高一下学期数学基础知识检

高一下学期数学基础知识检测（1）、

考查知识点：苏教版必修第二册第一章§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》

一.选择题（共8小题）

1.在四边形ABCD中，已知通=配，|而|=|前|,则四边形ABCD一定是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

2.设向量江，5不共线，向量万+5与2a-k5共线，则实数k=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

③2万=82为实数），则2必为零

④4，〃为实数，若然=〃5,则］与B共线

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.若万，5是两个不共线的向量，已知肱V=M-25,PN=2a+kb,PQ=3a-b,若A/,

N,。三点共线，则k=（）

3

A.-1B.1C.-D.2

2

5.在正方形ABCD中，M,N分别是3C,CD的中点，若Afi=2,贝”询+丽上（

）

A.B.4C.A/10D.2

6.已知点O,A,3不在同一条直线上，点P为该平面内一点，且2炉=2次+丽，则（

）

A.点P在线段上

B.点P不在直线上

C.点P在线段钙的延长线上

D.点P在线段"的反向延长线上

7.设M是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.M与几万的方向相反B.4与万万的方向相同

C.|-Xa|...|^|D.|—Aa\..\2,\-a

8.下列说法中正确的是（）

A.平行向量不一定是共线向量

B.单位向量都相等

C.若万，5满足|万|>|5|且m与5同向，则万>5

D.对于任意向量方，b,必有|乙+5|”|万|+|5|

二.多选题（共4小题）

9.对于菱形XBCD,给出下列各式，其中结论正确的为（）

A.AB=BCB.\AB\=\BC\C.\AB-C15\=\AD+BC\

D.\AD+Cl5\=\Ci5-CB\

10.下列有关向量命题，不正确的是（）

A.若|日|=|5|,则万=5B.已知^N0,且万上=5［丁，则7=石

C.若乙=石，b=c,则汗=^D.若1=5,则|万|=|5|且万/区

11.化简以下各式：

@AB+BC+CA；©AB-AC+BD-CD；©OA+OD+AD；®NQ+QP+MN-MP.

结果为零向量的是（）

A.①B.②C.③D.@

.___♦'....

12.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，3带足AB=2a，AC=2a+b，则下列结

论正确的是（）

A.后|=1B.|曰=1C.获芯D.（4l+b）±BC

三.填空题（共4小题）

13.已知向量5、5不共线，c=3d+b,d=ma+（m+2）b,若1//2,则实数机=.

14.已知通=4+25,BC=-5a+6bfCD=la-2b,则点A、B、C、O中一定共线的

三点是•

15.若R,5是两个不共线的向量，已知砺=a—25,PN=2a+kb,PQ=3a-b,若M,

N,。三点共线，则卜=

16.设，，晟为两个不共线的向量，若日=-，-彳区与5=2，-3互共线，则实数彳等于.

四.解答题（共2小题）

__.___91

17.如图所示，在口至8中，AB=a,AD=b,BM=—BC,AN=-AB.

35

（1）试用向量a,5来表示DN,AM；

（2）AM交QN于O点，求AO:。!做的值.

18.一条宽为封加的河，水流速度为2初1/力，在河两岸有两个码头A、B,已知43=若处〃，

船在水中最大航速为4kmih，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达

彼岸5码头？用时多少？

高一下学期数学基础知识检测（1）

考查知识点：苏教版必修第二册第一章§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》

总分100分时间60分钟

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.在四边形ABCD中，已知通=觉，\AB\=\BC\,则四边形ABCD一定是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【分析】可根据荏=比得出ABCD是平行四边形，再根据|而|=|豆心即可得出ABCD为

菱形.

【解答】解：AB=DC,

:.AB=DC,且AB//OC,

四边形ABCD是平行四边形，又|通|=|而|,

,四边形ABCD是菱形.

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形和菱形的定义，相等向量的定义，考查了推理能力，属于基

础题.

2.设向量4，5不共线，向量商+5与2M-k5共线，则实数k=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出k的值.

【解答】解：向量万，B不共线，向量万+5与2i-k5共线，

贝I]2a-kb=2（a+b）,

（2-A）a-（k+=0,

（2-A=0

[k+2=（/

解得2=2,k=—2.

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理应用问题，是基础题.

3.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

③然=0（4为实数），则;I必为零

④彳，〃为实数，若然=〃5,则乙与5共线

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可.

