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文档简介
1.4不等式的性质及一元二次不等式【题型解读】【题型一不等式性质的应用】1.(2023·安徽黄山·二模)设实数、满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)若实数,,满足,则下列不等式正确的是(
)A. B. C. D.3.(2023·山西·模拟预测)若,则下列结论中正确的是(
)A. B. C. D.4.(2023·河南·模拟预测)设则(
)A. B.C. D.5.(多选)(2023·山东潍坊·模拟预测)16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论成立的是(
)A. B.C. D.6.(多选题)(2023·广东汕头·二模)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是(
)A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0 C. D.7.(2023·安徽亳州·高三期末)设,,则下列结论正确的是(
)A. B.C. D.【题型二比较数(式)的大小】1.(2023·山东·模拟预测)已知非零实数m,n满足,则下列关系式一定成立的是(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·高三练习)(1)试比较与的大小;(2)已知,,求证:.3.(2023·四川凉山·二模)已知,,,则(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则(
)A. B. C. D.【题型三不等式性质的应用】1.(2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测)已知实数、满足,,则的取值范围为______.2.(2023·全国·高三专题练习)若满足,则的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,当时,恒成立,则____________.4.(2023·全国·高三专题练习)设x,y为实数,满足,,则的最小值是______.5.(2023·全国·高三专题练习)已知1<a<4,2<b<8,试求a-b与的取值范围.【题型四一元二次不等式的解法】1.(2023·河南·信阳高中高三期末)设集合,N=x∈Zx2−12x−5≤0A. B.C. D.2.(2023·新疆乌鲁木齐·二模)不等式的解集为(
)A. B. C. D.或3.(2023·全国·高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)当时,求在上的值域;(2)当时,解关于的不等式.5.(2023·全国·高三专题练习)解关于的不等式:.【题型五一元二次不等式成立求参】1.(2023·海南·嘉积中学)对任意的,恒成立,则的取值范围为(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切实数恒成立,则的取值范围是(
)A. B.C. D.3.(2023·浙江·高三专题练习)若不等式对一切恒成立,则的取值范围是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.5.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.6.(2023·全国·高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)7.(2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习)若命题“”是真命题,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【题型六一元二次方程根的分布】1.(2023·浙江·高三专题练习)若关于的方程有两个不同的正根,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)若一元二次方程的两个实根都大于,则的取值范围____3.(2023·重庆一中高三阶段练习)若方程的两实根中一个小于,另一个大于2,则的取值范围是()A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)已知关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为_______5.(2023·全国·高三专题练习)设,若,求证:(Ⅰ)且;(Ⅱ)方程在内有两个实根.1.4不等式的性质及一元二次不等式【题型解读】【题型一不等式性质的应用】1.(2023·安徽黄山·二模)设实数、满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】对于A:当,时不成立,故A错误;对于B:当,,所以,,即,故C错误;对于C:当时不成立,故C错误;对于D:因为,所以,又,所以(等号成立的条件是),故D正确.故选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)若实数,,满足,则下列不等式正确的是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】实数,,满足,所以对于:当,,时,不成立,故错误;对于:当,,时,,故错误;对于:由于,所以,故,故正确;对于:当,,时,无意义,故错误.故选:.3.(2023·山西·模拟预测)若,则下列结论中正确的是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】∵,∴,∴,故A错误;∵,∴,∴.∵,∴,故B正确;∵,∴.故C错误;令,此时.故D错误.故选:B.4.(2023·河南·模拟预测)设则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】又,即,则,,又,由于,所以,故,即,综上:故选:A5.(多选)(2023·山东潍坊·模拟预测)16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论成立的是(
)A. B.C. D.答案:AC【解析】解:对于A,由,可得,故A正确;对于B,由,当时,可得,故B错误;对于C,由,当时,可得,,可得,当,时,可得,当时,,可得,故C正确;对于D,当,时,,,故D错误.故选:AC.6.(多选题)(2023·广东汕头·二模)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是(
