精讲精炼（必修第二册） 7 .2 复数的四则运算

7.2复数的四则运算(精讲)

思维导图

设4=。+及，m=c+di(a,b,c,deR)是任意两个复数，则

0l+z2—(a+c)+(Z>+</)i;®zi-Z2—(a-c)+(b~d)i.

对任意Zl,Z2,tjEC,有

加减运算

@1=Z1+ri;®(ZI+zi)+t3=ri+(£：+«).

①复数的乘法法则

设n=a+6i,zi=c+di(a,b,c,d^R)是任意两个复数,

则irz:=(a+bi)(c+d1)=(ac—bd)+(ad+bc)i.

复

数

的

四

则

运

算

设zi=a+bi,zi=c+di(a,b,c,rfGR,且c+di#))是任意两个复数,

B,^__a+bi_ac+bdbc—ad,

M^一-Z7_-,i,+，”i(c+di和)•

公式Sc+dii--t-d-c--t-d-

①首先将除式写为分式.

除②再将分子、分母同乘以分母的共枕复数.

法③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数

思路，一的代数形式.

——

复数范围内实系数一元二次方程&+6x+c=0(a#0)的求根公式为

i_一任7a—4ac

①当时,

bd^\l—(b~—4ac)i

-----------②当/<0时，k

复数求根e--------------------------

常见考法

考点一复数的加减运算

［例1353.(2021•全国•高二课时练习)计算下列各式的值

⑴(4+3i)+(5+7/)；(2)(-5+0-(3-2i)；

(3)(3+2i)+(-3-20；(4)(6-3i)-3i-2).

【答案】⑴9+10i；⑵-8+3i；(3)0；(4)8.

【解析】(1)(4+3i)+(5+7i)=(4+5)+(3i+7i)=9+10i

(2)(-5+z)-(3-2i)=(-5-3)+(/+2/)=-8+3z

3)(3+2/)+(-3-2Z)=(3-3)+(2z-2z)=0

(4)(6-3z)-(-3z-2)=(6+2)+(—3i+3i”8

故答案为：⑴9+10i；⑵-8+3i；(3)0；(4)8

【一隅三反】

1.（2021•安徽•宣城市励志中学高一月考）计算:

⑴(2->.|i

⑵已知4=2+3i,z2=-l+2i,求A+z2,z,-z2.

【答案】(Dl+i⑵l+5i,3+i

【解析】⑴

(2)4=2+3i,z2=-l+2i,

.-.zl+z2=2+3i+(-l+2i)=l+5i,-z2=2+3i-(-l+2i)=3+i

2.(2021•上海•高一课时练习)化简下列复数

(1)(6-5i)+(3+2i)

(2)(5-6z)+(-2-z)-(3+4z)

【答案】(1)9-3/；(2)-111.

【解析】(l)(6-5i)+(3+2i),=(6+3)+(2-5＞，=9-3/.

(2)(5-6/)+(-2-/)-(3+4/),=(5-2-3)+(-6-l-4)z,=-11/.

3.(2021•全国•高二课时练习)计算下列各式的值.

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(.a-b)-(a+b)i],其中a,beR.

【答案】⑴:7一25八(2)2+2必

612

【解析】(1)根据复数的加减运算,展开化简可得

.75.

I=-----1

612

(2)[(ci+b)+(a—b)i]—[(tz—b)—{a+b)i]=[(a+b)—(a—/?)]+[(a—b)+{a+b)]i=2Z?+2cii

考点二复数的乘除运算

[例2](2021•山西・长治市潞城区)计算：

1-行

⑴R+狄4-)⑵支皿为⑶州la；

(4)nr^v-

[22)l+i2+i

⑸。-吗+?+2+上

3+4i(l+i)(i-l)+i

【答案】⑴-9-7i；(2)2-i.(3)|+|i；(4)-y-^i.(5)l-i;(6)-l+i

5544

(\3A1I33

【解析】(1)—+-i(4i-6)=—•4iH—(-6)+—i-4i+—i-(—6)=2i—3—6—9i=—9—7i.

\22)2222

⑵一币—=一而而—=一2—=M+%)=2t.

(1+2i)2+3(1—i)_-3+4i+3—3i_i_i(2-i)_12.

⑹-------------------=-----------------=-----=--------=——1；

2+i2+i2+i555

小_(石+i)(-i)_，一后.

+ij(73+i)2百+i444

仁、e〜(1-旬。+。+2+药7+i(7+i)(3-4i)25-25i,：

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)25

⑹原式二月哈二T二产胃二筌一+i

(1+1)(1-1)4-1-2+1(-2+i)(2+i)-5

【一隅三反】

15-5i

1.（2021•安徽•安庆市白泽湖中学）己知复数Z=2-3i,22=^—T,求:

⑴乃;⑵五.

z2

z]]3

【答案】6平2=-7-91」2)£=而+而1.

