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文档简介
第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.2二项式定理(针对练习)针对练习针对练习一求指定项的二项式系数与系数1.求的展开式的第4项的二项式系数(
)A. B. C.15 D.202.的展开式中第3项的二项式系数是(
)A. B. C. D.3.已知的展开式中含的项的系数为(
)A.30 B.-30 C.25 D.-254.在的展开式中,常数项为(
)A.80 B. C.160 D.5.二项展开式中,有理项的项的个数是A.3 B.4 C.5 D.6针对练习二已知二项式系数与系数求参数6.若的展开式中项的系数为160,则正整数n的值为(
)A.4 B.5 C.6 D.77.若的展开式中的系数为10,则实数a=(
)A.2 B.3 C.4 D.58.的展开式中,第5项为常数项,则n=(
)A.8 B.6 C.7 D.109.若的展开式中的系数为150,则(
)A.20 B.15 C.10 D.2510.设常数.若的二项展开式中项的系数为-15,则(
)A.-2 B.2 C.3 D.-3针对练习三二项式系数与系数的增减性与最值11.在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则(
)A.5 B.6 C.7 D.812.在展开式中,二项式系数最大项的系数为(
)A.20 B.15 C. D.13.在的展开式中,第3项与第4项的二项式系数相等,则的系数等于(
)A.672 B. C.80 D.14.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是A.210 B.180 C.160 D.17515.在的展开式中,第3项与第8项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项是(
)A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第4,5项针对练习四二项式系数之和、各项系数之和16.的展开式中,各项二项式系数的和是(
)A.1 B.-1 C. D.17.在的展开式中,所有二项式系数和为64,则(
)A.6 B.7 C.8 D.918.,则()A.16
B.27
C.43
D.7019.已知,则(
)A. B.0 C.1 D.220.若,则(
)A.27 B.-27 C.54 D.-54针对练习五三项展开式的系数问题21.在的展开式中,的系数是(
)A.15 B.30 C.36 D.6022.在的展开式中,含项的系数为(
)A. B.6 C. D.2423.的展开式中的系数为(
)A.90 B.180 C.270 D.36024.的展开式中的常数项为(
)A. B. C.80 D.16125.若的展开式中的系数为35,则正数(
)A. B.2 C. D.4针对练习六两个二项式乘积展开式的系数问题26.在的展开式中,的系数为(
)A.10 B. C.30 D.27.的展开式中的系数为(
)A.160 B. C.148 D.28.的展开式中的项系数为(
)A.30 B.10 C.-30 D.-1029.的展开式中,常数项为(
)A.8 B.16 C.18 D.2430.若的展开式中的系数为0,则(
)A. B. C. D.针对练习七整除与余数问题、近似值问题31.除以10的余数是(
)A.9 B.3 C.1 D.032.被7除的余数为(
)A.0 B.1 C.2 D.333.若是正奇数,则被9除的余数为(
)A.2 B.5 C.7 D.834.的计算结果精确到0.001的近似值是A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.94335.的计算结果精确到个位的近似值为A.106 B.107 C.108 D.109针对练习八杨辉三角36.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,它出现要比杨辉迟393年.那么,第9行第8个数是______.37.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中,第15行第13个数是______.(用数字作答)
……38.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家,其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方做法本源”,现简称为“杨辉三角”,比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.若用表示三角形数阵中的第m行第n个数,则(
)A.5050 B.4851 C.4950 D.500039.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2020项为(
)A. B. C. D.40.在杨辉三角中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示,那么在杨辉三角中出现三个相邻的数,其比为3:4:5的行数为(
)第0行第1行第2行第3行第4行第5行11
11
2
11
3
3
11
4
6
4
11
5
10
10
5
1A.58 B.62 C.63 D.64第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.2二项式定理(针对练习)针对练习针对练习一求指定项的二项式系数与系数1.求的展开式的第4项的二项式系数(
)A. B. C.15 D.20【答案】D【分析】根据二项展开式的通项,结合二项式系数的性质,即可求解.【详解】由二项展开式的二项式系数的性质,可得二项式的展开式的第4项的二项式系数.故选:D.2.的展开式中第3项的二项式系数是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据二项展开式的通项,结合二项式系数的概念,即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为,可得的展开式中第3项的二项式系数是.故选:A.3.已知的展开式中含的项的系数为(
)A.30 B.-30 C.25 D.-25【答案】A【分析】根据二项式展开式的通项公式,列出方程即可求出,代入即可求解.【详解】展开式的第项为,令,得,故展开式中含的项的系数为.故选:A.4.在的展开式中,常数项为(
)A.80 B. C.160 D.【答案】D【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项(第4项)为常数项.【详解】由于互为倒数,故常数项为第4项,即常数项为,故选:D5.二项展开式中,有理项的项的个数是A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由题,先将二项式展开项求得,然后由题,有理项即x得次数为整数,可得结果.【详解】由题,二项式展开项为:当时,即时,为有理项,共3项故选A【点睛】本题考查了二项式定理,熟悉二项式定理的公式是解题的关键,属于基础题.针对练习二已知二项式系数与系数求参数6.若的展开式中项的系数为160,则正整数n的值为(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知:含项为
,由题意,,解得;故选:C.7.若的展开式中的系数为10,则实数a=(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【分析】利用二项式定理,求出展开式的通项公式,列出方程,求出.【详解】的展开式通项公式为,令,解得:,则,解得:.故选:A8.的展开式中,第5项为常数项,则n=(
)A.8 B.6 C.7 D.10【答案】B【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得.【详解】的展开式的第5项为.只需,解得:.故选:B.9.若的展开式中的系数为150,则(
)A.20 B.15 C.10 D.25【答案】C【解析】写出此二项展开式的通项,令的系数为6求出r,即可代入通项求出的系数,列出等式即可求解.【详解】此二项展开式的通项为,令,解得,此时,则.故选:C【点睛】本题考查二项展开式的特定项的系数,属于基础题.10.设常数.若的二项展开式中项的系数为-15,则(
)A.-2 B.2 C.3 D.-3【答案】D【分析】利用通项公式求出项的系数且等于-15,建立关于的方程,求解即可.【详解】的二项展开式的通项公式为,.令,得,所以展开式中项的系数为,解得.故选:D.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,属于基础题.针对练习三二项式系数与系数的增减性与最值11.在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则(
)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】当n为偶数时,展开式中第项二项式系数最大,当n为奇数时,展开式中第和项二项式系数最大.【详解】因为只有一项二项式系数最大,所以n为偶数,故,得.故选:B12.在展开式中,二项式系数最大项的系数为(
)A.20 B.15 C. D.【答案】C【分析】由二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数,再利用二项展开式通项公式得该项系数.【详解】由题意展开式中共有7项,中间项第4项的二项式系数最大,,系数为.故选:C.13.在的展开式中,第3项与第4项的二项式系数相等,则的系数等于(
)A.672 B. C.80 D.【答案】D【分析】根据二项式系数的性质得出,再由二项式展开式通项公式得出的项数,即得系数.【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等,得,所以,令,,∴所求系数为.故选:D.【点睛】本题考查二项式定理,考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式,掌握二项式系数的性质是解题关键.14.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是A.210 B.180 C.160 D.175【答案】B【分析】根据题意,得出二项式的指数的值,再利用展开式的通项公式求出常数项是多少.【详解】解:展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10;∴展开式的通项公式为令,得,常数项是,故选B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了逻辑推理与运算能力,是基础题目.15.在的展开式中,第3项与第8项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项是(
)A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第4,5项【答案】B【分析】先求出n=9,再利用项的系数和二项式系数的关系求解【详解】由题知,则n=9,的展开式中,二项式系数最大为第5项和第6项,即,但第6项系数为,故展开式中系数最大的项是第5项故选:B针对练习四二项式系数之和、各项系数之和16.的展开式中,各项二项式系数的和是(
)A.1 B.-1 C. D.【答案】C【分析】先写出各项二项式系数和,再化简即得解.【详解】由题得各项二项式系数和为.故选:C17.在的展开式中,所有二项式系数和为64,则(
)A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【分析】由二项式系数和的特征即可求解.【详解】由题意可知:,故选:A18.,则()A.16
