线性代数复旦版课后习题标准答案

线性代数复旦版课后习题标准答案

线性代数习题及答案

习题•

1.求下列各排列的逆序数.

(1)341782659；(2)987654321；

(3)n(n1)-321；(4)13-(2n1)(2n)(2n2)-2.【解】

(1)T(341782659)=11;(2)T(987654321)=36;

22

(3)T(n(n1)-321)=0+1+2+-+(n1)=

n(n1)2

(4)T(13—(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(nl)+(nl)+(n2)+…+l+0=n(n1).

5x

1x21

21x2

3232x

xlx

4.本行列式D4

的展开式中包含x3和x4的项.

解：设D4

ili2i3i4

(1)

(ili2i3i4)

aillai22ai33ai44，其中il,i2,i3,i4分别为不同列中对应元素

的行下标，则D4展开式中含x3项有

(1)

4

(2134)

x1x2x(1)

(4231)

xxx32x(3x)5x

333

D4展开式中含x项有

(1)

(1234)

2xxx2x10x.

4

5.用定义计算下列各行列式.

2000

0100

T

0004

(2314)

12000

3240

0051

⑴

030

;(2)

030

【解】⑴D=(1)4!二24;D=12.

6.计算下列各行列式.

21120IblO

42360lcl5

112200IdO120

6236

2122

0;

(1)

315a

abaccdcf2341

3412

4123

aede；ef

;(2)bd

bfl

(3)

100

(4)

234

【解】⑴D

rlr2

315

1111

1

14abcdef;11

2

(2)Dabcdef1

1

b

(3)Dal

lei

lei

1(l)Od

c

lab

1

d

Id

10

1

cd1

d

abedabadcd1;

clc2

2341

3412

4123

r2rlr3rl

r4rl

10

000

2121

3121

4321

r32r2r4r2

000

2100

3140

4344

160.

(4)D

clc3clc4

7.证明下列各式.

a

2

ababl

b

2

2

(1)2a

1

2b(ab)；1

2222

a

2222

(a1)(b1)(c1)(d1)

abc

222

(a2)(b2)(c2)(d2)

2222

(a3)(b3)(c3)(d3)

2222

⑵

bed

0；

abc

333

abc

abc

222

(3)(abbeca)a

00

b

(4)D2n

00

c

ac

bd

00

(adbe)；

n

OOd

al

11a2

1

111an

1

n

(5)

11

i1

1n

ai.aii1

【证明】(D

clc3

(ab)(ab)2(ab)

b(ab)abO

b

2

左端

c2c3

2b1

2

bl

a

c3-2c2c43c2

2222

(ab)(ab)2(ab)

a

2222

b(ab)ab

(ab)

ab2

(ab)右端.

3

2a12b12c12d1

4a44b44c44d4

6a96b96c96d9

2a12b12c12d1

2222

6666

0右端.

⑵左端

c2-cl

bed

bed

c3clc4cl

(3)首先考虑4阶范德蒙行列式：

f(x)

xabc

xabc

2222

xabc

3333

(xa)(xb)(xc)(ab)(ac)(bc)(*)

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

(abbeac)(ab)(ac)(bc)(abbeac)abc

a

2

2

b,

c

2

但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(1)

11

abc

222

a

3

3

b,

c

3

(4)对D2n按第一行展开，得a

a

D2na

cO

c

bd

bOOa

a

bd

b

dO

Od

Oc

cO

c

dO

adD2(n1)beD2(n1)(adbe)D2(n1),

据此递推下去，可得

D2n(adbc)D2(n1)(adbc)D2(n2)

(adbe)(adbe)

D2n(adbe),

n

n1

D2(adbe)

n1

(adbe)

n

(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n二2时;可直接验算结论成立，假定对这样的n1阶行列式结论成立，进而证明阶

数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

al

Dn

11

11a21

111

111al

111

11a211

111an1

1

00Oan

ala2an1anDn1.