…广，_15-5i15-5(15-5i)(3-4i)25-75i

【斛析】“2_Q+i>_3+方一(3+4i)(3-4i)

25

(l)Z1z2=(2-3i)(l-3i)=-7-9i.

z,2-3i(2-3i)(l+3i)ll+3i113.

'Z2l-3i(l-3i)(l+3i)101010-

2.(2021•江西•景德镇一中)计算下列各式的值.

(l)|2-i|2-(2-i)2；⑵图一鼻

【答案】⑴2+4i：（2）44j-

【解析】(1)|2-“2-(2-i)2=[V22+(-l)2]2-4+4i-i2=2+4i；

夜、2i42I21-i11-i-ill.II.

1+i1+i(l+i)21+i2i(1+i)(l-i)i12+12-i22222

3(2021•重庆南开中学高一月考)计算：

⑴⑵探+F「

【答案】⑴I;⑵-1+i.

(l-4i)(l+i)+2+4i_l+i-4i-4i2+2+4i_7+i(7+i)(3-4i)_25-25i

-374i=374i3^4i-(3+4i)(3-4i)-25

-2石+i乌*（-26+。（1-2后）213i]=1

⑵小而（匚1）一（1+2畲）（1一2/）（万）-13（-i）'°'n-产.+2

考点三复数的运算的应用

【例3】（2021•河北安平中学）已知复数z="2—i，则下列说法正确的是（）

1+1

3

A.z的共枕复数在复平面内对应的点在第四象限B.z的虚部为-:i

C.z的共朝复数D.z的模为巫

222

【答案】D

2—i（2—i）（l—i）1—3i13.

【解析】2=下=（用）（1）=『口

••.z的共辗复数为:+[i，故C错误，共物复数对应的点（；,■!）在第一象限，故A错误;

z的虚部为-,，故B错误；z的模为+（£[=芈，故D正确.故选：D.

【一隅三反】

（2021•上海•华东师范大学第三附属中学）已知复数2=三，则下列结论正确的是（

1.）

1-1

A.z在复平面对应的点位于第三象限B.z的虚部是i

C.|z|=>/2D.z=l+i

【答案】C

2i（l+i）

［解析］z=\l+i对应点（T1）在第二象限，A错误.虚部为I,B错误.

|z|=V1+1=72,C正确.1=-1-3D错误.故选：C

2.（2021•云南•昆明市外国语学校高一月考）已知i为虚数单位，复数z满足zQ-ihi2020,则下列说法正

确的是（）

A.复数z的模为三1B.复数z的共粗复数为71

C.复数z的虚部为5D.复数z在复平面内对应的点在第一象限

【答案】D

八505,1（2+i）21.

【解析】因为Z（2-i）=i2°2。i4）=1,所：J'Z=2^i=（2-i）（2+i）=5+51

儿复数2的模为国=小|[2+t）2=等，故错误；

B.复数z的共匏复数为故错误；

C.复数z的虚部为：，故错误；

D.复数z在复平面内对应的点为所以在第•象限，故正确；故选：1）

3.（2021•广东•广州奥林匹克中学）（多选）已知复数4=2-i,z2=2i,则（）

A.z?是纯虚数B.Z1-z?对应的点位于第二象限

C.|z,+z2|=5D.|Z,Z2|=2>/5

【答案】AD

【解析】对于A选项,利用复数的相关概念可判断A正确；

对于6选项，4-Z2=2-3i对应的点位于第四象限，故8错；

对于C选项，z,+z2=2+i,则区+22|=也2+『=&,故。错；

对于，选项，z,-z2=（2-i）-2i=2+4i,则上危|=户不=26,故。正确.故选：AD.

4.（2021-全国•高一课时练习）（多选）在复平面内，复数z对应的点与复数占对应的点关于实轴对称，

则（）

A.复数z=l+iB./z/-5/2

C.复数z对应的点位于第一象限D.复数2的实部是T

【答案】BD

【解析】复数==n=型答=T-i对应的点的坐标为

1-1（1-1）（1+1）-2

•复数Z对应的点与复数言2对应的点关于实轴对称，复数Z对应的点的坐标为（-1,1）,

，复数z=-l+i.故A,c均错；5=T-i,|*=0N的实部是一1,故BD正确,故选：BD.

