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文档简介
8.1直线方程【题型解读】【题型一直线的倾斜角与斜率】1.(2023·全国·高三专题练习))直线的倾斜角的大小为()A. B. C. D.2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习)))设直线l的方程为,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.3.(2023·青岛高三月考)直线2xcosα-y-3=0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(2π,3)))4.(2023·济南高三期末)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________,______.【题型二求直线的方程】1.(2023·青岛高三模拟)过点且倾斜角为的直线方程为()A. B.C. D.2.(2023·山东日照高三模拟))经过点,且方向向量为的直线方程是()A. B.C. D.3.(2023·浙江高三专题练习)直线,当变化时,所得直线都通过的定点是()A. B. C. D.4.(2023·全国高三模拟)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为()A.x+y=0 B.x-y+2=0C.x+y+2=0 D.x-y=05.(2023·浙江高三模拟)过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.【题型三直线的位置关系】1.(2023·全国高三专题练习)直线,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2023·广东深圳市·高三二模)若直线与直线互相垂直,则实数等于()A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)设,则“”是“直线与直线垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2023·全国·高三专题练习)“”是“直线与直线互相垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2023·杭州模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0(a∈R),则“ea=eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(2,0),B(1,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为()A.x-2y-4=0 B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0 D.2x-4y+1=0【题型四两直线的交点与距离问题】1.(2023·浙江高三专题练习)点到直线的距离为()A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)若直线:与直线:平行,则直线与之间的距离为______.3.已知,满足,则点到直线的距离的最大值为()A.0 B.1 C. D.4.(2023·山东青岛·二模)已知点P与点的距离不大于1,则点P到直线的距离最小值为()A.4 B.5 C.6 D.75.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则a,d的值分别为()A.a=6,d=eq\f(\r(6),3) B.a=-6,d=eq\f(\r(5),3)C.a=6,d=eq\f(\r(5),3) D.a=-6,d=eq\f(\r(6),3)【题型五对称问题】1.(2023·南京市大厂高级中学高三月考)已知直线,直线与关于直线对称,则直线的方程为A. B.C. D.2.(2023·全国高三专题练习)已知直线过定点,则点关于对称点的坐标为()A. B. C. D.3.(2023·山东青岛·二模)若直线与直线关于点对称,则直线一定过定点()A. B. C. D.4.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心,则AP的长度为()A.2B.1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)5.已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为________.8.1直线方程【题型解读】【题型一直线的倾斜角与斜率】1.(2023·全国·高三专题练习))直线的倾斜角的大小为()A. B. C. D.答案:D【解析】由可得,所以直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则,因为,所以,故选:D.2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习)))设直线l的方程为,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案:C【解析】当时,方程变为,其倾斜角为,当时,由直线方程可得斜率,且,,即,又,,由上知,倾斜角的范围是.故选:C.3.(2023·青岛高三月考)直线2xcosα-y-3=0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(2π,3)))答案:B【解析】直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3))),所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2),因此k=2cosα∈[1,eq\r(3)].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,eq\r(3)].由于θ∈[0,π),所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,3))),即倾斜角的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,3))).4.(2023·济南高三期末)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________,______.答案:eq\f(1,3)-3【解析】如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为2,建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tanθ=2,由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,故kOA=tan(θ-45°)=eq\f(tanθ-tan45°,1+tanθtan45°)=eq\f(2-1,1+2)=eq\f(1,3),kOC=tan(θ+45°)=eq\f(tanθ+tan45°,1-tanθtan45°)=eq\f(2+1,1-2)=-3.【题型二求直线的方程】1.(2023·青岛高三模拟)过点且倾斜角为的直线方程为()A. B.C. D.答案:D【解析】因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为,所以直线方程为,即,故选:D2.