【解答】解：对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，，①错误；

对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，

但它们的模能比较大小，.•.②正确；

对于③，彳1=6时（2为实数），4=0或1=0,.•.③错误；

对于④，若4=〃=0时，Aa=/jb=0,此时M与5不一定共线，，④错误；

综上，其中正确的命题为②，共1个.

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题.

4.若及，5是两个不共线的向量，已知ACV=M-25,PN=2a+kb,PQ=3a-b,若A1,

N,。三点共线，则k=（）

3

A.-1B.1C.-D.2

2

【分析】用向量而、丽表示而，根据M、N、。三点共线得出丽=彳而，利用共线

定理列方程组求出彳、k的值.

【解答】解：由题意知，NQ=PQ-PN=a-（k+l）b,

因为N,。三点共线，

所以丽=4而，

即M-25=A[a-(k+1)5],

1=A

所以

—2=-2(k+1)

解得A=1>k=1.

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

5.在正方形ABCD中，M,N分别是3C,CD的中点，若Afi=2,则|砌+而|=（

)

A.2行B.4C.A/10D.2

【分析】可以点。为原点，边。C所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可求出

向量R%丽的坐标，进而可求出国7+丽的坐标，从而可求出|痂'+两|的值.

【解答】解：如图，以点。为原点，边DC所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，贝的

A(0,2),M(2,l),3(2,2),N(1,O),

说=(2,-1),丽=(-1,-2),

AM+BN=,

\AM+BN\=41Q.

故选：C.

【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的

加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

6.已知点O,A,3不在同一条直线上，点P为该平面内一点，且2无=2函+丽，则（

）

A.点P在线段至上

B.点尸不在直线至上

C.点P在线段钻的延长线上

D.点P在线段他的反向延长线上

【分析】根据题意利用向量减法的三角形法则得到2；^=丽，再根据向量的共线定理

即可求得答案.

【解答】解：由2岳=2函+丽，得2赤一2）=丽，BP2AP=BA,

所以丽与丽共线，且有公共点A,

所以A、B、尸三点共线，且尸在线段的反向延长线上.

故选：D.

【点评】本题考查了共线向量定理以及向量加减法的三角形法则应用问题，是基础题.

7.设。是非零向量，％是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.万与2万的方向相反B.H与的方向相同

C.|-Aa\..\a\D.|-Aa\..\A\-a

【分析】根据向量的几何意义判断即可.

【解答】解：当2>0时，。与彳日方向相同，故A错误；

#0,A2>0,

，万与彳石方向相同，故3正确;

当|刈<1时，|一九。|<|西，故C错误；

|-彳口是数，I㈤高是向量，不能比较大小，故D错误；

故选：B.

【点评】本题考查了向量的基本知识，考查向量的模和向量有关的基本概念，是一道基础题.

8.下列说法中正确的是（）

A.平行向量不一定是共线向量

B.单位向量都相等

C.若万，5满足|万|>|5|且讶与5同向，则1>5

D.对于任意向量万，b,必有|万+5|”|万|+|5|

【分析】通过向量的模以及共线向量的关系，判断选项的正误即可.

【解答】解：平行向量是共线向量，故A不正确；

单位向量的模相等，方向不一定相同，故台不正确;

若万，5满足|万|>|5|且m与5同向，则方>5显然不正确，向量不能比较大小，故c错误；

向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量万，b,必有|万+5|”|万|+|5|,故。正

确；

故选：D.

【点评】本题考查向量的模，向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题.

二.多选题（共4小题）

9.对于菱形ABCD,给出下列各式，其中结论正确的为（）

A.AB=BCB.\AB\=\BC\C.\AB-CD\=\AD+BC\

D.|AD+CD|=|CD-CB|

【分析】由菱形图象可知这两个向量不相等，判断A错误；但是由菱形的定义可知它们的

模长相等，得到3正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，判断C正确，根据菱

形的定义判断。错误即可.

【解答】解：如图示：

由菱形图象可知A错误；

这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到3正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到C正确；

由菱形的定义知：AD+CD=BC+CD=CD-CB,故。正确，

故选：BCD.

【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可

以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，本题考查向量的概念和模的性质，以及向量的

加法和减法，属于基础题.

10.下列有关向量命题，不正确的是（）

A.若|万|=|5|,贝!Ji=5B.已知EW。，且贝!J<?=5

C.若M=5,b-c,则4=三D.若。=5,贝!］陌|=|5|且M//5

【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解.

【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，A错误；

若M//5,且与不垂直，结果成立，当万不一定等于5,B错误;

若1=5,b=c,由向量的定义可得万=^,C正确；

相等向量模相等，方向相同，。选项正确.

