；（3）证明见解析【解析】（1）当时，，的定义域为，则，故当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；（2）的定义域为，．若，则当时，，故在单调递增，若，则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；（3）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，所以等价于，即，设，则，当时，，当时，所以在单调递增，在单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，从而当时，，即.【变式1-2】（2024·陕西榆林·高三一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）函数的定义域为.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，解得.（2）证明：由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，从而在上的最大值为.故，即.【变式1-3】（2024·内蒙古·高三校考期末）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：在上.【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，即，令，求导得，当时，单调递减；当时，单调递增，于是，即，所以当时，，即.【题型2双变量不等式的证明】满分技巧双变量不等式的处理策略：含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，得．因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立．因为当时，（当且仅当时，等号成立），所以，解得．所以的取值范围为．（2）方法一：设．由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增．因为，所以，即．所以．故．方法二：要证，即要证，即要证．记，则只要证．记，则．记，则，所以在上单调递增．所以在上单调递增，所以．所以在上单调递增，所以．所以成立．故．【变式2-1】（2024·北京西城·高三统考期末）已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当且时，判断与的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2）增区间，减区间（3），理由详见解析【解析】（1）时，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）的定义域为，，所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增，所以的增区间，减区间；（3）当且时，，证明如下：令，则，设，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，所以的单调递增区间为.当时，，即，当时，，即，综上所述，当且时，.【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中.（1）当时，求的极值；（2）当，时，证明：.【答案】（1）有极大值，极小值；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，，，所以当时，，，由解得：或，由解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故有极大值，极小值.（2）由题意，，，要证，只需证，而，，所以只需证，即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：证法1：要证，只需证，即证，令，则，所以在上单调递增，显然，所以当时，，因为，所以，即，故.证法2：要证，只需证，即证，令，则，所以只需证当时，，即证，令，则，所以在上单调递增，又，所以成立，即，故【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）知函数．（1）求函数的单调区间和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：．【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数，（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）令得；令得：；在上为增函数，在上为减函数．故.（2）由（1）知：当时，有，，即：，．（3）将变形为：即只证：设函数，令，得：．在上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：．，即：，令，，则，成立．【题型3对称化构造解决极值点偏移】满分技巧1、和型（或）问题的基本步骤：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；2、积型问题的基本步骤：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.【例3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）已知在上单调递增，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为..①当时，由得，单调递增，由得，单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减；②当时，由得，或，在区间上单调递减，在区间上单调递增；③当时，在上单调递增；④当时，由得，或，由得，，在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）知，当且仅当时，在上单调递增，即：.，又且在上单调递增，和均不成立.故不妨设，因此要证，即证，因为在上单调递增，所以即证.又，故只需证，即证.设，.，故.因此在上单调递增，所以.故，又因为在上单调递增，.【变式3-1】（2024·山西晋城·统考一模）已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若有两个零点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）．令，易知单调递增，且．当时，,即，单调递减；当时，,即，单调递增．所以，即，所以的取值范围是．（2）由的单调性可设．令．令，则，所以在上单调递增，则，所以．所以，即，即．因为当时，单调递减，且，所以，即．【变式3-2】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数.（1）若有唯一极值，求的取值范围；（2）当时，若，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；若，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意；若，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意；当时，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点，所以的取值范围是.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，由，，不妨令，要证，只证，即证，就证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，而，则，即，又，因此，显然，又函数在上单调递增，则有，所以.【变式3-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的最小值为.（1）求实数的值；（2）若有两个不同的实数根，求证：.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，令，可得，当时单调递减；当时单调递增.