但由归纳假设

Dn1

ala2an11

n1

i1

1,ai

从而有

Dnala2an1

anala2an11

n

n1

iIn

1ai1

ai.aii1

n

ala2anlan1

i1

11ai

i1

8.计算下列n阶行列式.

xlxlyx00

12100

11

12

2222

2232

222；n

(1)Dn

11x0

(2)Dn2

2

00xO

00012

Oy00

01200

x

00021

00

.(4)Dnaij其中aijij(i,j1,2,,n)；yx

(3)Dn

Oy

21

(5)Dn

000

【解】(1)各行都加到第一行，再从第•行提出x+(n1),得

Dn[x(n1)]

lx1

11x,

将第一行乘(1)后分别加到其余各行，得

1

DnEx(n1)]

10

r2rl

110

(xn1)(x1)

n1

x10

x1

20

2100

2020

200n2

2(n2)!.

20000

20100

20020

按第二行展开

2000

(2)Dn

r3rlrnrl

0

n(3)行列式按第一列展开后，得x0

Dnx

Oyxx

n

yx00

(n1)

Oy00

00xO

(n1)

00

y(l)yxy

(n1)

n1

yxO0

Oyx0

OOy0

000

000y

x

y(1)

n1

X(l)y.

n

(4)由题意，知

al

11

aa

1222

aa

nln2

101n2

21111

210n3

n21111

nIn2n3

Dn

a2

1

2n1

anlan2

ann

01

n11111

111lln11000

后一行减去前一行

111

第三行起后一行减去前一行

01000

11200

21000

n21002

12

按第一列展开0

0

2020

n2002

n1000

2

按第n-1列展开(1)

n1

020

000

00(1)

n1

(n1)

00

(n1)2

n2

00012

2

01000

12100

01200

00021

00012

21

12100

01200

000

00012

21000

02100

01200

⑸Dn

000

21

21

2Dn1Dn2.

即有DnDn1Dn1Dn2

由DnDn1Dn1Dn2

D2DI1

In得

D2DI

DnDIn1,Dnn19.计算n阶行列式.

al

Dn

alal

a21a2

a2

n

2n.1

anan1an

【解】各列都加到第一列，再从第•列提出1ai,得

i1

Dn1

n

a2a2a2a2100

a3010

a3a31a3

a3

ananan1an

i1

ai

1a2

将第一行乘（1）后加到其余各行，得

1

Dn1

n

anOO1

n

i1

ai0

a.

i

i1

1

10.计算n阶行列式（其中ai0,i1,2,,n）.

alal

Dn

n1

a2

n1

a3

n1

an

n1

n2

bla2b2

a2b2b2

n2n1

n2

a3b3

a3b3b3

n2

n2

anbn

n2

alblbl

n2n1

n2

anbnbn

nIn1

【解】行列式的各列提取因子aj(j1,2,,n),然后应用范德蒙行列式.

n1

Iblal

Dn(ala2an)

n1

2

Ib2a2b2a2

n1

2

Ib3a3b3a3

n1

2

Ibnanbnan

2

blalblal

n1

bnan

n1

b2a2b3a3

(ala2an)

n1

bibjaa.1jinij

11.已知4阶行列式

1D4

311

2351

3462

4472

试求A41A42与A43A44,其中A4j为行列式D4的第4行第j个元素的代数余子式.

【解】

2

A41A42(1)

41

346

44(1)7

42

131

346

4

43912.7

35

同理A43A441569.12.用克莱姆法则解方程组.

xlx2x3

2x1x2x3x4

(1)

xl2x2x3x4x2x3x

234

5x16x21,

5,

xl5x26x30,1,

(2)x25x36x40,2,x5x6x0,

345

3.

x45x51.

【解】方程组的系数行列式为

ID

210

1121

1112

01131000

1111

1322

0113

111

322

1

1

351

1

2180;4103

5D1

1231D3

210

11211121

11125123

0113011336;

D4

18;

D2

12101210

51231121

11121112

0113512318.36;

故原方程组有惟一解，为

xl

DID1,

x2

D2D2,

x3

D3D2,

x4

D4D1.

2)D665,DI1507,D21145,D3703,D4395,D5212.xl

1507665

,x2

229133

,x3

3735,x4

79133

,x5

212665

13.入和u为何值时，齐次方程组

xlx2x30,

xlx2x30,x2xx0

231

有非零解？

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

11

1110,1

2

即

(1)0.

