新高考数学二轮复习专题2-3 零点与复合嵌套函数（解析版）

专题2-3零点与复合嵌套函数目录TOC\o"1-1"\h\u_Toc1483题型01零点基础：二分法 1题型02根的分布 3题型03根的分布：指数函数二次型 5题型04零点：切线法 7题型05抽象函数型零点 12题型06分段含参讨论型 14题型07参数分界型讨论 16题型08分离参数型水平线法求零点 20题型09对数绝对值水平线法 24题型10指数函数“一点一线”性质型 27题型11零点：中心对称性质型 30题型12零点：轴对称性质型 34题型13嵌套型零点：内外自复合型 36题型14嵌套型零点：内外双函数复合型 40题型15嵌套型零点：二次型因式分解 42题型16嵌套型零点：二次型根的分布 46题型17嵌套型零点：放大型函数 49高考练场 54题型01零点基础：二分法【解题攻略】用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度SKIPIF1<0，用二分法求函数SKIPIF1<0零点SKIPIF1<0的近似值的一般步骤如下：①确定零点SKIPIF1<0的初始区间SKIPIF1<0，验证SKIPIF1<0．②求区间SKIPIF1<0的中点c．③计算SKIPIF1<0，并进一步确定零点所在的区间：a．若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0），则c就是函数的零点．b．若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0），则令bSKIPIF1<0．c．若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0，则令aSKIPIF1<0．④判断是否达到精确度SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．【典例1-1】（2022·高三课时练习）已知函数SKIPIF1<0满足：对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先根据条件分析得到SKIPIF1<0的单调性，然后根据二分法的过程得到SKIPIF1<0满足的方程组，由此求解出SKIPIF1<0的值，则SKIPIF1<0的零点可知.【详解】因为对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0，故选：B.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0那么方程SKIPIF1<0的一个近似根（精确度SKIPIF1<0）可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0内有零点，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0内有零点，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0内有零点，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0内有零点，因为SKIPIF1<0，所以不满足精确度SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0内有零点，因为SKIPIF1<0，所以满足精确度SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的一个近似根（精确度SKIPIF1<0）是区间SKIPIF1<0内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.选：C【变式1-1】（2021秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的一个零点SKIPIF1<0，用二分法求精确度为0.01的SKIPIF1<0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】假设对区间二等分SKIPIF1<0次，则第SKIPIF1<0次二等分后区间长度为SKIPIF1<0，由精确度可构造不等式求得结果.【详解】设对区间SKIPIF1<0二等分SKIPIF1<0次，开始时区间长为SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次二等分后区间长为SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0最多需要SKIPIF1<0次故选：SKIPIF1<0【变式1-2】（2021·江苏南通·高三海安高级中学校考）函数SKIPIF1<0的零点与SKIPIF1<0的零点之差的绝对值不超过SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式可能是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据二分法，估算SKIPIF1<0的零点，结合选项函数的零点进行判断.【详解】因为SKIPIF1<0，是单调增函数，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的零点所在区间为SKIPIF1<0，若使得SKIPIF1<0的零点与SKIPIF1<0的零点之差的绝对值不超过SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0的零点在区间SKIPIF1<0即可.显然A选项中，SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0满足题意，而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点SKIPIF1<0均不满足题意.故选：A.【变式1-3】（2020秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知图像连续不断的函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间SKIPIF1<0等分的次数至少是（

）A．4 B．6 C．7 D．10【答案】D【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足SKIPIF1<0精确度确定．【详解】设需计算SKIPIF1<0次，则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故计算10次就可满足要求，所以将区间SKIPIF1<0等分的次数至少是10次．故选：D．题型02根的分布【解题攻略】根的分布1.基础分布：0分布特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。方法：判别式+韦达定理区间分布与K分布特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手开口方向；判别式；对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负【典例1-1】（2023上·甘肃武威·高三统考开学考试）关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有两个不相等的正实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.【详解】根据题意可知；SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B【典例1-2】（2023·高三课时练习）关于x的方程SKIPIF1<0至少有一个负根的充要条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.