新高考数学二轮复习解答题培优练习专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造法 2题型二：倒数法 5三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 8一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此构造出新的等比数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，从而求出数列SKIPIF1<0的通项公式.标准模型：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如SKIPIF1<0，可通过两边同除SKIPIF1<0，将它转化为SKIPIF1<0，从而构造数列SKIPIF1<0为等差数列，先求出SKIPIF1<0的通项，便可求得SKIPIF1<0的通项公式.（2）形如SKIPIF1<0，可通过两边同除SKIPIF1<0，将它转化为SKIPIF1<0，换元令：SKIPIF1<0，则原式化为：SKIPIF1<0，先利用构造法类型1求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的通项公式.（3）形如SKIPIF1<0的数列，可通过两边同除以SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0的形式，从而构造出新的等差数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，便可求得SKIPIF1<0的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，通过两边取“倒”，变形为SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，从而构造出新的等差数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，即可求得SKIPIF1<0.类型2：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的数列，通过两边取“倒”，变形为SKIPIF1<0，可通过换元：SKIPIF1<0，化简为：SKIPIF1<0（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此构造出新的等比数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，从而求出数列SKIPIF1<0的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解法一：在递推公式SKIPIF1<0的两边同时除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0，则①式变为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等比数列，其首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解法二：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0比较可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．数列SKIPIF1<0为等差数列 D．SKIPIF1<0为等比数列【答案】ABC【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为首项是1，公差为SKIPIF1<0的等差数列，即SKIPIF1<0.显然A、C正确；SKIPIF1<0，故B正确；由通项公式易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三者不成等比数列，故D错误．故选：ABC．例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知SKIPIF1<0数列满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等差数列，公差为1，首项为1，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此式也满足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首项为1公差为1的等差数列，则SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0题型二：倒数法例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0为等比数列B．SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为单调递减数列D．SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选项B正确；根据函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为单调递减数列，故选项C正确；SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，故选项D正确,故选：BCD.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项和公差均为SKIPIF1<0的等差数列，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式SKIPIF1<0，且首项SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0．先求出数列的不动点SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．将不动点SKIPIF1<0代入递推公式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列．∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0．【详解】由题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，3为公比的等比数列．于是SKIPIF1<0．例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取倒得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0．例题6．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：假设SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0矛盾，故假设不成立，所以SKIPIF1<0成立.7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0为等比数列：【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0故数列SKIPIF1<0为等比数列.三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D二、填空题2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的最小正整数SKIPIF1<0．【答案】5【详解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．另一方面由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为3的等比数列，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是递增数列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的最小正整数SKIPIF1<0．故答案为：5．3．（2023·全国·高三对口高考）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(定值)，故数列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则此数列的通项公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<05．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列{an}的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0．【详解】∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等差数列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．6．（2023·全国·高二专题练习）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0；三、解答题7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0求通项SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】取倒数：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为2，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以3为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.【答案】SKIPIF1<0【详解】将SKIPIF1<0代入已知可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】SKIPIF1<0．【详解】解：由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0(1)试求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0，将其变形为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差数列的定义可知SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0、公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.13．（2023春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公比，SKIPIF1<0为首项的等比数列，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首项为S