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平面向量平面向量的数量积及其应用学案思维导图【核心知识整合】考点1：平面向量的数量积1.两个向量的夹角向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.2.平面向量数量积的有关概念定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.坐标表示：设向量，则.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.运算律：（1）交换律：；（2）数乘结合律：；（3）分配律：.3.投影向量如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.考点2：平面向量数量积的性质1.平面向量数量积的性质设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；（4）由可得，；（5）2.向量垂直的坐标表示设向量，则.考点3：平面向量的数量积的应用1.常见应用已知，则（1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：（2）求向量夹角问题，利用夹角公式：（3）求线段的长度：向量的模或.考点4：向量中常用的结论在中，所对的边分别为.（1）在的条件下，存在使得为的内心；为的的内心.（2）为的外心（3）为的重心.（4）为的垂心.[典型例题]1.已知向量，，，且，则实数k的值为()A. D.[答案]：C[解析].又，，即，解得.故选C.2.已知,,,则a与b的夹角为()A. B. C. D.[答案]：B[解析]由,解得,所以,则a与b的夹角为,故选B.3.在QUOTE△ABC△ABC中，QUOTEAC=3,BC=4,∠C=90°AC=3,BC=4,∠C=90°，，.P为QUOTE△ABC△ABC所在平面内的动点，且QUOTEPC=1PC=1，则QUOTEPA⋅PBPA⋅PB的取值范围是()A.QUOTE[-5,3][-5,3] B.QUOTE[-3,5][-3,5] C.QUOTE[-6,4][-6,4] D.QUOTE[-4,6][-4,6][答案]：D[解析]以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，又表示圆上一点到点的距离的平方，圆心到点的距离为，所以，即，故选D.[变式训练]1.已知向量，，则()A. B. C. D.[答案]：B[解析]由题意知，，，所以，故选B.2.已知，，a与的夹角为，则().[答案]：B[解析]因为，所以，又因为，a与的夹角为，所以，所以，故选B.3.已知，是非零向量且满足，，则的形状为()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形[答案]：B[解析]，是非零向量且满足，，，，，.是等边三角形，故选B.【规律总结】1.平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于

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