【详解】当方程没有根时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当方程有根，且根都不为负根时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，即关于x的方程SKIPIF1<0没有一个负根时，SKIPIF1<0，所以关于x的方程SKIPIF1<0至少有一个负根的充要条件是SKIPIF1<0，故选:B.【变式1-1】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知一元二次方程SKIPIF1<0的两根都在SKIPIF1<0内，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，根据二次函数零点分布可得出关于实数SKIPIF1<0的不等式组，由此可解得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因此，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B.【变式1-2】（2022上·广东广州·高三广州市第二中学校考阶段练习）已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有实根，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】参变分离可得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有实根，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据二次函数的性质求出SKIPIF1<0的值域，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有实根，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有实根，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有交点，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式1-3】（2022上·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）一元二次方程SKIPIF1<0有一个正根和一个负根的一个充要条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得SKIPIF1<0以及两根之积小于SKIPIF1<0，列不等式组即可求解.【详解】因为一元二次方程SKIPIF1<0有一个正根和一负根，设两根为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.题型03根的分布：指数函数二次型【解题攻略】指数型根的分布换元，令SKIPIF1<0，有指数函数性质知，t的最大范围为正。注意题中对方程根的正负范围，对应的t的取值范围根据换元后新“根”的范围，用一元二次型“根的分布”求解。特殊的函数式子，可以分离参数，转化为“水平线型”求解。【典例1-1】（2021上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有两个根为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别满足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】69【分析】根据韦达定理求解SKIPIF1<0,再构造方程根据反函数的性质求解SKIPIF1<0即可.【详解】因为SKIPIF1<0,展开化简得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的两交点的横坐标.故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为：69【典例1-2】．（2021·高三课时练习）设a为实数，若关于x的方程SKIPIF1<0有实数解，则a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】结合方程的特点，可设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），问题转化为一元二次方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与SKIPIF1<0两个函数有交点问题.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），要想方程SKIPIF1<0有实数解只需SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有交点即可；设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有实数解故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-1】（2021·山西临汾·统考二模）已知函数SKIPIF1<0．若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则m的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0有解等价于SKIPIF1<0有解，利用根分布可求m的取值范围.【详解】函数SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程可化为SKIPIF1<0，即关于t的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式1-2】（2021上·四川遂宁·高三阶段）已知方程SKIPIF1<0有两个不相等实根，则SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0由两个不相等的实数根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有两个零点，则SKIPIF1<0，解得即可；【详解】解：令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有两个不相等实根，所以方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0由两个不相等的实数根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有两个零点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式1-3】（2022下·浙江舟山·高三舟山中学校考开学考试）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0在区间[﹣1，1]上有解,则实数k的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】换元令t＝2x，则t∈[SKIPIF1<0，2]，转化为考虑方程k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0的根的问题.【详解】令t＝2x，则t∈[SKIPIF1<0，2]，∴方程k•4x﹣k•2x+1+6(k﹣5)＝0，化为:k•t2﹣2k•t+6(k﹣5)＝0，根据题意，此关于t的一元二次方程在[SKIPIF1<0，2]上有零点，整理，得:方程k(t2﹣2t+6)＝30，当t∈[SKIPIF1<0，2]时存在实数解∴kSKIPIF1<0，当t∈[SKIPIF1<0，2]时存在实数解∵t2﹣2t+6＝(t﹣1)2+5∈[5，6]，∴k∈[5，6]，故答案为[5，6].题型04零点：切线法【解题攻略】切线法求零点或者零点个数：适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。