所以，所以.（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，所以，先证明.记，则，当时，，所以单调递减，所以当时，，即，故，即.又，由单调性知：，即.再证明.记函数与和交点的横坐标分别为.①当时，，故，所以，.（或：的图象在的图象的下方，且两个函数在上都是减函数）②当时，记，所以.当时单调递减；当时单调递增.又，当时，，即.故所以，故.（或的图象在的图象的下方，且两个函数在上都递增）综上，.【题型4比值代换法解决极值点偏移】满分技巧比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用表示）表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于的函数问题求解。【例4】（2023·全国·高三统考月考）已知是函数的导函数．（1）讨论方程的实数解个数；（2）设为函数的两个零点且，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）函数，，令，，（i）当时，，则在上单调递减，有且仅有1个零点；（ii）当时，，则在上单调递减，，则在上有一个零点；（iii）当时，令，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，因此的最小值为，令，解得，又因为，，令函数，求导得，函数在上单调递增，于是，而，因此，由函数零点存在定理得，在区间和上各有一个零点，当，即时，在上只有一个零点，当时，在上没有零点，所以当时，在上有两个零点，即方程的有两个实数解；当或时，在上有一个零点，即方程的有一个实数解；当时，在上没有零点，即方程的无实数解.（2）由（1）知有两个零点，，，，则，由是的两个零点，得，，即，，两式相减得，令，则，，，于是，，，要证，即证，即证，只需证：，令，，，令,故在上单调递减，因此，则在上单调递增，所以，从而得证，即.【变式4-1】（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由且，可得.设，，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，所以要使的图象与直线有两个交点，则，故的取值范围是.（2）证明：，由（1）得，则，.设，则，即，.设，则.设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.又，，，所以存在唯一的，使得，即，所以的最小值为，，所以，故.【变式4-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题设且，若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符；故，又有两个极值点，则，是的两个不同正根，所以，可得，即实数的取值范围是.（2）由（1）且，，不妨设，则，要证，需证，即，只需证，即，令，则证，由（1），时，即，所以在上递增，又，故，即，综上，.【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）设函数.（1）若，求函数的最值；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【答案】（1）无最小值，最大值为；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，则.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，最大值为.（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在上单调递增，当时，，即，原不等式成立，即.【题型5导数与数列不等式证明】满分技巧1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的不等式），还有注意指、对数式的互化，如可化为【例5】（2024·安徽合肥·高三统考期末）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：对于任意正整数n，都有．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）的定义域为，，若，当，则，所以在上单调递增；若，当，则，所以在上单调递减；当，则，所以在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递减.（2）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，即当时，，对于任意正整数，令，有，所以，即，即.【变式5-1】（2024·山西·高三统考期末）已知函数.（1）若当时，，求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题可知.令，其图象的对称轴为直线.当即时，在单调递增，又，所以当时，恒成立，从而恒成立，所以在单调递增，又，所以恒成立.当即时，在单调递减，在单调递增，又，所以当时，恒成立，从而恒成立，在单调递减，又，所以当时，，与已知矛盾，舍去.综上所述，的取值范围为.（2）由（1）可知，当时，，从而，于是.【变式5-2】（2023·天津红桥·统考一模）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：（，）.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）当时，函数的定义域为，，，曲线在点处的切线方程的斜率，则切线方程为；（2）若恒成立，则恒成立，设，，，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减..；（3）证明：结合（2），令，则，即，则，（当且仅当时取等号），，，…，，，（，）.【变式5-3】（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数.（1）若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）易知函数的定义域为.由，可得.设，则，，且与有相同的零点个数.思路1：令，，则.当时，，则，即，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.当时，显然，则，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.当时，由，解得，，且.当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减.不难得知，，（令，故在单调递减，故，即，），则在有一个零点，可知不只一个零点，不合题意.综上，可知.思路2：令，.当时，在单调递减，有，即，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.当时，.若，则，可得在单调递减，则有且仅有一个零点.若，存在，且，使得.后续过程同思路1.综上，可知（2）取，当时，，有，即，则.令，，则，即，从而.【题型6三角函数型不等式证明】满分技巧1、正余弦函数的有界性：；2、三角函数与函数的重要放缩公式：.【例6】（2023·全国·高三专题练习）当时，证明：恒成立.【答案】证明见解析【解析】由题意可知，函数的定义域为，先证明，令，则，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，所以，，设，其中，则且不恒为零，所以，在上为增函数，故当时，，所以，，因为，故，故原不等式得证.【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，.（1）讨论的极值；（2）若，，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以.当时，，此时在R上单调递增，无极值.当a>0时，令，则，解得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以当时，有极小值，极小值为.综上所述，当a≤0时，没有极值；当a>0时，有极小值，为，无极大值.