故0或1时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组

xlx2x3ax40,

xl2x2x3x40,

xx3xx0,2341

xxaxbx0

2341

有非零解时，a,b必须满足什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足1211

113a

allb0,

即(a+l)2=4b.

15.求三次多项式f(x)a0alxa2x2a3x3,使得

f(1)0,f(l)4,f(2)3,f(3)16.

【解】根据题意，得

f(1)a0ala2a30;f(1)aOala2a34;f(2)aO2al4a28a33

;f(3)aO3al9a227a316.

这是关于四个未知数aO,al,a2,a3的一个线性方程组，由于

D48,DO336,DI0,D2240,D396.

故得aO7,al0,a25,a32于是所求的多项式为

f(x)75x2x

2

3

16.求出使一平面上三个点(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=O(a,b不同时为0)

按题设有

axlbylc0,

ax2by2c0,axbyc0,

33

则以a,b,c为未知数的•:元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

xlx2x3

yly2y3

1101

上式即为三点(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.

习题二

1.计算下列矩阵的乘积.

11

(1)=3

23

21

5

0；(2)0

0

032

01

12；13

(3)1

23

3

2

4(4)10

xl

x2

allx3a21

a311020

01101030

al2a22a320100

al3xla23x2；a33x33220

1

1.33

all

(5)a21

a31

al2a22a32al31

a230a330

010

0

1；(6)1

1

000

2100

【解】33⑴69

2111

2246

1123

22

0

5

;(2)3;(3)(10);

0

1

0

3

3

ij

23

(4)axa22xa33x(al2a21)xlx2(al3a31)xlx3(a23a32)x2x3

1

al2al3

0

a22a23;(6)

0

a32a33

0

2100

5240

24.39

a

i1

J1

xixj

all(5)a21

a31

al2a22a32

1

2.设A1

111

11,B1

112

1231

1

1,4

2

2

求(1)AB2A;(2)ABBA；(3)(A+B)(AB)AB吗？2

【解】⑴AB2A4

0

402

24

0;(2)ABBA5

43

431

0

1；1

(3)由于ABWBA,故(A+B)(AB)WA2B2.

3.举例说明下列命题是错误的.

(1)若A20,则A0；(2)若A2A,则A0或AE；(3)若AX=AY,0,

则乂=丫.【解】

0

(1)以三阶矩阵为例，取A0

01

⑵令A0

01

⑶令A0

1

100110

000

1

2

0,A0,但AWO0

0

2

0,贝IJA=A,但A#0且AWE1

0211O,Y=1,X2

11।

则AX=AY,但XNY.1

4.设A

0

23k

,求A,A,…，A.1

【解】A

5.A=0

0

2

10213

,A103Ik

,,A1Ok

1

1

0

023

1,求A,A并证明:

k

k

A二

00

k

k1

k(kl)2k

k2

kkIk

3

2

22

【解】A:0

0

2

2

12,2

3

3

A=0

0

3

323.3

今归纳假设

k

k

A=

00

k

k1

k(kl)2k

k2

kklk

0

那么

A

k1

AAk0Ok

k1

k

k(kl)2k

k2

kkIk

0

001

001

klk(kl)k1

(k1)

k

2

0

k1

(k1)

k

00

k1

所以，对于一切自然数k,都有

k

k

k1

k(k1)Ak

2

k2

0

kk

k1.

00

k

6.已知AP=PB,其中

1001

00

B=0

00,P二

2100

12

1

1

求A及A5.

【解】因为I因1W0,故由AP二PB,得

1

00

APBP

1

200,6

1

1

而

A5

(PBP

1)5

P(B)5P1

1

001001

001

0210000210202

1100

14

1

16

1

abed

7.设A二

b

adc

edab,求A|.d

c

b

a

解：由一知条件，A的伴随矩阵为

0

0A.1

ab2222

A=(abcd)

cd

badc

edab

dc

(a2b2c2d2)Aba

又因为AA二AE,所以有

(abcd)A=AE,且A0,

2

即(a2b2c2d)A

2

22222

=(abcd)2

2

2

22224

4

E

2

2

于是有

J(/+犷++d?)”