故选：AB.

【点评】本题主要考查了向量的概念与向量的模的概念的应用，属于基础题.

11.化简以下各式：

@AB+BC+CA；©AB-AC+BD-CD；©OA+OD+AD；®NQ+QP+MN-MP.

结果为零向量的是（）

A.①B.②C.③D.④

【分析】根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可.

【解答】解：®AB+BC+CA=AC+CA=6；

@AB-AC+BD-a5=AB+W+DC+CA=0；

@OA+OD+AD=OD+OD=2.OD；

@NQ+QP+MN-MP=NP+PN=Q,

故零向量的是①②④，

故选：ABD.

【点评】本题主要考查向量的概念和运算，结合向量加法，减法的运算法则是解决本题的关

键.比较基础.

12.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量之，百茜足屈=23，正=2晶总则下列结

论正确的是（）

A.Ibl=lB.|I|=1C.3〃ED.（41+b）±BC

【分析】直接利用向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，判断A、B、C、

D的结论.

♦，♦，♦，»'

【解答】解：由题意，BC=AC-AB=（2a+b）-2a=b，贝Ulbl=2,故A错误；

|2胃=2匾=2,所以可=1,故B正确；

6..♦1___

因为AB=2a，BC=b，故a，b不平行，故C错误；

・'♦'♦'9

设3,。中点为。，则AB+AC=2AD，且ALUBC，

而2AD=2a+（2a+b）=4a+b，

所以（4a+b）±BG故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，主要考查学生的

运算能力，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.已知向量1、5不共线，c=3a+b,d=ma+（m+2）b,若*//2,则实数相=_-3_.

【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出机的值.

【解答】解：向量1、B不共线，c=3d+b,d=ma+（m+2'）b,

clId,则加-3（机+2）=0,

解得m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

14.已知通=万+2方，BC=-5a+6b,CD=la-2b,则点A、B、C、。中一定共线的

三点是_A>B>D_.

【分析】先求出向量北，观察其与向量也是否共线，再求出向量而观察其与向量通是

否共线，若两向量过同一点且共线则两表示两向量的有向线段的端点是共线的.

【解答】解：•.•衣=通+竟=<?+85,找不到一个实数2使得*=2）成立，故A,

C,£>三点不共线.

■.■BD=BC+CD=2a+4b=2（a+2b）=2.AB,而与丽共线，三点A、B、。共线

故应填A、B、D.

【点评】本题考查共线的条件，证明三点共线是向量共线的一个重要应用，其规律是若表示

两向量的有向线段的过同上点且两向量共线，则两有向线段的端点共线.

15.若汗，5是两个不共线的向量，已知颉=不一2石，PN=2a+kb,PQ=3a-b,若

N,。三点共线，则k=j.

【分析】利用向量共线定理即可得出.

【解答】解：由题意知，NQ=PQ-PN=a-(k+l)b,

因为N,。三点共线，

Ol.MN=A,NQ,

^a-2b=A[a-(k+l)b],

解得2=1,k=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

16.设不，瑟为两个不共线的向量，若a=-，-丸晟与5=21-3互共线，则实数彳等于

_3

【分析】根据1与5共线可设方=kB,从而可得出-I-2£=2k，-3k£,然后根据平面向

量基本定理即可求出2的值.

【解答】解：与B共线，；.1=kB,

-et-2e2=2kq-3ke2,且q与e2不共线，

故答案为：-』.

2

【点评】本题考查了共线向量基本定理和平面向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算

能力，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

__.__21

17.如图所示，在DABCD中，AB=a,AD=b,BM=—BC,AN=-AB.

35

(1)试用向量第5来表示丽，丽7；

(2)AM交DN于O点、,求4?:加的值.

【分析】(1)根据条件便可得到丽=4万，BM=-BC=-AD=-b,再用向量口5来表示

5333

DN,AM即可；

(2)由D,O,N三点共线，贝I存在实数〃使诙=〃丽=〃(：4-5)=!〃H一〃5,同理

__.__kkkk22

Pi^DO=AO-AD=AAM-AD=A(a+-b)-b=Aa+(-A-T)b,解出；I,〃，这样便能得

出AO:QW的值.

【解答】解：(1)因为AN=』AB,所以丽=工1,

55

所以丽=前一莅=」1一5,

5

因为所以丽=*宓=*而=45,

3333

所以丽=丽+丽=i+—5.

3

(2)因为A,O,Af三点共线，所以而//说,

___kk:_________2