【典例1-1】（2020上·湖北武汉·高三校联考）已知函数SKIPIF1<0有三个零点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】根据SKIPIF1<0有三个零点，作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像，根据SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图像相切，得到SKIPIF1<0，然后得到SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，从而得到答案.【详解】由SKIPIF1<0有三个零点，即方程SKIPIF1<0有三个不同的解，作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像，可知两个函数的要有三个交点，则三个交点均大于0，且SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图像相切，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的切点横坐标不在SKIPIF1<0范围内，故舍去，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【典例1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意可知，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有三个交点，对实数SKIPIF1<0的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数SKIPIF1<0的不等式组，综合可解得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个不同的零点，所以，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个不同的实数根，作出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：函数SKIPIF1<0的图象恒过点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上仅有SKIPIF1<0个不同的交点，如下图所示：②当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，如下图所示：③当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，如下图所示：④当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，如下图所示：⑤当SKIPIF1<0时，要使得函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0个交点，则SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象有两个交点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等的实根，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0上有一个交点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由上可知，SKIPIF1<0；⑥当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，如下图所示：直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象有三个交点.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.【变式1-1】（2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，，即，的周期为.时，，，，，周期为4，，当，当，做出函数图像，如下图所示：令，当，，，两边平方得，，此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4，范围也表示为，所以所有的取值范围是.故选:D.【变式1-2】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出函数与函数的图像，讨论曲线与曲线，相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得的取值范围.【详解】作出与的图像，如图所示，

由，整理得，当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①的斜率；再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，对函数求导得，则所求切线的斜率为，所求切线即直线方程为，直线过定点，将代入切线方程得，解得，所以切点坐标为，所以，对应图中分界线③的斜率；当直线过点时，则，解得，对应图中分界线②的斜率.由于函数有三个零点，由图可知，实数的范围为.故选：C【变式1-3】（2020·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】结合分段函数的特点及图象，分段进行分析，转化为函数与有三个交点，结合相切状态的的值，可得的取值范围.【详解】当时，，设与相切于点，则，，解得.如图，，过端点时，斜率为若有三个零点，则.当时，，设与相切，则，，由可得或（舍），如图，因为时，与必有一个交点，所以若有三个零点，则.综上可得实数的取值范围是.题型05抽象函数型零点【解题攻略】抽象型函数判断函数图像定义域判断。函数奇偶性判断。函数简单性判断。函数值正负判断利用极限，判断无穷远处的值与“比值”【典例1-1】（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高三上学期11月冬季联考数学试题）已知定义域为的偶函数的图象是连续不断的曲线，且在上单调递增，则在区间上的零点个数为（

）A．100 B．102 C．200 D．202【答案】A【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.【详解】令，得，即，因为为偶函数，所以，，，所以是以4为周期的函数，因为在上单调递增，则在上递减，所以在一个周期内有两个零点，故在区间上的零点个数为.故选：A【典例1-2】（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，必有，若函数只有一个零点，则函数有（

