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文档简介
2024-2025学年湖北省宜昌市秭归县第二中学全国高三2月大联考(全国卷)数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的单调递增区间是()A. B. C. D.2.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.3.是边长为的等边三角形,、分别为、的中点,沿把折起,使点翻折到点的位置,连接、,当四棱锥的外接球的表面积最小时,四棱锥的体积为()A. B. C. D.4.若直线与曲线相切,则()A.3 B. C.2 D.5.已知,则的取值范围是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]6.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里7.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.40408.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.9.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A. B. C. D.11.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()A. B.C. D.12.直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则________,________.14.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).15.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.16.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.19.(12分)若数列满足:对于任意,均为数列中的项,则称数列为“数列”.(1)若数列的前项和,,试判断数列是否为“数列”?说明理由;(2)若公差为的等差数列为“数列”,求的取值范围;(3)若数列为“数列”,,且对于任意,均有,求数列的通项公式.20.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.21.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.22.(10分)如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为,由,解得,即函数的增区间为,所以当时,增区间的一个子集为.故选D.本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性,同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.2.A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.3.D【解析】
首先由题意得,当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,通过图形发现,的中点即为梯形的外接圆圆心,也即四棱锥的外接球球心,则可得到,进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图,四边形为等腰梯形,则其必有外接圆,设为梯形的外接圆圆心,当也为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,也就使得外接球的表面积最小,过作的垂线交于点,交于点,连接,点必在上,、分别为、的中点,则必有,,即为直角三角形.对于等腰梯形,如图:因为是等边三角形,、、分别为、、的中点,必有,所以点为等腰梯形的外接圆圆心,即点与点重合,如图,,所以四棱锥底面的高为,.故选:D.本题考查四棱锥的外接球及体积问题,关键是要找到外接球球心的位置,这个是一个难点,考查了学生空间想象能力和分析能力,是一道难度较大的题目.4.A【解析】
设切点为,对求导,得到,从而得到切线的斜率,结合直线方程的点斜式化简得切线方程,联立方程组,求得结果.【详解】设切点为,∵,∴由①得,代入②得,则,,故选A.该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.5.D【解析】
设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设,则,,∴()2•2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又则[0,2].故选:D.本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.6.A【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角,再结合AB可求,应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故选:A.本题考查正弦定理的实际应用,关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系,利用正余弦定理求解.属于中档题.7.D【解析】
计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.8.D【解析】
根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【详解】运行程序,,
,,,,,结束循环,故输出,故选:D.本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.9.C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.10.A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.11.D【解析】
设直线:,,,由原点在以为直径的圆的外部,可得,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件,故可设直线:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直线的斜率的取值范围为.故选:D.本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.D【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论.【详解】解:由题意,圆的圆心为,半径,∵圆心到直线的距离为,,,故选:D.本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【详解】,故.故答案为:;.本题考查了诱导公式和二倍角公式,属于简单题.14.【解析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.15.【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.16.【解析】
先由三视图在长方体中将其还原成直观图,再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.【详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥,如图所示长方体对角线长为,所以三棱锥外接球半径为,故所求外接球的表面积.故答案为:.本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积,考查学生空间想象能力以及基本计算能力,是一道基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),抛物线;(2)存在,.【解析】
(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.18.≤x≤【解析】由题知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)·(a-b)≥0时取等号,∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.19.(1)不是,见解析(2)(3)【解析】
(1)利用递推关系求出数列的通项公式,进一步验证时,是否为数列中的项,即可得答案;(2)由题意得,再对公差进行分类讨论,即可得答案;(3)由题意得数列为等差数列,设数列的公差为,再根据不等式得到公差的值,即可得答案;【详解】(1)当时,又,所以.所以当时,,而,所以时,不是数列中的项,故数列不是为“数列”(2)因为数列是公差为的等差数列,所以.因为数列为“数列”所以任意,存在,使得,即有.①若,则只需,使得,从而得是数列中的项.②若,则.此时,当时,不为正整数,所以不符合题意.综上,.(3)由题意,所以,又因为,且数列为“数列”,所以,即,所以数列为等差数列.设数列的公差为,则有,由,得,整理得,①.②若,取正整数,则当时,,与①式对应任意恒成立相矛盾,因此.同样根据②式可得,所以.又,所以.经检验当时,①②两式对应任意恒成立,所以数列的通项公式为.本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较大.20.(1)(2)2【解析】
(1)转化条件得,进而可得,即可得解;(2)由化简可得,由结合三角函数的性质即可得解.【详解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值为2.本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用,考查了三角函数的性质,属于中档题.21.(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求得的导函数,
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