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文档简介
7.5空间几何体中平行的判定和性质【题型解读】【题型一线面平行的判定】1.(2023·陕西安康·高三期末)如图,直四棱柱的底面是菱形,,,,,分别是,,的中点,证明:平面2.(2023·江苏南通市高三模拟)在四棱锥中,底面为梯形,,,若为的中点,求证:平面3.(2023·陕西高三模拟)如图所示,在四棱锥中,平面,E是的中点.(1)求证://平面(2)求证://平面.4.(2023·海原县高三模拟)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,其中,,,且.点在棱上,点为中点,证明:若,则直线平面5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的菱形,是的中点,是的中点,,求证:平面6.(2023·辽宁高三期末)如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的菱形,是的中点,是的中点,,求证:平面【题型二面面平行的判定】1.(2023·全国高三模拟)在正方体中,分别是和的中点.求证:(1)平面.(2)平面平面.2.(2023·河北衡水中学高三模拟)如图,四边形ABCD是边长为的菱形,BB1=DD1=2,E,F分别是AD1,AB1的中点,证明:平面BDEF∥平面CB1D13.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,四棱台中,底面为直角梯形,,,底面,,为棱的中点,证明:平面4.(2023·全国高三模拟)如图,在四棱锥中,,,,,、、分别为线段、、的中点,证明:平面平面.【题型三线线平行的判定】1.(2023·江西高三模拟)如图(1),在梯形中,且,线段上有一点E,满足,,现将分别沿折起,使,得到如图(2)所示的几何体.求证:2.(2023·重庆八中高三阶段练习)如图所示,四棱锥的底面是直角梯形,,底面,过的平面交于,交于(与不重合).求证:;3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四面体中,,分别为,的中点,过的平面与,分别交于点,.求证:4.(2023·全国·高三专题练习)如图,平面,平面,,求证:【题型四平行中的探究性问题】1.(2023·山东·模拟预测)如图,已知平面,平面,,设是直线上的点,当点在何位置时,直线平面?请说明理由2.(2023·福建·三明一中模拟预测)已知四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,平面,,于点,试问在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由;3.(2023·广东佛山市高三模拟)在三棱锥中,平面,,,,为的中点,为的中点,在线段上是否存在一点,使平面?若存在,指出点的位置并给出证明,若不存在,说明理由7.5空间几何体中平行的判定和性质【题型解读】【题型一线面平行的判定】1.(2023·陕西安康·高三期末)如图,直四棱柱的底面是菱形,,,,,分别是,,的中点,证明:平面答案:证明见解析【解析】连接,分别为中点,;由直四棱柱特点知:,,又为中点,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;2.(2023·江苏南通市高三模拟)在四棱锥中,底面为梯形,,,若为的中点,求证:平面答案:证明见解析【解析】证明:∵在梯形中,,,为的中点,所以且,∴四边形为平行四边形,所以,∵平面,平面,所以平面.3.(2023·陕西高三模拟)如图所示,在四棱锥中,平面,E是的中点.(1)求证://平面(2)求证://平面.答案:(1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】(1)因为平面,平面,平面平面,所以,又平面,平面,则平面;(2)取中点,连接,易得,且,由(1)知且,则且,则四边形为平行四边形,则,又平面,平面,则平面.4.(2023·海原县高三模拟)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,其中,,,且.点在棱上,点为中点,证明:若,则直线平面答案:证明见解析【解析】在上取一点,使得,连接,,,又平面,平面,平面;,,,,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面;,平面,平面平面,平面,平面.5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的菱形,是的中点,是的中点,,求证:平面答案:证明见解析【解析】证明:如图①,取的中点,连接,,因为是的中点,所以且.因为四边形是菱形,是的中点,所以且,从而且,所以四边形是平行四边形,从而.又平面,平面,所以平面.6.(2023·辽宁高三期末)如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的菱形,是的中点,是的中点,,求证:平面答案:证明见解析【解析】证明:如图①,取的中点,连接,,因为是的中点,所以且.因为四边形是菱形,是的中点,所以且,从而且,所以四边形是平行四边形,从而.又平面,平面,所以平面.【题型二面面平行的判定】1.(2023·全国高三模拟)在正方体中,分别是和的中点.求证:(1)平面.(2)平面平面.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接,因为四边形为正方形,为中点,所以为中点,又因为为中点,所以.因为平面平面,所以平面,连接,因为四边形为正方形,为中点,所以为中点.又因为为中点,所以.因为平面平面所以平面.由(1)知平面,又,平面,所以平面平面.2.(2023·河北衡水中学高三模拟)如图,四边形ABCD是边长为的菱形,BB1=DD1=2,E,F分别是AD1,AB1的中点,证明:平面BDEF∥平面CB1D1答案:证明见解析【解析】证明:连接,交于点,连接,则为的中点,∵是的中点,平面,平面,所以平面又是的中点平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,四棱台中,底面为直角梯形,,,底面,,为棱的中点,证明:平面答案:证明见解析【解析】在上取点,使,连接交于点,连接,设,交于点,由,则,,∴,即,又面,面,∴面,同理可得/面,又,∴面面,又面,∴平面;4.(2023·全国高三模拟)如图,在四棱锥中,,,,,、、分别为线段、、的中点,证明:平面平面.答案:证明见解析【解析】如图,连接、,与相交于点,连接,因为,,为线段的中点,,所以四边形为矩形,为的中点,因为为的中点,所以为的中位线,,因为平面,平面,所以平面,因为、分别为线段、的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,因为平面,平面,,所以平面平面【题型三线线平行的判定】1.(2023·江西高三模拟)如图(1),在梯形中,且,线段上有一点E,满足,,现将分别沿折起,使,得到如图(2)所示的几何体.求证:答案:证明见解析;【解析】图(1)中,,则,而,即,在中,,有,同理可得,则,图(2)中,,则,而,平面,则有平面,在中,,则,又,,平面,因此平面,所以.2.(2023·重庆八中高三阶段练习)如图所示,四棱锥的底面是直角梯形,,底面,过的平面交于,交于(与不重合).求证:;答案:证明见解析【解析】证明:在梯形中,,平面,平面,平面.又平面,平面平面,所以.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四面体中,,分别为,的中点,过的平面与,分别交于点,.求证:答案:(1)证明见解析;(2).【解析】因为,分别为,的中点,所以,因为平面,平面所以平面又平面平面,平面所以,所以.4.(2023·全国·高三专题练习)如图,平面,平面,,求证:答案:证明见解析【解析】依题意,平面,平面,∴平面,又平面,,∴平面平面,∴平面平面,平面平面,∴;【题型四平行中的探究性问题】1.(2023·山东·模拟预测)如图,已知平面,平面,,设是直线上的点,当点在何位置时,直线平面?请说明理由答案:点是的中点,理由见解析【解析】当点是的中点时,平面.理由如下:如下图,取的中点,连接、、,则且,因为平面,平面,所以.又,所以且,所以四边形是平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面;2.(2023·福建·三明一中模拟预测)已知四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,平面,,于点,试问在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由;答案:存在,为线段的中点;理由见解析【解析】当为线段的中点时,平面.下面给出证明:取的中点,连接,,则,且,所以四边形为平行四边形,所以.因为,,所以为的中点,又为的中点,,,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,且,又,,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,所以,又平面,平面,所以平面,3.(2023·广东佛山市高
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