B.27
C.43
D.70【答案】C【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】依题意,令,得.故选:C19.已知,则(
)A. B.0 C.1 D.2【答案】B【分析】赋值法进行求解【详解】令,得,①令,得,②两式相加,得.令得:,.故选:B.20.若,则(
)A.27 B.-27 C.54 D.-54【答案】B【分析】采用赋值法,令和得到不同的系数和,两个系数和相加即可求.【详解】,令可得,令可得,两式相加可得,∴.故选:B.针对练习五三项展开式的系数问题21.在的展开式中,的系数是(
)A.15 B.30 C.36 D.60【答案】B【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以的通项公式为:,令,所以,因此的系数是,故选:B22.在的展开式中,含项的系数为(
)A. B.6 C. D.24【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】解:通项公式为:,的通项公式.令,则.∴含项的系数为.故选:B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.23.的展开式中的系数为(
)A.90 B.180 C.270 D.360【答案】C【分析】根据二项式定理通项得:,再分析求解即可.【详解】展开通项为:,当,,所以的系数为:.故选:C.24.的展开式中的常数项为(
)A. B. C.80 D.161【答案】A【分析】利用二项式展开式的原理可算出答案.【详解】,所以展开式中的常数项为故选:A25.若的展开式中的系数为35,则正数(
)A. B.2 C. D.4【答案】B【分析】根据题意得,分析展开式含项仅有和,再展开求系数即可.【详解】因为展开式为:,即,所以,,,所以含的系数为,又为正数,所以.故选:B.针对练习六两个二项式乘积展开式的系数问题26.在的展开式中,的系数为(
)A.10 B. C.30 D.【答案】D【分析】依题意可得,再写出展开式的通项,从而求出的系数.【详解】解:,其中展开式的通项为,所以展开式中含的项为,所以的系数为;故选:D27.的展开式中的系数为(
)A.160 B. C.148 D.【答案】C【分析】根据多项式乘法原理以及组合知识即可解出.【详解】的展开式中的系数为.故选:C.28.的展开式中的项系数为(
)A.30 B.10 C.-30 D.-10【答案】B【分析】求得的通项,分别分析和的系数,即可求出答案.【详解】因为,的通项为:令,则,令,则,所以的系数为.故选:B.29.的展开式中,常数项为(
)A.8 B.16 C.18 D.24【答案】D【分析】将展开为,求出的通项,使,代入即可求出答案.【详解】将展开为,则的通项为:,所以的展开式中,常数项为:故选:D.30.若的展开式中的系数为0,则(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先求得的展开式中和的系数,得到的展开式中的系数,进而可以解得.【详解】因为的展开式中的系数为,的系数为,所以的展开式中的系数为,由,得.故选:C.针对练习七整除与余数问题、近似值问题31.除以10的余数是(
)A.9 B.3 C.1 D.0【答案】A【分析】对变形为,故,故除以10的余数是9.【详解】,所以故除以10的余数是9.故选:A32.被7除的余数为(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】,然后由二项式定理展开后结合整除知识可得.【详解】,展开式中除最后一项外,其它各项都是7的整数倍,所以被7除的余数等于=10被7除的余数,结果为3.故选:D.33.若是正奇数,则被9除的余数为(
)A.2 B.5 C.7 D.8【答案】C【分析】将原式转化为,再将其用二项式定理展开,再结合是正奇数,即可求出其被除的余数.【详解】由题可知:原式=,因为为正奇数,所以上式可化简为:所以该式除以9,余数为7.故选:C.34.的计算结果精确到0.001的近似值是A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943【答案】B【解析】将0.99分解成再利用二项式定理进行计算,取近似值.【详解】故选B【点睛】本题考查二项式定理的应用.求近似值时要估算各项的精确度要求.35.的计算结果精确到个位的近似值为A.106 B.107 C.108 D.109【答案】B【分析】由题得,再利用二项式定理求解即可.【详解】∵,∴.故选B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.针对练习八杨辉三角36.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,它出现要比杨辉迟393年.那么,第9行第8个数是______.【答案】【分析】根据题意,结合杨辉三角,找出规律,即可得出结果.【详解】由题意,第0行的数为,第1行的数为,第2行的数为,第3行的数为,第4行的数为,因此,第行第个数为:,所以第9行第8个数是.故答案为:.【点睛】本题主要考查杨辉三角的应用,属于基础题型.37.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中,第15行第13个数是______.(用数字作答)
……【答案】455【分析】由图观察计算可知第n行第个数为,进而可以求出结果.【详解】由题图可知,第1行:,,第2行:,,,第3行:,,,,第4行:,,,,,…,观察可得第n行第个数为,所以第15行第13个数为.故答案为:455.38.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家,其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方做
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