初中数学翻折图形试题教师版

初中数学翻折经典

1.（2012•天津）已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11,0）,点

B（0,6）,点P为BC边上的动点

（点P不与点B、C重合）,经过点0、P折叠该纸片，得点日和折痕OP.设BP=t.

（I）如图①，当/BOP=30。时，求点P的坐标；

（II）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB，上，得点C，和折痕PQ,若AQ=m,试用

含有t的式子表示m；

（III）在（II）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）.

解：(I)根据题意，NOBP=90°,OB=6,

在Rt△OBP中,由NBOP=300,BP=t,得0P=2t,-.OP2=OB2+BP2,BP(2t)2=62+t2,

解得:灯=2而,t2=-2/(舍去)，，点p的坐标为(动，6)；

(H)"OBP、AQC'P分别是由AOBP、AQCP折叠得到的，

.•.AOB'P^AOBP,AQC'P些AQCP,.-.zOPB'=zOPB,zQPC=zQPC,

•••zOPB'+zOPB+zQPC'+zQPC=180°,/.zOPB+zQPC=900,

•.ZBOP+zOPB=90°,.-.zBOP=zCPQ,

OBBP

X/zOBP=zC=90°,.-.△OBP-APCQ,:.PC~CO,

由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=ll-t,CQ=6-m,

6t1，11,

———=-m=-t--f+6

.-.H-f6-m，,66(0<t<11).

(I^)过点P作PE，OA于E,

.-.zPEA=zQAC'=90°,/.zPC'E+zEPC=900,.NPC'E+NQC'A=90°,.zEPC'=NQC'

A,

."PC'E-AC'QA,/.PEAC'=PC'C'Q,

•/PC=PC=ll-t,PE=0B=6,AQ=m,C'Q=CQ=6-m,「.AC，Jc，(^(^母一⑵,

_611-t1+2_11+_-j-

-t

.•.1-J36-I2m6-m,­.m=66^,解得：ti=3rt2="

11-^13IL旧

点P的坐标为（——，6）或（3,61

2.（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC

于点F,连接AF、CE,

第1页共47页

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式.

•【答案】(1)证明：I•四边形ABCD是矩形，，AD〃BC,，NAEF=NEFC。

由折叠的性质，可得：ZAEF=ZCEF,AE=CE,AF=CF,二NEFC=NCEF。

.,.CF=CEo.,.AF=CF=CE=AE„，四边形AFCE为菱形。

(2)解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c\理由如下：

由折叠的性质,得:CE=AE,1,四边形ABCD是矩形，ZD=90°。VAE=a,ED=b,DC=c,；.CE=AE=a。

在RtZ\DCE中，CE=CD2+DE2,.,.a,b、c三者之间的数量关系式可写为：a-。

【考点】翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】(1)由矩形ABCD与折叠的性质，易证得4CEF是等腰三角形，即CE=CF,即可证得AF=CF=CE=AE,即可

得四边形AFCE为菱形。

(2)由折叠的性质，可得CE=AE=a,在Rt^DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、

222

c三者之间的数量关系式为：a=b+co(答案不唯一)

3.(2012•衢州)课本中，把长与宽之比为&的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：

(1)将一张标准纸ABCD(ABVBC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证

明.

BCBE

图1

第2页共47页

图2

(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:

第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；

第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙)，此时E点恰

好落在AE边上的点M处；

第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合.

请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标

准纸ABCD,AB=1,BC=2,

问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长

D

■

*

------------兴------

B

第2；^寸开第歼

图3

解：(1)是标准纸，

理由如下：

AB

BC_1AB?_AB

...矩形ABCD是标准纸，...AB1\历，由对开的含义知：AF=2BC,...AF=2BC=2BC=J2=E,.•.矩形纸片ABEF也是标准纸.

(2)是标准纸，理由如下：

1

设AB=CD=a,由图形折叠可知：DN=CD=DG=a,DG±EM,1•由图形折叠可知：4ABE之ZiAFE,AZDAE=2ZBAD=45",

,--------AD近a_

.♦.△ADG是等腰直角三角形，，在RtZ\ADG中，AD=MAG2+DG2=JZ,AB=a...矩形纸片ABCD是一张标准

纸；

(3)

111

对开次数：第一次，周长为：2(1+工改)=2+72,第二次，周长为：2(2+272)=i+V2,

第3页共47页

11V2111+如

第三次，周长为：2（2+1V2）=1+2,第四次，周长为：2（心.丁，

112+近111+加

第五次，周长为：2=4,第六次，周长为：2（a-EV2）=4,-_

2+V2上返

---；~cl005

•••第5次对开后所得标准纸的周长是：4,第2012次对开后所得标准纸的周长为：2

4.（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的

点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

（1）如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2,在（2）的条件下，求折痕FG的长.