（2）证明：因为，所以.要证，可证，分两步进行.①先证当时，.令，则.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，所以，即.②再证当时，.易知，由（1）知，当，时，，即，所以当时，.令，，则，显然为减函数，，所以在上先正后负，先增后减，且所以，所以当时，，所以.因为当时，，即，所以.因为，所以，即，所以，即，所以.结合①②可知，即.【变式6-2】（2023·江苏常州·校考一模）已知函数.（1）若，求的值；（2）证明：当时，成立.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）解法一：由，得，又，所以是的极小值点，故，而，故，若，则，当；当，所以在单调递减，在单调递增，故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，解法二：由，得，又，当时，有恒成立，所以在上单调递减，又，则不成立，当时，令，得，则时，有时，有，即在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，，函数在单调递减，单调递增，，当且仅当取等号，故；（2）当时，，设，当时，，又由（1）知，故，当时，，设，则，则在单调递增，，所以，则在单调递增，，综上，，即当时，.【变式6-3】（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数.（1）求的极值；（2）已知，证明：.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析【解析】（1），，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上单调递增，在和上单调递减.所以的极大值为的极小值为.（2）由，可得，所以.由对称性，不妨设，则，当且仅当时，等号成立，所以.由（1）可知在上的最大值为，所以，当且仅当时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以.【题型7不等式恒成立求参问题】满分技巧1、利用导数求解参数范围的两种方法（1）分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围最后取并集。2、不等式恒成立问题转化：（1），（2），【例7】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知函数，，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，等价于，记，即在上恒成立，.当即时，，在上单调递减，所以当时，即恒成立；当时，记，则，当时单调递减，又，，所以存在，使得，当时，，单调递增，所以，即，所以当时，即，不符合题意；当时，，不符合题意.综上，的取值范围是.故选：C【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故，故，令，则，令，故，令，故，故当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得，故实数的取值范围为，故选：D【变式7-2】（2024·江西赣州·高三统考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求a和b的值；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）依题意知，当时，，即，所以，则，易得，于是，所以，即；（2）因为，所以原不等式可变为，记，则上式等价于，，记，则，于是在上单调递减，又，所以当时，，即，当时，，即，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故m的取值范围是.【变式7-3】（2024·山东枣庄·高三统考期末）已知函数.（1）若是增函数，求的取值范围；（2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意.因为函数在其定义域上单调递增，所以.设，①当时，函数在上单调递增，只须，无解.②当时，只须，解得：，综上所述：实数的取值范围是.（2）由（1）知，因为有两个极值点为，所以在上有两个不同的根，此时方程在上有两个不同的根.则，且，解得.若不等式恒成立，则恒成立.因为设.则，因为，所以，所以在上递减，所以，所以，即实数的取值范围为.【题型8不等式能成立求参问题】满分技巧1、形如有解问题的求解策略（1）构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；（2）参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求的函数的单调性与最值即可。2、单变量不等式能成立问题转化（1），（2），3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．【例8】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数．若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，当时，，函数在上单调递减，，若存在实数，使得不等式成立，等价于成立，又，，，所以．当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，为正实数，，又函数在上单调递增，，解得正实数的取值范围为．故选：C．【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对于存在，存在，使，所以，，，又，，显然在上单调递减，则，当时，，即在上单调递增，则，由解得：，所以实数的取值范围为.故选：A.【变式8-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）【解析】（1）当时，，∴，由，得，由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）原条件等价于：在上存在实数解．化为在上存在实数解，令，则，∴在上，，得，故在上单调递增，∴的最小值为，∴时，不等式在上存在实数解．【变式8-3】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，则，即切线的斜率，且，即切点坐标为，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由题意可知：，因为的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递减，可得，由（1）可设，则，所以，当时，；当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增.且，可知在区间上只有一个零点，设为，当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，可得当时，，所以，解得，所以实数的取值范围是.（建议用时：60分钟）1．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，因为，所以，即恒成立，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，若时，不等式恒成立，则恒成立，若时，，恒成立，则也成立，所以当时，恒成立，所以得，即，设当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即正实数的最小值为.故选：C.2．（2024·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，则，，当时，，恒成立，即任意，对恒成立；当时，，即，其中，构造函数，则.，因为，所以，单调递增；则有，则，构造函数，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，即当时，，故要使恒成立，则，即的取值范围为.故选：B.3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A．B．