新高考数学二轮复习培优专题训练专题08 二次函数及指、对、幂数函数的问题的探究（解析版）

专题08二次函数及指、对、幂数函数的问题的探究1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0在R上单调递增，而函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则有函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D2、（2023年全国甲卷数学（文））5．已知函数SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0开口向下，对称轴为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由二次函数性质知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.3、【2022年全国甲卷】已知9mA．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A【解析】由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<故选：A.4、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足SKIPIF1<0．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（SKIPIF1<0）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;下面比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系.记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0所以当0<x<2时，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，在x>0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0在[0,+∞)上单调递减，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即b<c;综上，SKIPIF1<0,故选：B.6、（2020北京卷】已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】不等式SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0在同一直角坐标系下作出y=2x，y=x+1的图象（如图），得不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，故选C．7、（2020全国Ⅰ理12）若SKIPIF1<0，则 （）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，∴C、D错误，故选B．8、（2020全国Ⅱ文12理11）若SKIPIF1<0，则 （）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定，故CD无法确定，故选A．9、（2020全国Ⅲ文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0的单位：天）的Logisic模型：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为最大确诊病例数．当SKIPIF1<0时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为（SKIPIF1<0） （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选C．10、（2020全国Ⅲ文10）设SKIPIF1<0，则 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A．11、（2020全国Ⅲ理12）已知SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解法一：由题意可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0．故选A．解法二：易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上所述：SKIPIF1<0，故选A．题组一指、对数的比较大小1-1、（2022·湖南娄底·高三期末）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.1-2、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A1-3、（2023·吉林白山·统考三模）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.1-4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然常数），则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将SKIPIF1<0变形，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用导数得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，根据单调性可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0可得答案.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0.故选：D.题组二一元二次、指、对、幂数的运算与性质2-1、（2023·安徽安庆·校考一模）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.【详解】SKIPIF1<0，为定义域上的单调递增函数SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立；SKIPIF1<0，为定义域上的单调递增函数，SKIPIF1<0，故C和D不成立.故选：B.2-1、（2022年深圳市高三月考模拟试卷）“幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数”是“函数SKIPIF1<0为奇函数”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【详解】要使函数SKIPIF1<0是幂函数，且在SKIPIF1<0上为增函数，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，即充分性成立；“函数SKIPIF1<0为奇函数”，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故必要性不成立，故选：A．2-3、.（2022年闽江学院附中高三月考模拟试卷）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以C选项的图象符合.故选：C2-4、（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【解析】由题意SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上奇数共有SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B．题组三指、对数函数的情景问题3-1、（2023·江苏·统考三模）星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为SKIPIF1<0，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足SKIPIF1<0（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（

）（参考数据：1g2≈0.301）A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B．3-2、（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是SKIPIF1<0，环境温度是SKIPIF1<0，则经过SKIPIF1<0物体的温度SKIPIF1<0将满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有SKIPIF1<0的物体，若放在SKIPIF1<0的空气中冷却，经过SKIPIF1<0物体的温度为SKIPIF1<0，则若使物体的温度为SKIPIF1<0，需要冷却（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若使物体的温度为SKIPIF1<0，需要冷却SKIPIF1<0.故选：C.3-3、（2023·安徽合肥·校联考三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是SKIPIF1<0；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是SKIPIF1<0.一年后“进步”的是“退步”的SKIPIF1<0倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（

）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（SKIPIF1<0）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】D【详解】设经过SKIPIF1<0天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故选：D．3-4、（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的SKIPIF1<0．已知经过x年后，碳14的残余量SKIPIF1<0，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据：SKIPIF1<0）A．公元前2893年 B．公元前2903年C．公元前2913年 D．公元前2923年【答案】B【解析】SKIPIF1<0碳14的半衰期为5730年，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<02010年之前的4912年是公元前2902年，SKIPIF1<0以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.故选：B.题组四指对数函数的综合性问题4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设函数SKIPIF1<0，下列四个命题正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0为偶函数B．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】A选项，由SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0为偶函数；B选项，由已知可得SKIPIF1<0，利用对数的运算性质可得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；C选项，由SKIPIF1<0，解出可得函数的定义域为SKIPIF1<0，即可判断出正误；D选项，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差SKIPIF1<0，化简即可得出正误.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为偶函数，故A正确；若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正确；函数SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴函数的定义域为SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0上不具有单调性，故C不正确；若SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.4-2、（2022年河北高三月考模拟试卷）已知函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.SKIPIF1<0是奇函数B.SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称C.若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值、最小值分别为M、N，则SKIPIF1<0D.若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；BC选项：根据对称性判断即可；D选项：根据对称性将原不等式整理为SKIPIF1<0，然后根据单调性列不等式求解即可.【详解】A选项：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为R，关于原点对称，SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0非奇非偶，故A错；B选项：SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，故B正确；SKIPIF1<0定义域为R，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0若在SKIPIF1<0处取得最大值，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最小值，SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，则SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错.故选：BC.1、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】4【分析】根据分段函数的定义求解即可.【详解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：4.2、（2022·江苏海门·高三期末）已知SKIPIF1<0，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【答案】D【解析】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.3、（淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测数学试题）咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是SKIPIF1<0，空气的温度是SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0分钟后物体的温度为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在SKIPIF1<0．现有一杯SKIPIF1<0的热水用来冲咖啡，经测量室温为SKIPIF1<0，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保留整数）（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】5【解析】【分析】由题意列出方程，根据指对数互化求解即可．【详解】由题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以大约需要等待5分钟，故答案为：5．4．（2023·江苏·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（b＞1），则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B错．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0