)A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0 C. D.答案:BCD【解析】因为a,b,c满足c<a<b,且ac<0,所以,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,,,故选:BCD7.(2023·安徽亳州·高三期末)设,,则下列结论正确的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】因为,所以,所以,故A错误;因为,当时,,故B错误;由,且时,,所以,故C错误;因为,所以所以,故D正确.故选:D.【题型二比较数(式)的大小】1.(2023·山东·模拟预测)已知非零实数m,n满足,则下列关系式一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】因为,所以.取,,得,故A选项不正确;取,,得,所以,故B选项不正确;取,,得,故C选项不正确;当时,则,所以,所以,当时,则,,所以,当时,,所以,综上得D选项正确,故选:D.2.(2023·全国·高三练习)(1)试比较与的大小;(2)已知,,求证:.答案:(1);(2)证明见解析.【解析】(1)由题意,,所以.(2)证明:因为,所以,即,而,所以,则.得证.3.(2023·四川凉山·二模)已知,,,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为,所以;令,,所以在上单调递增,因为,所以,即,所以,所以;同理,所以,即,也即,所以,所以.综上,,故选:D.4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】,即,∵,∴综上,.故选:B【题型三不等式性质的应用】1.(2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测)已知实数、满足,,则的取值范围为______.答案:【解析】解:设,则,解得,所以,因为,,所以,,所以,故答案为:.2.(2023·全国·高三专题练习)若满足,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,可得,又由,可得,因为,可得,所以,即的取值范围是.故选:A.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,当时,恒成立,则____________.答案:-3【解析】当时,恒成立,则对任意恒成立,则时,恒成立①②③④①+②③+④,代入①代入③,,﹒证明满足题意:,则,1↗极大值:1↘极小值:↗1由表可知,|f(x)|≤1在[-1,1]上恒成立满足题意﹒故答案为:-3.4.(2023·全国·高三专题练习)设x,y为实数,满足,,则的最小值是______.答案:【解析】设即所以,解得所以因为,,所以由不等式性质可知即,当且仅当时取等号,解得.综上可知,的最小值为.故答案为:.5.(2023·全国·高三专题练习)已知1<a<4,2<b<8,试求a-b与的取值范围.答案:-7<a-b<2;<<2.【解析】因为1<a<4,2<b<8,所以-8<-b<-2.所以1-8<a-b<4-2,即-7<a-b<2.因为2<b<8,所以<<,所以<<=2,即<<2.【题型四一元二次不等式的解法】1.(2023·河南·信阳高中高三期末)设集合,N=x∈Zx2−12A. B.C. D.答案:C,即,解得:,故解得:,又,故,故.故选:C2.(2023·新疆乌鲁木齐·二模)不等式的解集为(
)A. B. C. D.或答案:D【解析】由解得,或,所以不等式的解集为或,故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)已知关于的不等式:,当时解不等式.答案:答案不唯一,具体见解析【解析】原不等式可变形为:,当时,,所以,即原不等式的解集为;当时,,所以,即原不等式的解集为;当时,,令,所以,若时,,所以原不等式的解集为,若时,,所以原不等式的解集为,若时,,所以原不等式的解集为,综上可知:时,原不等式的解集为;时,原不等式的解集为;时,原不等式的解集为;时,原不等式的解集为.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)当时,求在上的值域;(2)当时,解关于的不等式.答案:(1)(2)答案见解析【解析】(1)当时,是开口向上,对称轴为的二次函数,又,所以当时,函数单调递减;当时,函数单调递增;所以,又,,因此在上的值域为.(2)∵.①当时,,即解集为;②当时,且开口方向向下,所以的解集为③当时,若,即时,原不等式的解集为;若,即,原不等式的解集为若,即,原不等式的解集为综上,当时,的解集为;当时,的解集为;当时,的解集为当时,的解集为;当时,的解集为.5.(2023·全国·高三专题练习)解关于的不等式:.【解析】由得,∵,当,即时,不等式的解为或.当,即时,不等式的解为或,当,即时,不等式的解,所以当时原不等式的解集为,当时原不等式的解集为,当时不等式的解集为.【题型五一元二次不等式成立求参】1.(2023·海南·嘉积中学)对任意的,恒成立,则的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】当时,由得:,(当且仅当,即时取等号),,解得:,即的取值范围为.选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切实数恒成立,则的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:C【解析】当,即时,可化为,即不等式恒成立;当,即时,因为对一切实数恒成立,所以,解得;综上所述,.故选:C.3.(2023·浙江·高三专题练习)若不等式对一切恒成立,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】若不等式对一切恒成立,则,即,在单调递增,,所以.故选:C4.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为对任意的恒成立,所以任意的恒成立,因为当,,所以,,即m的取值范围是故选:A5.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】令,对一切均大于0恒成立,所以,或,或,解得或,,或,综上,实数的取值范围是,或.故选:A.6.(2023·全国·高三专题练习)已知时,不等式恒成立,则的取值范围为A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)答案:C【解析】由题意,因为时,不等式恒成立,可转化为关于的函数,则对应任意恒成立,则满足,解得:或,即的取值范围为.选:C7.(2023·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习)若命题“”是真命题,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】,即函数的最小值小于0即可,,故,解得:故选:D【题型六一元二次方程根的分布】1.(2023·浙江·高三专题练
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