(2023·山东日照高三模拟))经过点,且方向向量为的直线方程是()A. B.C. D.答案:A【解析】直线的方向向量为,直线的斜率,直线的方程为,即.故选:A.3.(2023·浙江高三专题练习)直线,当变化时,所得直线都通过的定点是()A. B. C. D.答案:C【解析】由变形得:,由,解得,直线恒过定点.故选:C.4.(2023·全国高三模拟)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为()A.x+y=0 B.x-y+2=0C.x+y+2=0 D.x-y=0答案:B【解析】因为B(3,1),C(1,3),所以kBC=eq\f(3-1,1-3)=-1,故BC边上的高所在直线的斜率k=1,又高线经过点A(-1,1),所以其所在的直线方程为x-y+2=0.2.5.(2023·浙江高三模拟)过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.答案:x+y-3=0或x+2y-4=0【解析】由题意可设直线方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=6,,\f(2,a)+\f(1,b)=1,))解得a=b=3或a=4,b=2.故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.【题型三直线的位置关系】1.(2023·全国高三专题练习)直线,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A【解析】当时,直线,,,所以,故充分;当时,,解得或,故不必要;所以“”是“”的充分不必要条件,故选:A2.(2023·广东深圳市·高三二模)若直线与直线互相垂直,则实数等于()A. B. C. D.答案:B【解析】由已知条件可得,解得.故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)设,则“”是“直线与直线垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A【解析】由题知,当时,直线的方程为,斜率,直线的方程为,斜率.因为,所以两直线垂直,故充分性成立;若直线与垂直,则有,解得或,故必要性不成立.故选:A.4.(2023·全国·高三专题练习)“”是“直线与直线互相垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A【解析】若,则直线和直线互相垂直,是充分条件;若直线与直线互相垂直,则,因为m取任意实数都成立,故不是必要条件;故选:A.5.(2023·杭州模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0(a∈R),则“ea=eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A【解析】当l1∥l2时,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-a+2=0,,2a-1≠0,))解得a=-1或a=2.而由ea=eq\f(1,e),解得a=-1,所以“ea=eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的充分不必要条件.6.(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(2,0),B(1,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为()A.x-2y-4=0 B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0 D.2x-4y+1=0答案:D【解析】由题设,可得kAB=eq\f(2-0,1-2)=-2,且AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),1)),∴AB垂直平分线的斜率k=-eq\f(1,kAB)=eq\f(1,2),故AB的垂直平分线方程为y=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2)))+1=eq\f(x,2)+eq\f(1,4),∵AC=BC,则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线的方程为2x-4y+1=0.【题型四两直线的交点与距离问题】1.(2023·浙江高三专题练习)点到直线的距离为()A. B. C. D.答案:B【解析】根据距离公式可得:点到直线的距离,故选:B.2.(2023·全国·高三专题练习)若直线:与直线:平行,则直线与之间的距离为______.答案:【解析】∵直线与平行,∴,解得,∴直线:,直线:,∴直线与之间的距离.故答案为:3.已知,满足,则点到直线的距离的最大值为()A.0 B.1 C. D.答案:C【解析】将代入直线方程,得,所以直线必过定点,故点到直线的距离的最大值为.故选:C4.(2023·山东青岛·二模)已知点P与点的距离不大于1,则点P到直线的距离最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7答案:B【解析】设点,则,圆心到的距离为则点P到直线的距离最小值为故选:B5.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则a,d的值分别为()A.a=6,d=eq\f(\r(6),3) B.a=-6,d=eq\f(\r(5),3)C.a=6,d=eq\f(\r(5),3) D.a=-6,d=eq\f(\r(6),3)答案:B【解析】由题知2×3=-a,解得a=-6,又-6x+3y-4=0可化为2x-y+eq\f(4,3)=0,∴d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3-\f(4,3))),\r(5))=eq\f(\r(5),3).【题型五对称问题】1.(2023·南京市大厂高级中学高三月考)已知直线,直线与关于直线对称,则直线的方程为A. B.C. D.答案:A【解析】在上任取一点,设关于直线的对称点为,所以,解得,代入,得:,所以直线的方程为.故选:A2.(2023·全国高三专题练习)已知直线过定点,则点关于对称点的坐标为()A. B. C. D.答案:A【解析】直线即,故,设点关于的对称点坐标为.则解得.点关于的对称点坐标为.故选:A.3.(2023·山东青岛·二模)若直线与直线关于点对称,则直线一定过定点()A. B. C. D.答案:C【解析】∵=k(x﹣1)+1,∴l1:y=kx﹣k+1过定点(1,1),设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(x,y),则,得,即直线l2恒过定点故选:C4.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心,则AP的长度为()A.2B.1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)答案:D【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0<t<4),可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点
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