新高考数学二轮复习解答题培优练习专题07 数列求和（错位相减法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题07数列求和（错位相减法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1题型一：乘型 1题型二：除型 5三、专题07数列求和（错位相减法）专项训练 9一、必备秘籍错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前SKIPIF1<0项和即可用此法来求.SKIPIF1<0倍错位相减法：若数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫SKIPIF1<0倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.二、典型题型题型一：乘型例题1．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减并化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题2．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)求数列SKIPIF1<0的公比q；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)13【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，错位相减得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴满足SKIPIF1<0的n的最小值为13．例题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设等差数列的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1），SKIPIF1<0（2），由（1）-（2）得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，若为SKIPIF1<0奇数时SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.例题4．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0也适合SKIPIF1<0；所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也适合，故SKIPIF1<0；又数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等比数列，设公比为q，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.题型二：除型例题1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为递增的等差数列，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若数列SKIPIF1<0为等差数列，求非零常数SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的条件下，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0为递增的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两根，因为数列SKIPIF1<0为递增的等差数列，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为等差数列，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题2．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知各项为正的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②.②SKIPIF1<0①两得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，且满足SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列；（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例题4．（2023春·河南周口·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,两式作差得:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首项为1,公比为2的等比数列,则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.（2）由(1)知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，两式作差得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.三、专题07数列求和（错位相减法）专项训练一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】令数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前100项之和为SKIPIF1<0.故选：B2．（2023·全国·高三对口高考）数列SKIPIF1<0的前n项之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，两式相减可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0..故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）复数SKIPIF1<0的虚部为(

).A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1011 D．2022【答案】A【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以复数z的虚部为1012，故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.二、填空题5．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由已知得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为：SKIPIF1<0，①则：SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.7．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项即为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项即为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，两式相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，经检验符合要求.则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，③-④得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0三、解答题9．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比不为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以分别解得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因此由定义可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的通项公式分别为SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以由题意有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，以上两式作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【详解】（1）设SKIPIF1<0的公比为q，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式与SKIPIF1<0；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)证明见解析【详解】（1）解：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）证明：SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0