A(abcd).8.已知线性变换

xl2yly2,yl3zlz2,

x22yl3y22y3,y22zlz3,x4yy5y;yz3z,

1232333

利用矩阵乘法求从zl,z2,z3到xl,x2,x3的线性变换.【解】已知

xl2Xx22

4x3yl3Yy22

0y3

131101

0yl

2y2AY,5y30zl

lz2Bz,3z3241

1

9z,16

4

XAYABzl2

10

从而由zl,z2,z3到xl,x2,x3的线性变换为

xl4zl2z2z3,

x212zl4z29z3,xlOzz16z.

1233

9.设A,B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：BAB也是对称阵.【证明】因为n阶

方阵A为对称阵，即A'=A,所以(B'AB)'=B'A'B=B,AB,

故BAB也为对称阵.

10.设A,B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】

已知A'=A,B，=B,若AB是对称阵，即(AB)，=AB.

则AB=(AB)/=B'A'=BA,

反之，因AB=BA,则

(AB)'=B'A'=BA=AB,

所以，AB为对称阵.

11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：

(1)B2是对称矩阵.

(2)ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

【证明】

因A'=A,B'=B,故

(B2)'=BZ2BZ=B2(B)=B2;

(ABBA)，=(AB)'(BA”=B'A'AzB'

=BAA2(B)=ABBA;

(AB+BA)'=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'Bz

=BA+A2(B)=(AB+BA).

所以B2是对称矩阵，ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

12,求与A=11

01可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A可交换的方阵为ab

cd,则由

11abab11

01cd

cd01

得

acbdaab

cd

ccd.

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如a

0

为任意数.

100

13.求与A=

012

可交换的全体三阶矩阵.

012

【解】由于

000

A=E+

002

013

而且由ba的方阵，其中a,bala2a3

blb2b3

cl0

c20c30

001

00

203

001

0al

a2

23a3

blb2b3

cl

c2,c3

可得

0

00

clc2c3

2b13cl0

2b23c22a3

2b33c3a23a3

02b3b23b3

2c3.

c23c30

由此又可得

cl0,2b13cl0,2a30,a23a30,c22b3,c3b23b3,2b22c3,2b33

c3c23c3,

所以

a2a3blcl0,

c22b3,c3b23b3.

al

即与A可交换的一切方阵为0

0

0b2b3

2b3其中al,b2,b3为任意数.

b23b3

14.求下列矩阵的逆矩阵.

12

2

5

(1)

1

;(2)0

01

2；10085

0

0

;(6)32

1121

2100212

32；10031

0

0

；04

1(3)3552(5)

00

2442100

al

a2

a,a,,a0,

12nan

未写出的元素都是0(以下均同，不另注).【解】

5(1)

2

1

2;(2)01

0

210

12;1

121

7(3)632

6414

0

12

1

12

；(4)1

2181a1

；(6)

01216524

00131120

0;014

12(5)

00

2500

0025

0038

la2

,1an

15.利用逆矩阵，解线性方程组

xlx2x31,

2x22x31,xx2.

12

1

【解】因0

1

121

1xl11

2x21,而0012x3

121

1200

故

xl1x021x3

121

1

20

1

110

21

1212

1

10

12

.13

12212

16.证明下列命题：

(1)若A,B是同阶可逆矩阵，贝I」(AB)*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且(A*)

1=(A1)*.(3)若AA'=E,则(A*)'=(A*)1.

【证明】(1)因对任意方阵c,均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|2|B|2BA=|AB|E(BA)

二(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*

=(AB)A|B|EA=|A|2|B|(AB).

・・♦A|WO,B|WO,

・・・(AB)*=B*A*.

(2)由于AA*=IA|E,故A*=|A|A1,从而(A1)*=|A11(A1)1=|A|1A.于是

*

*

*

*

*

**

A*(A1)*=|A|AI2|A|1A=E,

所以

(A1)*=(A*)1.

