高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.7事件的相互独立性和条件概率(精练)(原卷版+解析)

9.7事件的相互独立性和条件概率【题型解读】【题型一相互独立事件的概率】1.(2023·华师大二附中高三练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（

）A．相互独立 B．对立 C．互斥但不对立 D．概率相等2.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为（

）A． B． C． D．13.(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为，，，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（

）A． B． C． D．4.(2023·河南高三月考一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．5．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元6.(2023·全国高三课时练习）年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．(1)如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；(2)如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率．【题型二条件概率】1.(2023·四川模拟）2022年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为(

)A． B． C． D．2.(2023·武昌模拟）如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（）A． B． C． D．3．(2023·石家庄模拟）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”，B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求．4.(2023·临沂二模）已知随机事件A，B，，，，求，.【题型三全概率公式】1.(2023·唐山二模）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．2.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.3．(2023·高三课时练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．4.(2023·广东高三模拟）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.【题型四贝叶斯公式】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种3.(2023·济北中学高三月考）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）4.2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；(2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.9.7事件的相互独立性和条件概率【题型解读】【题型一相互独立事件的概率】1.(2023·华师大二附中高三练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（

）A．相互独立 B．对立 C．互斥但不对立 D．概率相等答案：A【解析】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，所以，故，所以A与B相互独立．故选：A2.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为（

）A． B． C． D．1答案：C【解析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，且事件相互独立，则，故选：C3.(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为，，，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以有两家准点送到的概率为,有三家准点送到的概率为，则至少有两家准点送到的概率为.故选：B.4.(2023·河南高三月考一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．答案：A【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关所在的分支不通的概率为，开关所在的分支不通的概率为，开关，，所在的分支不通的概率为，所以灯亮的概率是.故选：A.5．自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元答案：C【解析】从登顶观日出的人中任选一人，他是乘观光车登顶的概率则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是元）故选：C．6.(2023·全国高三课时练习）年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．(1)如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；(2)如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率．【解析】（1）随机变量的所有可能取值为、、、，，，，，所以的分布列为所以数学期望.（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为、，则，、，因两队积分相等，所以，即，则，所以．【题型二条件概率】1.(2023·四川模拟）2022年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为(

)A． B． C． D．答案：A【解析】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，则(A)，，．故选：A．2.(2023·武昌模拟）如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.3．(2023·石家庄模拟）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”，B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求．答案：【解析】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为种，所以甲去了第一个景点的可能性为种，因为三个人去的景点不同的可能性为种，所以.4.(2023·临沂二模）已知随机事件A，B，，，，求，.答案：【解析】由条件概率公式得：．．【题型三全概率公式】1.(2023·唐山二模）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．答案：【解析】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，，，，所以．故答案为：．2.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以.（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以.（Ⅲ）.所以第二次摸到红球的概率.3．(2023·高三课时练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．【解析】设A表示第二次取出3个球均为新球，为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3，则，，，，，，，，所以．4.(2023·广东高三模拟）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.答案：(1)(2)【解析】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件由题意可知，，，解得，.所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则，，，，，，则这个问题回答正确的概率为.【题型四贝叶斯公式】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.答案：【解析】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则所以所以.故答案为：.2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种答案：AB【解析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到3号球的事件为，，B正确；对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，，记第二次抽到1号球的事件为，，第