考点四求根

【例4】（2021•上海•曹杨二中）设分、ceR,若2-i（i为虚数单位）是一元二次方程V+bx+c=O的一个

虚根，则（）

A.b=4,c=5B.。=4,c=3

C.h=-4fc=5D.h=-4,c=3

【答案】C

【解析】因为2-i是实系数一元二次方程/+加+C=0的一个虚根，则该方程的另一个虚根为2+i,

由韦达定理可得『；（2+二，所以K.故选：c

【一隅三反】

1.（2021•河北•张家口市第一中学高一期中）已知实系数一元二次方程f+px+quO的一个根4-i,那么

p=,q=.

【答案】。=-84=17

【解析】由题意可知，实系数一元二次方程V+px+q=0的两个虚根分别为4-i和4+i

（4+，）+（4-i）=-P解得：二二故答案为：-847

由韦达定理得〈（4+,）（4-/）=^，解侍

2.（2021•全国•高三专题练习）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实

数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程X0O-司=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为

5+依和5一口，数系扩充后这两个根分另IJ记为5+后和5—病.若z（5+后）=5-炳，贝IJ复数z=

（）

DI+炳

A.1-V15iB.1+后

'4

【答案】C

5—后（5.洞）25-15-10洞印.故选C

【解析】liiz（5+晒）=5-尼，得z

5+洞（5+>/i5i）（5-Vi5i）25-15，

3（2021•全国•高一专题练习）（1）方程f-px+k=O（peR）有一个根为l+2i,求实数々的值;

⑵方程丁-4x+Z=0有一个根为l+2i,求左的值.

【答案】⑴5；（2）k=7+4i.

【解析】（1）由实系数一元二次方程的复数根共蛹，故另一个根为l-2i,..»=（l+2i）（l-2i）=5

（2）由题意，将l+2i代入方程可得：（l+2i）2-4（l+2i）+/=0nk=7+4i.

4.（2021•全国•高一专题练习）已知巴〃是实系数一元二次方程法+c=（）的两个虚根，且万eR,

求，的值.

【答案】广李亭

【解析】•:a，B为实系数一元二次方程◎?+笈+c=o的两个虚根,

-b±y]4ac-b2'

x=-------------------,

2a

不妨设。=加+山。几〃£&），则夕=〃7—〃i,

a2_ay

—eR则;a%R,

Pa2P

即m3—3m2n+(3m2n-n3)ie7?,

***3nrn=n3

***n7t0,n2=3m2.

B|J4ac-b2=3h2,ac=b2.

-b+>/3b\-b-y/3h\a1后

若a=--则--/--?-=-—=———j

月22

则「二止酗+四

(322

综上所述，/亭亭

故答案为：-1士3i

22

考点五复数的综合运用

【例5】（2021•全国）已知i是虚数单位，复数z的共短复数为I，下列说法正确的是（）

A.如果Z|+Z26R,则Z1,Z?互为共蛹复数

B.如果复数Z1,Z2满足IZ+ZZRZLZJI，则Z「Z2=0

C.如果z2=W，则|z|=l

D.上尼卜㈤㈤

【答案】D

【解析】对于A,设4=l+i,马=2-i,4+Z2=3wR,但马，Z2不互为共挽复数，故A错误；

对于B,设4=。-始(4,eR),z2=a2+b^(a2,b2eR).

由B+ZzITZi-ZzI，得|Z|+Z2「=(《+里旷+伯+优丫=(4-4)2+(伪一&)2,

+a

则ata2+*2=0,而4=(《+印)3+3)=(4%一4仇)+(44+3ji=2o1a2+(«A2^i)i不一定等于。，

故B错误；

对于C,当z=0时，有z2=W，故C错误；

对于D,设Z1="+bi,z2=c+ch,则

222222222

\z,z2\=yj(ac-bd)+(ad+bc')=■J(ac')+(bd)+(ad)~+(bc)=^a+/>)(c+J)=，D正确

故选：D

【一隅三反】

1.(2021•黑龙江•哈尔滨市第六中学校模拟预测(理))设z为复数，则下列命题中错误的是()

A.|z|2=zzB.若卜|=1,则|z+i|的最大值为2

C.z2=|zfD.若以一1|=1,则04忖42

【答案】C

设z=a+阳a,6eR),则2=a-6i,

z-z={a+b\)[a-hi)=a1-Z?2i2=a2+h2=|z|',故A正确；

由忸=1,得=](_1℃),则|z+i|=业+(匕+1)2=0+力,

当匕=1时，|z+i|的最大值为2,故B正确；

z2=(a+bi)2=a2-b2+2ab\,|z|-=a2+b2,z?与|z「不•定相等,故C错误;

满足|z-l|=l的z的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，如图所示,

则04忖V2,故D正确.

故选：C.

2.（2021•河北•藁城新冀明中学）（多选）设I是z的共辗复数，下列说法正确的是（）

A.|z-z|=|z|2B.|==1C.z+5是实数D.z二是纯虚数

【答案】AB