1

(3)因AA'二E,故A可逆且A二A'.由(2)(A*)1=(A1)*，得

(A*)1=(A')*=(A*)'.

17.已知线性变换

xl2yl2y2y3,

x23yly25y3,x3y2y3y,

1233

求从变量xl,x2,x3到变量yl,y2,y3的线性变换.【解】已知

xl2

Xx23

3x3

212

1yi

5y2AY,3y3

且|A|二IWO,故A可逆，因而

7

1

YAX6

3

432

9

7X,4

所以从变量xl,x2,x3到变量yl,y2,y3的线性变换为

yl7x14x29x3,

y26x13x27x3,y3x2x4x,

1233

18.解下列矩阵方程.

(1)

11

24

X=32

6

1

2(2)X2

111

12

021

111

1

0；1

1;1

(3)

1142X2103

二10

0(4)1

0

100

01

0X010

001

00

120

402

31.0

【解】(1)令A二

1124;B=32631

,由于A112

1

故原方程的惟一解为

3

XAB

1

1

2412681220

,7

同理1(2)X=0

0

010

01

0;(3)X=114

21

；(4)X=0

0

1

130

0

4.2

19.若Ak=O(k为正整数)，证明:

(EA)

1

=E+A+A++A

2k1

【证明】作乘法

(EA)(E+A+A++AE+A+A++AEAE,

k

2

k12

k1

)

2

k1

AAAA

k

从而EA可逆，且

(EA)

1

=E+A+A++A

2k1

20.设方阵A满足A2—A—2E=0,证明A及A+2E都可逆，并求A1及(A+2E)1.

【证】因为A2A2E=0,

故

AA2E

2

12

(AE)AE.

由此可知，A可逆，且

A

1

12

(AE).

同样地

AA2E0,AA6E4E,(A3E)(A2E)4E,14

(A3E)(A2E)E.

22

由此知,A+2E可逆，且

(A2E)

1

14

(A3E)

14

(AE).

2

4

21.设A=1

1

212

3

0,AB=A+2B,求B.3

【解】由AB=A+2B得(A2E)B=A.

而

2

A2E1

1

212

3

010,1

即A2E可逆，故

21

B(A2E)A1

11

11

456

34

3141

212212

3

01

1

4

11

2128912

3

036

6.9

33

0232

22.设P

1

1

AP=.其中P=

1

1

41,=10010

,求A.2

【解】因p1，且P得

A

10

113141

，故由A二PP1

(PP11

110

)P()P

02

10

101

4110

13134

3134313

1364

,340

114110

10

10

21

3

12

112

3121012

421365

10

42341

mm

23.设m次多项式f(x)a0alxamx,记f(A)aOEalAamA,f(A)

称为方阵A的m次多项式.

1

⑴的

,证明2

1k

A=

kf(1),f(A)k2

;f(2)

(2)设A=PIBP,证明Bk二PAkP1,f(B)Pf(A)P1.【证明】12

(DA

0

2

1303

,A220

0

即k=2和心3时・，结论成立.32

今假设

1k

A

0

k

0

,k2

那么

A

k1

Ik

AA=

0

kOIk200Ik1

20

0

,k12

所以，对一切自然数k,都有

Ik

A

0

k

0

,k2

而

f(A)aOE+alA++amA

1aO

1al1

m

Im

++am2

m2

aOal1++amlm

0f(1)

.f(2)

m

aOal2++am2

(2)由(1)与A二PIBP,得

B=PAP1.

且

Bk=(PAPl)k=PAkP1,

又

f(B)aOEalBamB

aOEalPAP

1

m

m

1

amPAP

m

1

P(aOEalA+amA)PPf(A)P.

ac

1

24.A=

b2

x(ad)xadbe0.,证明矩阵满足方程d

【证明】将A代入式子x2(ad)xadbe得

A(ad)A(adbc)Eac

ba(ad)dc

2

2

b1

(adbe)d00

1

adbe0

a2be

accd00

2

abbdaad

2

cbdaccd

abbdadbe

2Oadd

0

0.0

故A满足方程x2(ad)xadbe0.25.设n阶方阵A的伴随矩阵为A,

证明：⑴若IAI=0,则IA1=0；

(2)AAn1.