）A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为4 D．最大值为4【答案】A【分析】由函数只有一个零点，结合条件可得方程只有一个根，即可求出，然后可求出的最值情况.【详解】由可得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为对于任意，必有，所以，即，因为函数只有一个零点，所以方程只有一个根，所以，解得，所以，令，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数有最小值为，故选：A【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由定义在上的奇函数可知且零点关于原点对称，利用，由可得到部分零点，即可得解；【详解】解：是定义在上的奇函数，，且零点关于原点对称，零点个数为奇数，又，，，，，的零点至少有这个；故选：C【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）定义在R上的单调函数满足：，若在上有零点，则a的取值范围是【答案】【分析】利用是奇函数且在R上的单调，转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.【详解】令,则,则；再令,则有，且定义域为R.是奇函数.在上有零点.在上有解；在上有解；又∵函数是R上的单调函数,在上有解.，；；令,则；在上单调递减,，.故答案为：.题型06分段含参讨论型【典例1-1】（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期10月一轮复习诊断考试（一）数学（文科）试题）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】因为函数在上有两个零点，可知在上无零点，从而可求得的范围.【详解】当时，，令，解得，即函数在上有两个零点，由题意得：在上无零点.所以在上无解，即在上无解，当时，，所以或.故选：D【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为．【答案】【分析】当时，可得在上单调递减，得在上有一个零点，在上单调递增，由二次函数的性质可得在上有一个零点，当时，分，，，四种情况分析讨论函数的零点【详解】解：（1）当时，时，，，故在上单调递减，又最小值，所以在上有一个零点，当时，，其对称轴为，则在上单调递增，又，，则在上有一个零点，又，所以符合题意．（2）当时，①时，当时，，所以，所以在上单调递减，因为，所以因为，所以在上没有零点，当时，，，则在上没有零点，不符合题意；②时，当时，，令可得，又时，，单调递减；时，，在单调递增，又，所以在上没有零点，当肘，，，则在上没有零点，不符合题意；③时，，当时，，令得，当时，，单调递减；时，，单调递增，则在上有极小值，所以在上没有零点，在上有一个零点，满足题意；④时，当时，，令可得，又时，，单调递减；时，，单调递增，且，则在上有极小值，所以在上没有零点，时，，其对称轴为，且，根据韦达定理可判断在上有两个零点，且两根之和为a，时符合题意，综上所述：a的取值范围为，故答案为:．【变式1-1】已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，令可求得一个零点，则当时，采用分离变量法可知与有且仅有一个交点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】当时，由得：，此时函数有一个零点；当时，有且仅有一个零点，即在上有唯一解，即与有且仅有一个交点，由二次函数图象可得图象如下图所示，由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，实数的取值范围为.故选：D.【变式1-2】已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出时，函数有一个零点，故时，函数有两个零点，令，由且解出a的取值范围即可.【详解】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．故选：C．【变式1-3】已知函数，则“”是“恰有2个零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先计算恰有2个零点时的范围，再根据充分必要条件的定义判断.【详解】因为当时，，所以当时有一个零点，又因为当时是增函数，当且仅当，即时，有一个零点，所以当且仅当时，恰有2个零点，故“”是“恰有2个零点”的必要不充分条件，故选：B.题型07参数分界型讨论【解题攻略】参数在分段函数分界处，需要分类讨论。分类讨论讨论点，首先是两段函数的交点处，齐次是每段函数的各自“特色”处，如二次函数如果二次项有参，则“开口”即位讨论点之一，要“多画图”，每一种情况，画处各自“小图”做对比【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数，当时，的零点个数为；若恰有4个零点，则的取值范围是.【答案】1【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.【详解】第一空：当时，当时，，解得；当时，，无零点，故此时的零点个数是1；第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；①若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，此时；②若恰有3个零点，则，此时，所以恰有1个零点，符合要求；③当时，，所以恰有1个零点，而至少有4个零点，此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.综上，或.故答案为：1；.【典例1-2】.（2021秋·山东济南·高三济南外国语学校校考期中）已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为．【答案】【分析】通过讨论m的取值情况，分析零点的个数．【详解】若m＜-2，则f（x）在（-∞，m]上无零点，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；若-2≤m＜0，则f（x）在（-∞，m]上有1个零点x=-2，在（m，+∞）上有1个零点x=4，符合题意；若0≤m＜4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；若m≥4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上无零点，符合题意；综上所述，-2≤m＜0或m≥4，即实数的取值范围为【变式1-1】（2022秋·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解.【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点，设，即函数在区间内恰有3个零点，当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意，当时，函数的对称轴为，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，当，即时，函数在区间上无零点，所以函数在上有三个零点，不符合题意；当，即时，函数在区间上只有一个零点，则当时，，令，解得或，符合题意；当，即时，函数在区间上有1个零点，则函数在上有2个零点，则，即，所以；当，即时，函数在区间上有2个零点，则函数在上只有1个零点，则或或，即无解.综上所述，的取值范围是.故选：D.【变式1-2】（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.【详解】设，，求导由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，且，，故在内必有唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增；令，解得或2，可作出函数的图像，令，即，在之间解得或或，作出图像如下图数形结合可得：，故选：A【变式1-3】（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）设，函数，若在区间内恰有9个零点，则a的取值范围是．【答案】【分析】讨论在上零点个数从而确定在上零点个数，然后结合正弦函数性质可得参数范围．【详解】，当时，，的周期是，因为，，所以在区间上，最多有6个零点，在区间上，最多有1个零点，因此时，在区间内不可能是9个零点，因此，的两根为，，因为，所以，若，则，在上有两个零点，因此在上有7个零点，，，因此，，所以；当时，，在区间上只有一个零点，因此在区间上有8个零点，即在上有8个零点，所以，，综上，的取值范围是．故答案为：题型08分离参数型水平线法求零点【解题攻略】分离参数水平线法求零点1.分离参数。2.构造函数于水平线。3.构造函数时，要注意函数是否有“水平渐近线”【典例1-1】（2021上·山东潍坊·高三统考）已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】由，故；分和的情况讨论，显然有，从而得到答案．【详解】解：因为，故；分和的情况讨论，显然有．若，此时；若，则；若，因为，故，即．且随着的增大而增大．若，此时；若，则；若，因为；，故，即，且随着的减小而增大．又因为一定是不同的对应不同的值．所以为使函数有且仅有3个零点，只能使，2，3；或，，．若，有；若，有；若，有；若，有；若，有；若，有；若，有；若，有综上所述，或，故选：B．【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若存在，使得方程有两个不同的实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是．【答案】【分析】先通过对题目的分析，令，将题目简单化，并转化为等价形式；再根据函数与的图象有两个交点，数形结合可判断；最后结合图形分析得出与图象的交点纵坐标与之间的关系：，建立不等式求解即可得出答案.【详解】令，得，则原问题等价于存在，使得与的图象有两个交点且两交点的横坐标之和为6，则，作出函数与的图象如图所示，设两图象交点的横坐标分别为，则，故两个交点关于二次函数的图象的对称轴对称，设点为与图象的交点，且，联立与，解得，故，故，解得，故实数的取值范围是．故答案为：．【变式1-1】（2022上·广东汕头·高三校考）已知函数，令，则下列说法正确的（

）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为D．当时，有1个零点【答案】D【分析】画出的图像，然后逐一判断即可.【详解】的图像如下：由图像可知，的增区间为，故A错误当时，如图当时，与有3个交点，当时，与有2个交点，当时，与有1个交点，所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，即有3个零点或2个零点或1个零点，故B不正确；当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，故C错误；当时，由B选项可知：与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：D【变式1-2】（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点，借助的图象求解即可.【详解】设，则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.的图象如图所示.不妨设，所以，所以，即，即，所以，所以，故选：A.【变式1-3】（2021上·河南新乡·高三校考阶段练习）若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】函数有三个零点，即方程有三个根，设，利用导数求出函数的单调性，结合图象即可求解.【详解】函数有三个零点，即方程有三个根，设，则，令，得，，当时，，函数单调递减；当或时，，函数单调递增；易知当时，函数取极小值，当时，函数取极大值，又当时，，且时，；当时，为增函数，且时，，因此函数有三个零点时，，故选：.题型09对数绝对值水平线法【解题攻略】对数绝对值对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若有两个零点，则满足1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<03.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”【典例1-1】．（2021上·江苏连云港·高三统考）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，可得出直线与函数的图象交于、、、四点，由，去绝对值，结合对数的运算律，可得出的值，利用二次函数的对称性可得出的值，由此可得出的值.【详解】作出函数和函数的图象如下图所示，则两个函数的图象共有个交点、、、，且横坐标分别为、、、，，，由，得，则有，所以，，，化简得，，.由于二次函数图象对称轴为直线，则点、两点关于直线对称，所以，.因此，.故选：D.【典例1-2】（2020上·河南信阳·高三统考）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】做出函数的图像，不妨设，由图像可得，根据对数的运算法则可得，且，利用对勾函数的单调性，即可求解.【详解】的图象如图，不妨设，由图象的对称性可知；又∵，故，∴，∴；，∵，∴，∴.故选:C.【变式1-1】（2019·湖南·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，，所以当时，，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，，所以，所以.故选A【变式1-2】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是．【答案】【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答.【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，显然函数在上的图象关于直线对称，如图，方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为，显然，不妨令，则有，，有，因此，而对勾函数在上单调递增，则，即，所以的取值范围是.故答案为：【变式1-3】．（2020上·河南郑州·高三校联考中）已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则【答案】9【解析】依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，根据对数知识可得，根据韦达定理可得，从而可得答案.【详解】依题意可知是的两个不等实根，是的两个实根，所以，，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为是的两个实根，所以，所以.故答案为：9题型10指数函数“一点一线”性质型【解题攻略】指数函数，无论平移或者翻折，始终要注意函数的核心性质“一点一线”是否变化。要把“一点一线”这个核心性质提升到底数大于1或者小于1的分类讨论相同地位图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三昆明八中校考）已知，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，分类讨论的范围，再结合基本不等式即可得到的范围.【详解】因为函数，若，不妨设，当时，由，可得，即，不成立；当时，由，可得，即，不成立；当时，由，可得，则，所以，即，当且仅当时，等号成立，且，所以等号取不到，则.故选：A【典例1-2】（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围.【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，作出函数的大致图象，如图所示，

可知，，于是，所以，，即，所以，于是，，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.故选：C．【变式1-1】（2023上·四川成都·高三四川省成都列五中学校考）若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出的图象如图，结合图象可得出答案.【详解】关于x的方程有两个不等的实数解，即与的图象有两个交点，画出的图象如图，由图象可得：.故选：A.【变式1-2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，设则，令，故在递增，在递减，.故选：A.【变式1-3】（2023下·四川达州·高三校考阶段练习）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分离参数，将问题转化为直线与曲线的交点问题，数形结合解决问题.【详解】函数的零点，即方程的根，则，根据题意，可知直线与的图象有三个不同的交点，在同一直角坐标系中作出这两个函数图象，如图，

