人教高中数学A版必修一 《三角函数的概念 同角三角函数的基本关系》

5.2.1

三角函数的概念三角函数一二三一、三角函数的定义1.在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sinα,cosα,tanα?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?一二三提示:sin

α=y,cos

α=x,tan

α=.这一结论可以推广到α是任意角.一二三2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值

叫做α的正切,记作tanα,即

=tanα(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空一二三答案:B(2)如果在角α的终边上有一点M(3,4),那么如何求角α的三个三角函数值?一二三5.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sinα,cosα,tanα的值是否还存在?提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan

α的值不存在,因为分母不能为零,但sin

α,cos

α的值仍然存在.6.填空三角函数的定义域如下表所示.一二三二、三角函数值的符号1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同象限内的符号吗?提示:当α在第一象限时,sin

α>0,cos

α>0,tan

α>0;当α在第二象限时,sin

α>0,cos

α<0,tan

α<0;当α在第三象限时,sin

α<0,cos

α<0,tan

α>0;当α在第四象限时,sin

α<0,cos

α>0,tan

α<0.2.sinα,cosα,tanα在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三3.做一做判断下列各三角函数值的符号:一二三三、诱导公式一1.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?提示:终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.2.填空诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.一二三探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用三角函数的定义求三角函数值例1求解下列各题:(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sinα=

.

分析:(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断三角函数值的符号A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin

α,cos

α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.由

可知cos

α,tan

α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°·cos

230°<0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知α=2,则点P(sinα,tanα)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:因为

,即α在第二象限,所以sin

α>0,tan

α<0,则点P(sin

α,tan

α)在第四象限.答案:D(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(

)A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]解析:由cos

α≤0,sin

α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练诱导公式一的应用例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);分析:将角转化为k·360°+α(k∈Z)或2kπ+α(k∈Z)的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin

90°+b2tan

45°-(a-b)2tan

45°-2abcos

0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对参数的分类讨论致误典例

角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cosα=

.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中,误以为a>0,没有对a的正负进行分类讨论,导致r求错,从而结果错误.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施

在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知角α的终边在直线y=x上,则sinα=____.解析:易知角α的终边在第一象限或第三象限,当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,1),探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A3.若tanθ·sin2θ<0,则角θ在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限解析:因为tan

θ·sin2θ<0,所以tan

θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.2.2

同角三角函数的基本关系三角函数同角三角函数的基本关系式1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?一二2.填空同角的三角函数基本关系(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切,一二3.做一做(1)sin22019°+cos22019°=(

)A.0 B.1 C.2019 D.2019°(2)若sinθ+cosθ=0,则tanθ=

.

答案:(1)B

(2)-14.已知sinα(或cosα)的值,能否求出cosα(或sinα),tanα的值?已知sinα±cosα的值,怎样求出sinαcosα的值?提示:利用两种关系式的变形可以解决上述问题.一二一二二、同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.

(1)sinα=tanα·cosα;

探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练利用同角三角函数关系求值角度1

已知某个三角函数值,求其余三角函数值分析:已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求该角的正切值.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练角度2

已知tan

α,求关于sin

α和cos

α齐次式的值例2已知tanα=2,则(3)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=

.

分析:注意到所求式子都是关于sin

α、cos

α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos

α的整数次幂,把所求值的式子用tan

α表示,将tan

α=2整体代入求其值.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

已知tan

α,求关于sin

α和cos

α齐次式的值的基本方法探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练角度3

利用sin

α+cos

α,sin

α-cos

α与sin

αcos

α三者之间的关系求值例3已知sinα+cosα=,α∈(0,π),求tanα的值.分析:要求tan

α的值,只需求得sin

α,cos

α的值.而由已知条件sin

α+cos

α=,α∈(0,π),结合sin2α+cos2α=1,求得2sin

αcos

α的值,进而求得sin

α-cos

α的值,从而得到sin

α,cos

α的值,问题得解.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

1.由(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α,(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α可知如果已知sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.2.sin

θ±cos

θ的符号的判定方法:(1)sin

θ-cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin

θ=cos

θ,即sin

θ-cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin

θ>cos

θ,即sin

θ-cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin

θ<cos

θ,即sin

θ-cos

θ<0.如图①所示.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练(2)sin

θ+cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin

θ=-cos

θ,即sin

θ+cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin

θ>-cos

θ,即sin

θ+cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin

θ<-cos

θ,即sin

θ+cos

θ<0.如图②所示.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练利用同角三角函数关系化简例4化简下列各式:分析:(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练利用同角三角函数关系证明恒等式角度1

一般恒等式的证明探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练角度2

给出限制条件的恒等式证明问题例6已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.分析:切化弦→利用sin2θ+cos2θ=1将余弦转化为正弦→整理得证探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练反思感悟

含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练案例(开放探究题)从已知条件sinθ+cosθ=,且θ∈(0,π),可以得到以下关系式:(1)

;

(2)

;

(3)

.

探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练名师点评对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:(sin

θ+cos

θ)2=1+2sin

θcos

θ;(sin

θ-cos

θ)2=1-2sin

θcos

θ;(sin

θ+cos

θ)2+(sin

θ-cos

θ)2=2;(sin

θ-cos

θ)2=(sin

θ+cos

θ)2-4sin

θcos

θ.探究一探究二探究三核心素养思维辨析随堂演练忽视角的取值范围致误以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?提示:错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin

α>0,cos