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文档简介
第八章平面解析几何8.1.1直线与圆(题型战法)知识梳理一直线的方程1.直线的倾斜角与斜率斜率.为倾斜角已知点、,过两点,的直线的斜率公式.2.直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围1斜截式k是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴2点斜式是直线上一定点,k是斜率不垂直于x轴3两点式,是直线上两定点不垂直于x轴和y轴4截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点5一般式A、B、C为系数任何位置的直线3.两条直线的位置关系平行:重合:相交:特殊的,.4.点到直线的距离公式点到直线的距离为.5.两平行线间的距离公式直线与直线的距离为.二圆的方程1.圆的标准方程,其中为圆心,为半径.2.圆的一般方程当时,方程叫做圆的一般方程.为圆心,为半径.3.点和圆的位置关系如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内4.直线与圆的位置关系(1)当时,直线与圆C相交;(2)当时,直线与圆C相切;(3)当时,直线与圆C相离.5.圆与圆的位置关系设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为.(1)当时,两圆外离;(2)当时,两圆外切;(3)当时,两圆相交;(4)当时,两圆内切;(5)当时,两圆内含.题型战法题型战法一直线的倾斜角与斜率典例1.下列说法正确的是(
)A.若直线的斜率为,则该直线的倾斜角为B.直线的倾斜角的取值范围是C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大变式1-1.若,,,且三点共线,则(
)A.-2 B.5 C.10 D.12变式1-2.直线的倾斜角为(
)A.30° B.45° C.120° D.150°变式1-3.如图,已知直线,,的斜率分别为,,,则(
)A. B.C. D.变式1-4.设直线的斜率为,且,则直线的倾斜角的取值范围是(
)A. B.C. D.题型战法二直线的方程典例2.已知直线的倾斜角为,且在轴上的截距为,则直线的方程为()A. B.C. D.变式2-1.过点且倾斜角为的直线方程为(
)A. B.C. D.变式2-2.过(1,2),(5,3)的直线方程是()A. B.C. D.变式2-3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(
)A. B.C.或 D.或变式2-4.如果且,那么直线不经过(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限题型战法三两条直线的位置关系典例3.已知直线,.若,则实数的值为(
)A. B. C.1 D.2变式3-1.已知直线与互相垂直,则(
)A. B. C.1 D.1或变式3-2.已知直线和直线互相垂直,则实数a的值为(
)A.0 B. C.0或 D.0或2变式3-3.已知直线与直线互相平行,则实数的值为(
)A. B.2或 C.2 D.变式3-4.已知直线,,若,则(
)A. B. C.3 D.-3题型战法四距离公式典例4.在平面直角坐标系中,原点到直线的距离等于(
)A.1 B. C. D.3变式4-1.已知两点到直线的距离相等,则(
)A.2 B. C.2或 D.2或变式4-2.若点到直线:的距离为3,则(
)A.3 B.2 C. D.1变式4-3.两平行直线与之间的距离为(
)A. B. C. D.变式4-4.已知两直线与,则与间的距离为(
)A. B. C. D.题型战法五直线恒过定点典例5.直线过定点(
)A. B. C. D.变式5-1.不论k为何值,直线恒过定点(
)A. B. C. D.变式5-2.直线恒过定点(
)A. B. C. D.变式5-3.不论为何实数,直线恒过一个定点,则这个定点的坐标为(
)A. B. C. D.变式5-4.对任意的实数,直线恒过定点(
)A. B. C. D.题型战法六圆的方程典例6.与圆同圆心,且过点的圆的方程是(
)A. B.C. D.变式6-1.三个顶点的坐标分别是,,,则外接圆方程是(
)A. B.C. D.变式6-2.方程表示的曲线是(
).A.B.C. D.变式6-3.圆关于直线对称的圆的方程是(
)A. B.C. D.变式6-4.若点在圆外,则实数m的取值范围是(
)A. B. C.(-2,0) D.(0,2)题型战法七直线与圆的位置关系典例7.直线与圆的位置关系是(
)A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心变式7-1.已知直线与圆相离,则实数m的取值范围是(
)A. B.C. D.变式7-2.直线上一点向圆引切线长的最小值为(
)A. B.1 C. D.3变式7-3.已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为(
)A.1 B.2 C.3 D.4变式7-4.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为2,则实数a的值为(
)A. B.2 C.或 D.1或题型战法八圆与圆的位置关系典例8.圆与圆的位置关系为(
)A.相交 B.内切 C.外切 D.相离变式8-1.已知圆与圆外切,则m的值为(
)A.1 B.9 C.10 D.16变式8-2.若圆与单位圆恰有三条公切线,则实数a的值为(
)A. B.2 C. D.变式8-3.圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0公共弦所在直线方程为(
)A. B.C. D.变式8-4.已知圆:,圆:相交于P,Q两点,则(