由图可知，当时，两个函数图像有三个不同的交点，即函数有三个不同的零点.故选：B题型11零点：中心对称性质型【解题攻略】函数中心对称：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的所有零点之和等于.【答案】8【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．详解：零点即，所以即，画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点图像关于对称，所以各个交点的横坐标的和为8【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一个坐标系作出与()的图像，观察交点的特征，根据对称性，可以得到：，，且满足，就可以求出所有零点之和.【详解】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，的零点可以看做与()的图像的交点，由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为､､､､，则，，且满足，解得，∴.故选：D.【变式1-1】（2022上·甘肃张掖·高三阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足，的值，运用对数求解满足：，可出，可求解所有根之和．【详解】为定义在上的奇函数，当时，，当时，作出图象：关于的方程的根转化为的图象与图象的交点问题．由图可知关于的方程有根共有个，这个根由小到大依次记为，根据对称性得到零点的值满足，满足：，解得所以故选:C.【变式1-2】（2021下·江西宜春·高三阶段性）已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有根之和为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：因,故当，的解集为空集,当,时,函数的最小值为,则方程的解集为且.当且时,由可得；当时,函数的对称轴为,因此方程的解集为且,故该方程的这四个根的和为,所以所有根的和为,应选C.【变式1-3】．（2022上·吉林松原·高三统考）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【答案】B【详解】试题分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选B.题型12零点：轴对称性质型【解题攻略】轴对称性的常用结论如下：若函数满足,则的一条对称轴为若函数满足,则的一条对称轴为若函数满足,则的一条对称轴为(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称；【典例1-1】（2020·广东中山·校联考模拟预测）定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】作出的图象，转化为与有三个交点，根据函数的对称性，从而求解的值．【详解】定义域为的函数，作出的图象，关于的方程恰有3个不同的实数，则转化为与有三个交点，即，不妨设，此时，根据图象与关于对称，所以则．故选：A．【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，令，可得出，转化为函数与函数图象交点横坐标之和，数形结合可得出结果.【详解】由于函数为上的奇函数，则，，所以，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，令，可得，则函数在区间上的零点之和为函数与函数在区间上图象交点横坐标之和，如下图所示：由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点对称，因此，函数在区间上的所有零点之和为.故选：D.【变式1-1】（2018上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考）已知函数，若互不相等），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】做出函数图像，由图象得出三个交点的横坐标关系，以及交点横坐标的取值范围，即可求解.【详解】做出函数的图象如图，设，则，因此,得于是，故选:C.【变式1-2】（2019上·天津南开·高三天津二十五中统考）已知三个函数，，的零点依次为、、，则A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.【详解】令，得出，令，得出，则函数与函数、交点的横坐标分别为、.函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，如下图所示：

联立，得，则点，由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，由题意得，解得，因此，.故选：C.【变式1-3】（2018上·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如图所示，又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.故选A．题型13嵌套型零点：内外自复合型【解题攻略】对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.【典例1-1】（2015下·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A．当时，有3个零点；当时，有4个零点B．当时，有4个零点；当时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点【答案】C【分析】令，得或，则有或，再分，讨论判断.【详解】令，得或，则有或.当时，①若，则，或，所以或，解得或（舍）；②若，则，或，解得或，则或均满足.所以，当时，零点有3个；同理时，零点有3个.所以，无论k为何值，均有3个零点.故选：C【典例1-2】（2022上·河北石家庄·高三统考）已知函数若函数的零点个数为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】试题分析：首先画出函数的图像，，设即，根据图像得到，或是，，那么当和时，得到图像的交点共4个，故选B．【变式1-1】（2021上·天津·高三天津实验中学校考期中）已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可【详解】设，则由得，即，则，故，解得，或，若，则，即，若，则，即，设，，函数是偶函数，要使函数恰有4个零点，则等价为当时，函数恰有2个零点，作出在，上的图像如图：结合图像可得：①，即，即，②，即，即，综上实数的取值范围是，故选：B.【变式1-2】（2021上·安徽滁州·高三安徽省定远中学校联考）已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得和各有两个解，利用数形结合即得.【详解】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解，要使和各有两个解，必须满足，由，则，由图可知，当时，有两个解(一解为，一解为3)，当时，有三个解(为，3)，当时，有两个解(为)，所以，存在四个互不相等的实数根，实数的取值范围是.故选：D．【变式1-3】（2019上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考）已知函数，则函数的零点个数为A． B． C． D．【答案】C【分析】设,则，求得，根据数形结合可得的图象有一个交点；的图象与三个交点；的图象有一个交点，从而可得结果.【详解】函数的零点个数就是方程的根的个数，设,则，函数的大致图象如下：由或，可得有三个解，，的图象有一个交点；的图象与三个交点