【证明】(1)若|A|=0,则必有|A|=0,因若IA|W0,则有A(A)1=E，由此又得

A=AE=AA(A)1=|A|(A)=O,

这与IA|N0是矛盾的，故当|A=0,则必有A|=0.(2)由AA*=A|E,两边取行列

式,得

|A|)A*|=A|n,

若|A|W0,贝IJ|A*=|A|n1若|A|=0,由(1)知也有

IA*|=|AIn1.

26.设

52A=

00

2100

0075

k

*

*

*

*

*1

*

*

*

*

0304,B

03

20

2500

0046

0

012

求⑴AB;(2)BA;(3)A1；(4)IAI(k为正整数).【解】2310

⑴AB二

00

20900

004632

019030;(2)BA=

013

90

81300

003352

0

0;1422(3)A1

12=00

2500002000

2500

0025

00

；(4)A37

k

k

(1).

27.用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

12(1)0

0020(3)0

00

0030010100

0001001010

0

0

000；(2)

2

0

2

1230.01

0013

3200

1

1

;00

Al

【解】(D对A做如下分块A

00A2

其中

1A1

2

Al,A2的逆矩阵分别为

2;5

3A20

0

010

0

0,1

51

Al

22;1

A2

1

1300

010

0,01

所以A可逆，且

5

201A2

00

21000

001300

00010

000.01

A

1

Al1

同理(2)

A

1

A2A1

1

1

Al

001

A2

1

525

001535

381400

1814.00

(3)

120000

012000

12

012

13

2001

A

1

0100

010

习题三

1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.

4.略.见教材习题参考答案.

5.112,223,334,441,证明向量组

1,2,3,4线性相关.

【证明】因为

12342(1234)

12342(13)12340

所以向量组1,2,3,4线性相关.

6.设向量组1,2,r线性无关，证明向量组1,2,r也线性无关，这里

i12i.

【证明】设向量组1,2,r线性相关，则存在不全为零的数kl,k2,,kr,使得

kl1k22krr0.

把i12i代入上式，得

(klk2kr)1(k2k3kr)2krr0.

又已知1,2,,r线性无关，故

klk2kr0,

k2kr0,

kr0.

该方程组只有惟一零解klk2kr0,这与题设矛盾，故向量组1,2,,r

线性无关.

7.略.见教材习题参考答案.

8.i(il,i2,,in),i1,2,,n.证明：如果aij0,那么1,2,,n

线性无关.【证明】已知Aaij。，故R(A)=n,而A是由n个n维向量

i(il,i2,,in),

i1,2,,。组成的，所以1,2,,n线性无关.

n1

9.设,tr,是互不相同的数，rWn.证明：i(1,ti,,ti),i1,2,是

线性无关

的.

【证明】任取nr个数tr+1,••­,tn使tl,•••,tr,tr+1,•••,tn互不相同，于是n阶范德

蒙行列式

tltrtr1tn

ttl

2

tl

n1

trtn

22

nInlr1

2r1

0,

tn

n1

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量1,2,,r也线性无关.

10.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证

明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.

【证明】若1,2,,r(1)线性相关，且不妨设1,2,,t(t<r)(2)

是⑴的一个极大无关组，则显然(2)是1,2,,s的一个极大无关组，这与

1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一

个极大无关组.11.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,l,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个

极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A,并对其施行初等变换.

1

1A

1k

llkl

1120

0110

11

010

Ok10

1klk01

11

010

Ok10

01k01

Ik100

1

010

当k=l时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当kWl时，

1,2,3线性无关，秩为3,极大无关组为其本身.

12.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组

1=(0,1,1),2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.

【解】由于

0

A(1,2,3)1

11

B(1,2,3)1

0

121111

11

00

1021a0

b0

110210

0

I；0

2,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0

c(1,2,3,3)1

1

121

101

21

a0

b0

210

010

,2

ba2

a

要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即

3二(2,2,0).1,2,,n线性无关的充要条件是任一n维向13.设1,2,,n

为一组n维向量.证明：

量都可经它们线性表出.