)A. B.C. D.第八章平面解析几何8.1.1直线与圆(题型战法)知识梳理一直线的方程1.直线的倾斜角与斜率斜率.为倾斜角已知点、,过两点,的直线的斜率公式.2.直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围1斜截式k是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴2点斜式是直线上一定点,k是斜率不垂直于x轴3两点式,是直线上两定点不垂直于x轴和y轴4截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点5一般式A、B、C为系数任何位置的直线3.两条直线的位置关系平行:重合:相交:特殊的,.4.点到直线的距离公式点到直线的距离为.5.两平行线间的距离公式直线与直线的距离为.二圆的方程1.圆的标准方程,其中为圆心,为半径.2.圆的一般方程当时,方程叫做圆的一般方程.为圆心,为半径.3.点和圆的位置关系如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内4.直线与圆的位置关系(1)当时,直线与圆C相交;(2)当时,直线与圆C相切;(3)当时,直线与圆C相离.5.圆与圆的位置关系设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为.(1)当时,两圆外离;(2)当时,两圆外切;(3)当时,两圆相交;(4)当时,两圆内切;(5)当时,两圆内含.题型战法题型战法一直线的倾斜角与斜率典例1.下列说法正确的是(
)A.若直线的斜率为,则该直线的倾斜角为B.直线的倾斜角的取值范围是C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大【答案】B【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.【详解】对于A,若斜率为,但倾斜角不是,此时倾斜角为,故A错,对B,直线的倾斜角的取值范围是,当直线与轴重合或者平行时,倾斜角为,故B正确,对于C,当直线垂直于轴时,倾斜角为,但此时直线没有斜率,故C错误,对于D,当直线的倾斜角为锐角时,斜率为正值,但倾斜角为钝角时,斜率为负值,故D错误,故选:B变式1-1.若,,,且三点共线,则(
)A.-2 B.5 C.10 D.12【答案】C【分析】由三点共线可得直线的斜率存在并且相等求解即可.【详解】解:由题意,可知直线的斜率存在并且相等,即,解得10.故选:C.变式1-2.直线的倾斜角为(
)A.30° B.45° C.120° D.150°【答案】A【分析】求得直线的斜率,结合斜率与倾斜角的关系,即可求解.【详解】由题意,直线可化为,可得斜率,设直线的倾斜角为,则,因为,所以.故选:A.变式1-3.如图,已知直线,,的斜率分别为,,,则(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可【详解】由题图知直线的倾斜角为钝角,∴.又直线,的倾斜角均为锐角,且直线的倾斜角较大,∴,∴.故选:D变式1-4.设直线的斜率为,且,则直线的倾斜角的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根据斜率的定义,由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线的斜率为,且,,因为,.故选:A.题型战法二直线的方程典例2.已知直线的倾斜角为,且在轴上的截距为,则直线的方程为()A. B.C. D.【答案】C【分析】首先求出直线的斜率,再根据斜截式计算可得;【详解】解:因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率,又直线在轴上的截距为,所以直线的方程为;故选:C变式2-1.过点且倾斜角为的直线方程为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【详解】解:因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率,所以直线方程为,即.故选:D.变式2-2.过(1,2),(5,3)的直线方程是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为所求直线过点(1.2),(5,3),所以直线方程为,即.故选:B变式2-3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(
)A. B.C.或 D.或【答案】D【分析】分为过原点和不过原点两种情况讨论,根据直线方程的截距式即可求得方程﹒【详解】当截距都为0时,过点时直线为,当截距不为零时,设直线为,代入点得故选:D﹒变式2-4.如果且,那么直线不经过(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且,可得同号,异号,所以也是异号;令,得;令,得;所以直线不经过第三象限.故选:C.题型战法三两条直线的位置关系典例3.已知直线,.若,则实数的值为(
)A. B. C.1 D.2【答案】D【分析】直接由两直线平行公式求解即可.【详解】由题意得,,解得.经验证符合题意.故选:D.变式3-1.已知直线与互相垂直,则(
)A. B. C.1 D.1或【答案】C【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出关于的方程,求解即可.【详解】解:因为直线与互相垂直,所以,解得.故选:C变式3-2.已知直线和直线互相垂直,则实数a的值为(
)A.0 B. C.0或 D.0或2【答案】D【分析】直接由直线垂直的公式求解即可.【详解】由题意得,,解得或2.故选:D.变式3-3.已知直线与直线互相平行,则实数的值为(
