专题08 直接法模型

1例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共例2．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是()例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有例4．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为()例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()例7．甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有()例8．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美2育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()例10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()例11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是()例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有()例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是例14．为了支持山区教育，某中学安排6位教师到A、B、C、D四个山区支教，要求A、B两个山区各安排一位教师，C、D两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有 A．180种B．172种例15．某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有种.例16．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是.例17．从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按A(a),B(b),C(c),D(d)先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以这样的情况有 种用数字作答）例18．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递种信息.（用数字作答）例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法种.(用数字作答)例21．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有种.例22．甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是.例23．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个不同的四位偶数？例24．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数.(Ⅲ)若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数.例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共【解析】用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，123456①当领导丙在位置1时，不同的排法有A=120种；②当领导丙在位置2时，不同的排法有CA=72种；③当领导丙在位置3时，不同的排法有AA+AA=48种；④当领导丙在位置4时，不同的排法有AA+AA=48种；⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有CA=72种；⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有A=120种.由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种.故选C.例2．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是()【解析】先排与老师相邻的:CCA=18,再排剩下的：A,所以共有18A=432种排法种数，选D.例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有【解析】若李雷选①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择，选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案为C例4．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()【解析】:让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有A=2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有AA=12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有AAA=24种安排方法，则中间5人有12+24=36种安排方法，则有2×36=72种不同的安排方法；故选：D.例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为()【解析】将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配到B班：有A=6种分配方案；②甲不分配到B班：有AAA=8种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有6+8=14种分配方案.故选：C.3例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()【解析】试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有A两种，又∵A只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为A×A×2=96种，故选B.例7．甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有()【解析】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有CA=6种情况，所以此时共有2×6=12种方案；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有CC=6种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A=2种情况，所以此时共有6×2=12种方案，综上，可得甲不到A景点的方案有12+12=24种方案.故选：B.例8．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()【解析】若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有C.22=12种方法.若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有C.22=12.4所以共有12+12=24种方法.本题选择B选项.例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()【解析】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有A=2种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A=6种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3×2×6=36种不同的排法.故选：C.例10．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()【解析】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有C32A22种不同分配方案，当医院B有2人，则共有CA种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有CA+CA=10种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有A种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有CA种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；5共有20种不同分配方案.故选：B例11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是()【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；第一步，排个位，共有C种方法；第二步，排千位，共有C种方法；第三步，排百、十位，共有A种方法；所以，可组成CCA=144个四位奇数，故答案选B。例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有()【解析】先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有A种例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【解析】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，例14．为了支持山区教育，某中学安排6位教师到A、B、C、D四个山区支教，要求A、B两个山区各安排一位教师，C、D两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有()A．180种B．172种【解析】由题可知，分三种情况讨论：（1）甲，乙两位教师均没有去C,D山区，共有A=12种；（2）甲，乙两位教师只有一人去C或D山区，共有A=96种；（3）甲，乙两位教师分别去C或D山区，共有C.A.A.A=48种，故选：D.例15．某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有种.【解析】分以下三种情况讨论：①甲、乙都不出场，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中挑选2人，此时，出场阵②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的队员中挑选2人；若出场的这名队员打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中挑选1人.此时，出场阵容种数为C.(CC+CC)=340；③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从6名打前锋的队员中挑选1人，从4名打后卫的队员中挑选2人；若这两名队员都打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选3人，从4名打后卫的队员中不用挑选；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从6名打前锋的队员中挑选2人，从4名打后卫的队员中挑选1人，此时，出场阵容种数为CC+CC+CCC=176.综上所述，由分类加法计数原理可知，共有120+340+176=636种不同的出场阵容.7故答案为：636.例16．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是.【解析】根据题意，分4种情况讨论：(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时A=24种顺序,可以排出24个四位数;(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有C=3种取法,安排在四个位置中,有A=12种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C=6种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出6×1=6个四位数;(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有C=3种取法,安排在四个位置中,有C=4种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为:114.例17．从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按A(a),B(b),C(c),D(d)先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以这样的情况有 种用数字作答）【解析】分为四类情况：第一类：在A、B、C、D中取四个，在a、b、c、d中取一个，共有2CC=8；第二类：在A、B、C、D中取三个，在a、b、c、d中取两个，分两种情况：形如AaBbC(大小写有两个字母相同)共有4CC，形如AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有2CC；第三类：在A、B、C、D中取两个，在a、b、c、d中取三个，取法同第二类情况；第四类：在A、B、C、D中取一个，在a、b、c、d中取四个，取法同第一类情况；所以共有：2(8+4CC+2CC)=160例18．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）【解析】因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第3个位置时，有AA+AA，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种.故答案为480.例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行，每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递种信息.（用数字作答）【解析】显然，紫色小方格顶多有3个.分类讨论1）若无紫色小方格，则只有1种结果；（2）若有且只有1个紫色小方格，则有C=9种结果；（3）若有且只有2个紫色小方格，从行来看，先选出有紫色小方格的那两行，有C=3种选法，这两行的排法有CC=6种，此种情况下共有18种结果；（4）若有且只有3个紫色小方格，显然，这三行的排法有CCC=6种.综上，一共有34种结果，即一共可以传递34种信息.故答案为：34例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法种.(用数字