【证明】充分性：设任意n维向量都可由1,2,,n线性表示，则单位向量

1,2,,n,当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量

组1,2,,n的秩为n,因此线性无关.

必要性：设1,2,,n线性无关，任取一个n维向量，则1,2,,n线性相

关，所以能由1,2,,n线性表示.

14.若向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量组a1,a2,a3线

性表出，也可由向量组61,B2,B3,B4线性表出，则向量组a1,a2,a3与向量

组等价.

1

证明：由已知条件，R1

1

011

0

03,且向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)1

可由向量组a1,a2,a3线性表出，即两向量组等价，且

R(1,2,3)3,

又，向量组(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量组B1,B2,B3,B4

线性表出，即两向

量组等价，且

R(1,2,3,4)3,

所以向量组a1,a2,a3与向量组61,82,83,84等价.

15.略.见教材习题参考答案.

16.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经

1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.

【解】设向量组

1,2,,m（1）

与向量组

1,2,,s（2）

的极大线性无关组分别为

1,2,,r（3）

和

1,2,,r（4）

由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由

（4）线性表出，即

r

i

a

j1

ij

j

（i1,2,,r）.

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是laij|关0,可由（*）解出

j（j1,2,,r）,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1）,

（2）等价，所以（1）和（2）等价.

17.设A为m3n矩阵，B为s3n矩降证明：

A

max{R（A）,R（B）}RR（A）R（B）.

B

【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A

扩

B

AB

A

充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

A

R(A)R

B

同理

A

R(B)R

B

故有

A

max(R(A),R(B))R

B

又设R(A)=r,il,i2,,ir是A的行向量组的极大线性无关组,R(B)=k,

jl,

j2

jk

A

是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任•行向量，则若属于A的行向

B

组，则可由il,i2,,ir表示，若属于B的行向量组，则它可由只，

A

性表示，故中任一行向量均可由il,i2,,ir,jl,

B

j2

，，

jk

线

j2

，，

jk

线性表示，故

A

RrkR(A)R(B),B

所以有

A

max{R(A),R(B)}RR(A)R(B).

B

18.设A为s3n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r3s矩阵.证明：B=KA行无关的充

分必要条件是R(K)=r.

【证明】设

A=(As,Ps3(ns)),

因为A为行无关的s3n矩阵，故s阶方阵As可逆.()当8二KA行无关时，B为r3n矩

阵.

r=R(B)=R(KA)^R(K),

又K为ds矩阵R(K)Wr,JR(K)=r.()当厂R(K)时，即K行无关，由

B=KA=K(As,Ps3(ns))=(KAs,KPs3(ns))知R(B)=r,即B行无关.19.略.见教材习题参

考答案.

20.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

2575(1)7525

31949432

17535420

431

0132

;(2)

2134

481

1201

2130

2514

1

1.31

12

【解】（1）矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3;

3412

(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.

34

21.略.见教材习题参考答案.

22.集合Vl={(xl,x2,,xn)Ixl,x2,,xneR且xlx2xn=0}是否构成向量

空间？为什么？【

解

1

由

(

0,0,

,0

)

e

VI

知

VI

非

空

设

(xl,x2,,xn)VI,(yl,y2,,yn)V2,kR)则

(xlyl,x2y2,,xnyn)

k(kxl,kx2,,kxn).

因为

(xlyl)(x2y2)(xnyn)

(xlx2xn)(yly2yn)0,

kxlkx2kxnk(xlx2xn)0,

所以VI,kVI,故VI是向量空间.

23.试证：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.

【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则

1A1

101

3

120,1

所以1,2,3线性无关，故1,2,3是R的一个基，因而1,2,3生成的向

量空间恰为R3.

24.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1)所生

的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

A(1,2,3,4,5)1210

1112

3434

1121

4150

0640

1102

3204

1111

41

30

0240

1100

3200

1110

4

3,20

・・・1,2,4是一组基，其维数是3维的.

25.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,D,证明:

L(1,2)L(1,2).

【解】因为矩阵

A(1,2,1,2)110