全国统考2025版高考数学大一轮复习第5章平面向量第2讲平面向量的数量积及应用1备考试题文含解析

第五章平面对量其次讲平面对量的数量积及应用练好题·考点自测1.下列说法正确的个数为()(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(3)由a·b=0可得a=0或b=0.(4)(a·b)·c=a·(b·c).(5)两个向量的夹角的范围是[0,π2]A.2 B.3 C.4 D.52.[易错题]已知两个非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”是“θ为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.[2024全国卷Ⅱ,3,5分]已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=()A.-3 B.-2 C.2 D.34.[2024全国卷Ⅲ,6,5分]已知向量a,b满意|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.-3135 B.-1935 C.175.[2024山东,7,5分]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)6.[2024全国卷Ⅱ,4,5分][文]设非零向量a,b满意|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥b B.|a|=|b|C.a∥b D.|a|>|b|7.[2024全国卷Ⅰ,14,5分][文]设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.

8.[2024合肥市调研检测]已知a=(1,1),b=(2,-1),则向量b在a方向上的投影等于.

9.[2024全国卷Ⅰ,13,5分]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.

拓展变式1.(1)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量CD在BA方向上的投影是()A.-35 B.-322 C.35(2)[2024大同市调研测试]在直角三角形ABC中,直角边AB=3,AC=4,则AB·BC+BC·CA+CA·AB=A.-25 B.25 C.7 D.-7(3)[2024天津,14,5分][文]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为2.(1)[2024安徽省四校联考]已知向量a=(-1,m),2a+b=(2,3+2m),且(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为.

(2)[2024全国卷Ⅰ,14,5分]设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.

(3)[2024全国卷Ⅲ,13,5分]已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos<a,c>=3.[2024成都市高三模拟]△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cosA),n=(cosC,2b-c),且m·n=0,则角A的大小为()A.π6 B.π4 C.π34.[新课标全国Ⅰ,5分]已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则A.(-33,33) B.(-36,C.(-223,223) D.(-5.(1)[湖南高考,5分][文]已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为A.6 B.7 C.8 D.9(2)[2024天津,15,5分]如图5-2-11,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,则实数λ的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为图5-2-11答案第五章平面对量其次讲平面对量的数量积及应用1.A对于(1),向量的投影是数量,故(1)正确;对于(2),由数量积的定义及向量的运算法则可知,(2)正确;对于(3),当a⊥b时,a·b=0,故(3)错误;对于(4),向量数量积运算不满意结合律,故(4)错误;对于(5),两个向量的夹角的范围是[0,π],故(5)错误.综上选A.2.B由a·b>0,可得到θ∈[0,π2),不能得到θ∈(0,π2);而由θ∈(0,π2),可以得到a·b>0【易错点拨】(1)当a·b>0时,cosθ>0,则θ是锐角或θ=0°(此时cosθ=1);(2)当a·b<0时,cosθ<0,则θ是钝角或θ=180°(此时cosθ=-1).3.C因为BC=AC-AB=(1,t-3),所以|BC|=1+(t-3)4.D由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|=a2+2a·b+b2=255.AAP·AB=|AP|·|AB|·cos∠PAB=2|AP|cos∠PAB,又|AP|cos∠PAB表示AP在AB方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又AC·AB=23×2×cos30°=6,AF·AB=2×2×cos120°=-2,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,AP·AB∈(-2,6),故选A.6.A依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,所以4a·b=0,即a⊥b,选A.7.5因为a⊥b,所以a·b=m+1-(2m-4)=0,所以m=5.8.22由题意,得b在a方向上的投影为a9.23易知|a+2b|=|a|21.(1)A依题意,得BA=(-2,-1),CD=(5,5),所以BA·CD=-15,|BA|=5,因此向量CD在BA方向上的投影是BA·CD|BA(2)A解法一在直角三角形ABC中,因为AB=3,AC=4,所以BC=5,于是AB·BC+BC·CA+CA·AB=BC解法二以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图D5-2-1所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,4),AB=(3,0),CA=(0,-4),BC=(-3,4),所以AB·BC+BC·CA+CA图D5-2-1(3)311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.又AB·AC=3×2×12=3,所以AD·AE=(13AB+23AC)·(-AB+λAC解法二以点A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=λAC-AB,得E(λ-3,3λ),则AD·AE=(53,233)·(λ-3,3λ)=53(λ-3)+22.(1)±26解法一由题意,得b=(2,3+2m)-2(-1,m)=(4,3),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,即1+m2=5,解得m=±2解法二因为a+b=2a+b-a=(2,3+2m)-(-1,m)=(3,3+m),a-b=3a-(2a+b)=3(-1,m)-(2,3+2m)=(-5,m-3),(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=3×(-5)+(3+m)×(m-3)=m2-24=0,解得m=±26.(2)3解法一∵a,b为单位向量,且|a+b|=1,∴(a+b)2=1,∴1+1+2a·b=1,∴a·b=-12,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2×(-12)=3,∴|a-解法二如图D5-2-2,设OA=a,OB=b,利用平行四边形法则得OC=a+b,∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC为正三角形,∴|BA|=|a-b|=2×32×|a|=3图D5-2-2(3)23设a=(1,0),b=(0,1),则c=(2,-5),所以cos<a,c>=3.B解法一由m·n=0,得acosC-(2b-c)cosA=0,由正弦定理,得sinAcosC-(2sinB-sinC)cosA=0,即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA,所以sin(A+C)=2sinBcosA,所以sin(π-B)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA.因为0<B<π,所以sinB≠0,所以cosA=22,所以A=π4解法二由m·n=0,得acosC-(2b-c)cosA=0,由余弦定理,得a·a2+b2-c22ab-2bcosA+c·b2+c2-a224.A由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1·MF2=5.(1)B因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故PA+PC=2P