高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.5空间几何体中平行的判定和性质(精讲)(原卷版+解析)

7.5空间几何体中平行的判定和性质【题型解读】【知识必备】空间点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α2．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b3.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.【题型精讲】【题型一线面平行的判定】技巧方法判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．例1(2023·陕西安康·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面例2(2023·江苏南通市高三模拟）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面2.(2023·海原县高三模拟）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【题型二面面平行的判定】技巧方法证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．例3(2023·全国高三模拟）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面例4(2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面2.(2023·全国高三模拟）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面【题型三线线平行的判定】例5(2023·江西高三模拟）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF(1)证明:AF//平面BDG(2)证明:AB//EF例6(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：2.(2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：【题型四平行中的探究性问题】例7(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值例8(2023·福建·三明一中模拟预测）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由【题型精练】1.(2023·广东佛山市高三模拟）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由2.(2023·云南昆明市高三模拟）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由7.5空间几何体中平行的判定和性质【题型解读】【知识必备】空间点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α2．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b3.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.【题型精讲】【题型一线面平行的判定】技巧方法判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．例1(2023·陕西安康·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面答案：证明见解析【解析】延长交于，连接，因为为的重心，则为的中点，且，因为，所以，所以，因此，又因为平面，平面，所以平面；例2(2023·江苏南通市高三模拟）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面答案：证明见解析【解析】证明：取的中点H，连接PH，HC.在堑堵中，四边形为平行四边形，所以且.在中，P，H分别为，的中点，所以且.因为N为BC的中点，所以，从而且，所以四边形PHCN为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面答案：证明见解析；【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．∵，则，∵点是的中点，故，且平面，故平面．又，故是的中点，是的中点，则，且平面，故平面，且，故平面平面．又平面，故平面．2.(2023·海原县高三模拟）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面答案：证明见解析；【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面答案：证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；【题型二面面平行的判定】技巧方法证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．例3(2023·全国高三模拟）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面答案：证明见解析【解析】如图，连接，设，则为的中点，而为AC的中点，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，又因为侧棱与底面垂直，所以，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.例4(2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面答案：证明见解析【解析】证明：如图，连接，交于点N，∴N为的中点，连接，由M为棱的中点，则．∵面，面，∴平面．∵，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面答案：证明见解析【解析】证明：连结，由题意可得与共线，且，∵是的中点，，∴是的中点，∴，∴，平面；平面；∴平面，∵是的中点，∴，平面，平面；∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面；2.(2023·全国高三模拟）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面答案：证明见解析【解析】∵，分别是，的中点，∴，且平面，则平面，，且，∴四边形是矩形，则，且平面，则平面又，故平面平面【题型三线线平行的判定】例5(2023·江西高三模拟）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF(1)证明:AF//平面BDG(2)证明:AB//EF答案：(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.因为面,面,所以AF//平面BDG.(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.因为面,面,所以AB//平面.因为面,面面=EF.所以AB//EF.例6(2023·重庆八中高三阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：.答案：证明见解析【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.(2)证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.

(3)证明：平面，平面，平面平面，.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：答案：证明见解析【解析】∵、分别是棱、的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，则；2.(2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：答案：证明见解析【解析】依题意，平面，平面，∴平面，又平面，，∴平面平面，∴平面平面，平面平面，∴；【题型四平行中的探究性问题】例7(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值答案：存在，【解析】因为面，故三棱柱为直三棱柱.故面，而面，故，因为，故且，因为是棱的中点，故，因为，∴直线平面，而平面，∴，又，，∴平面，而平面，∴，在矩形中，，，故，故，故即，故.过作，交于，取的中点为，连接，则，而，故，所以，即，所以.在矩形中，因为，故，而，所以，所以，而平面，平面，所以平面.在上取点，使，连，因为，故，故.在矩形中，因为为所在棱的中点，故而故，故四边形为平行四边形，故，故，而平面，平面，所以平面.因为，故平面以平面，因为平面，故平面.例8(2023·福建·三明一中模拟预测）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由答案：存在，证明见解析【解析】存在，当点为线段的中点时，平面平面.证明：在长方体中，，.又因为平面，平面，所以平面.又为的中点，为的中点，所以，且.故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面【题型精练】1.(2023·广东佛山市高三模拟）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由答案：存在，当时，平面【解析】当时，平面证明如下：连接交于点G，连接，因为，所以又∵平面，平面∴平面2.(2023·云南昆明市高三模拟）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABC