高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.1直线方程(精练)(原卷版+解析)

8.1直线方程【题型解读】【题型一直线的倾斜角与斜率】1.(2023·全国·高三专题练习））直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）））设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．3.(2023·青岛高三月考）直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))4.(2023·济南高三期末）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.【题型二求直线的方程】1.(2023·青岛高三模拟）过点且倾斜角为的直线方程为（）A． B．C． D．2.(2023·山东日照高三模拟））经过点，且方向向量为的直线方程是（）A． B．C． D．3.(2023·浙江高三专题练习）直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（）A． B． C． D．4.(2023·全国高三模拟）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝05.(2023·浙江高三模拟）过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．【题型三直线的位置关系】1.(2023·全国高三专题练习）直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.(2023·广东深圳市·高三二模）若直线与直线互相垂直，则实数等于（）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.(2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0【题型四两直线的交点与距离问题】1.(2023·浙江高三专题练习）点到直线的距离为（）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．3.已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（）A．0 B．1 C． D．4.(2023·山东青岛·二模）已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．75.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)【题型五对称问题】1.(2023·南京市大厂高级中学高三月考）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为A． B．C． D．2.(2023·全国高三专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（）A． B． C． D．3.(2023·山东青岛·二模）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（）A． B． C． D．4.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)5.已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．8.1直线方程【题型解读】【题型一直线的倾斜角与斜率】1.(2023·全国·高三专题练习））直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）））设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．答案：C【解析】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，倾斜角的范围是．故选：C．3.(2023·青岛高三月考）直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))答案：B【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).4.(2023·济南高三期末）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.答案：eq\f(1,3)－3【解析】如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.【题型二求直线的方程】1.(2023·青岛高三模拟）过点且倾斜角为的直线方程为（）A． B．C． D．答案：D【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D2.(2023·山东日照高三模拟））经过点，且方向向量为的直线方程是（）A． B．C． D．答案：A【解析】直线的方向向量为，直线的斜率，直线的方程为，即.故选：A.3.(2023·浙江高三专题练习）直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（）A． B． C． D．答案：C【解析】由变形得：，由，解得，直线恒过定点.故选：C.4.(2023·全国高三模拟）已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0答案：B【解析】因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝eq\f(3－1,1－3)＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1,1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.2．5.(2023·浙江高三模拟）过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【解析】由题意可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【题型三直线的位置关系】1.(2023·全国高三专题练习）直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】当时，直线，，，所以，故充分；当时，，解得或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A2.(2023·广东深圳市·高三二模）若直线与直线互相垂直，则实数等于（）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知条件可得，解得.故选：B.3．(2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.故选：A．4.(2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】若，则直线和直线互相垂直，是充分条件；若直线与直线互相垂直，则，因为m取任意实数都成立，故不是必要条件；故选：A．5.(2023·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】当l1∥l2时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋2＝0，,2a－1≠0，))解得a＝－1或a＝2.而由ea＝eq\f(1,e)，解得a＝－1，所以“ea＝eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的充分不必要条件．6.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0答案：D【解析】由题设，可得kAB＝eq\f(2－0,1－2)＝－2，且AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，∴AB垂直平分线的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝eq\f(1,2)，故AB的垂直平分线方程为y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＋1＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,4)，∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.【题型四两直线的交点与距离问题】1.(2023·浙江高三专题练习）点到直线的距离为（）A． B． C． D．答案：B【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.2.(2023·全国·高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．答案：【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：3.已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（）A．0 B．1 C． D．答案：C【解析】将代入直线方程，得，所以直线必过定点，故点到直线的距离的最大值为.故选:C4.(2023·山东青岛·二模）已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】设点，则，圆心到的距离为则点P到直线的距离最小值为故选：B5.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)C．a＝6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)答案：B【解析】由题知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq\f(4,3)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq\f(\r(5),3).【题型五对称问题】1.(2023·南京市大厂高级中学高三月考）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为A． B．C． D．答案：A【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，所以，解得，代入，得：，所以直线的方程为.故选：A2.(2023·全国高三专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（）A． B． C． D．答案：A【解析】直线即，故，设点关于的对称点坐标为．则解得．点关于的对称点坐标为．故选：A．3.(2023·山东青岛·二模）若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（）A． B． C． D．答案：C【解析】∵＝k（x﹣1）+1，∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），则，得，即直线l2恒过定点故选：C4.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)答案：D【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0<t<4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点