)A. B.2或 C.2 D.【答案】D【分析】两直线斜率存在时,两直线平行则它们斜率相等,据此求出a的值,再排除使两直线重合的a的值即可﹒【详解】直线斜率必存在,故两直线平行,则,即,解得,当时,两直线重合,∴.故选:D.变式3-4.已知直线,,若,则(
)A. B. C.3 D.-3【答案】A【分析】两直线斜率均存在时,两直线垂直,斜率相乘等于-1,据此即可列式求出a的值.【详解】∵,∴.故选:A题型战法四距离公式典例4.在平面直角坐标系中,原点到直线的距离等于(
)A.1 B. C. D.3【答案】B【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】原点到直线的距离为.故选:B.变式4-1.已知两点到直线的距离相等,则(
)A.2 B. C.2或 D.2或【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等,所以有,或,故选:D变式4-2.若点到直线:的距离为3,则(
)A.3 B.2 C. D.1【答案】B【分析】利用距离公式可求的值.【详解】由题设可得,结合可得,故选:B.变式4-3.两平行直线与之间的距离为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】运用两平行直线间的距离公式即可得解.【详解】将直线化为,则这两条平行直线间的距离为.故选:D.变式4-4.已知两直线与,则与间的距离为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】直线的方程可化为(使用两条平行直线间的距离公式时,x,y的系数要对应相等),显然,所以与间的距离为.故选:D.题型战法五直线恒过定点典例5.直线过定点(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】将直线方程化为点斜式,即可求得直线恒过的定点.【详解】因为直线方程为,也即,故该直线恒过定点.故选:C.变式5-1.不论k为何值,直线恒过定点(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】与参数无关,化简后计算【详解】,可化为,则过定点故选:B变式5-2.直线恒过定点(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】将直线变形为,则且,即可求出定点【详解】将变形为:,令且,解得,故直线恒过定点故选:A变式5-3.不论为何实数,直线恒过一个定点,则这个定点的坐标为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】将直线方程化为,令可得,,从而可得定点.【详解】直线,即,令,得,,可得它恒过一个定点.故答案为:.变式5-4.对任意的实数,直线恒过定点(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据含参直线的性质化简判断即可.【详解】根据题意,直线方程可写为所以直线经过定点(3,3),选项D正确.故选:D.题型战法六圆的方程典例6.与圆同圆心,且过点的圆的方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为,由该圆过点,得m=4,所以所求圆的方程为.故选:B变式6-1.三个顶点的坐标分别是,,,则外接圆方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用待定系数法进行求解即可.【详解】设圆的一般方程为,因为,,在这个圆上,所以有,故选:B变式6-2.方程表示的曲线是(
).A. B.C. D.【答案】A【分析】整理得,再根据圆的方程即可得答案.【详解】解:对两边平方整理得,所以,方程表示圆心为坐标原点,半径为的圆在轴及下方的部分,A选项满足.故选:A变式6-3.圆关于直线对称的圆的方程是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标,进而即可得到该圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为,半径为3设点关于直线的对称点为,则,解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为,故选:D.变式6-4.若点在圆外,则实数m的取值范围是(
)A. B. C.(-2,0) D.(0,2)【答案】B【分析】先把圆的一般方程化为标准方程,结合点在圆外,得到不等关系,求出实数m的取值范围.【详解】整理为,由题意得,解得:.故选:B题型战法七直线与圆的位置关系典例7.直线与圆的位置关系是(
)A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较,即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为,半径,圆心到直线的距离,又因为直线不过圆心,所以直线与圆相交但不过圆心.故选:D变式7-1.已知直线与圆相离,则实数m的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【详解】由,得,∵直线与圆相离,∴解得.∴实数m的取值范围是,故选:D.变式7-2.直线上一点向圆引切线长的最小值为(
)A. B.1 C. D.3【答案】B【分析】求得圆的圆心到直线的距离,进而求得切线长的最小值.【详解】圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为.所以切线长的最小值为.故选:B变式7-3.已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】计算出圆的圆心和半径,设,由几何性质得到当与圆的弦垂直时,弦最短,利用垂径定理求解出最短弦长.【详解】整理为,故圆心为,半径为,设,故当与圆的弦垂直时,弦
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