图1图2

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE,ZAGF=ZEGF,

：DC〃AB,.*.ZEFG=ZAGF,AZEFG=ZEGF,；.EF=EG=AG,四边形AGEF是平行四边形（EF〃

AG,EF=AG）,又：AG=GE,四边形AGEF是菱形.

（2）连接ON,

「△AED是直角三角形，AE是斜边，点0是AE的中点，4AED的外接圆与BC相切于点N,；.ON，

BC,

:点0是AE的中点，...ON是梯形ABCE的中位线，，点N是线段BC的中点.

（3）VOE>ON均是4AED的外接圆的半径，

，OE=OA=ON=2,故可得AE=AB=4,在RT4ADE中，AD=2,AE=4,

AZAED=30°,在RT4OEF中，OE=2,ZAED=30°,,故可得FG=

5.（2012•兰州）如图（1）,矩形纸片ABCD,把它沿对角线BD向上折叠，

（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

第4页共47页

解：（1）做法参考：

方法1:作NBDG=NBDC,在射线DG上截取DE=DC,连接BE;

方法2:作NDBH=NDBC,在射线BH上截取BE=BC,连接DE;

方法3:作NBDG=NBDC,过B点作BH±DG,垂足为E

方法4:作NDBH=NDBC,过，D点作DG±BH,垂足为E;

方法5:分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E,连接DE、BE...2分

（做法合理均可得分）

."DEB为所求做的图形...3分.

（2）等腰三角形.…4分

证明："BDE是ABDC沿BD折叠而成，；.NFDB=NCDB,...5分•.四边形ABCD是矩形，..ABllCD,

「.NABD=NBDC,…6分，NFDB=NABD，…7分」.ABDF是等腰三角形.…8分

6.（2012•荆门）如图，RtZkABC中，ZC=90°,将aABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋

转a度（a</BAC）,得到RtZXADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB、BC于点G、

(1)画图，如图；

(2)证明：由题意得：AABC^AAED..-.AB=AE,zABC=zE.

rZABC=ZE

■AB=AE

在AAFB和AAGE中，Na=/a.-.AAFB^AGE(ASA).

第5页共47页

7.（2012•吉林）如图，在扇形OAB中，ZA0B=90°,半径0A=6.将扇形0AB沿过点B的直线折叠,

点。恰好落在弧AB上点D处，折痕交0A于点C,求整个阴影部分的周长和面积.

根据折叠的性质，CD=CO»ED=BO>ZDBC=ZOBC»

•••OB=OD=BD，

即AOBD是等边三角形，

ZDBO=60°，

ZCBO=|ZDBO=30°，

•••ZAOB=90°，

6x£=2>[3,

■,•OC=OB»tanZCBO=

x2

•••S2kBDC=S2k0BC=；XOBXOC=；X6X2F=6p，S扇形人0日=2口6=9^X6=3JT

LLDUU3卷“

・・・整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+G=AC+OC+OB+G=OA+OB+:>6+6+3天=12+3天；

ADADAD

整个阴影部分的面积为：s扇形A0B-SA.BDC-S2kOBC=91T-6氏64=9

8.（2012•淮安）阅读理解

如图1,4ABC中，沿NBAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿NBiA〔C的平分线A1B2

折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多

少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是AABC的好角.小丽展示了确定/BAC是AABC的好角的两种

情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/BAC的平分线ABi折叠，点B与点C重合；情形二：

如图3,沿NBAC的平分线ABi折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B1A1C的平分线A1B2折叠，此时

点&与点C重合.探究发现

（0△ABC中，ZB=2ZC,经过两次折叠，/BAC是不是AABC的好角？（填“是”或“不

是"）.

（2）小丽经过三次折叠发现了NBAC是aABC的好角，请探究NB与/C（不妨设/B>NC）之间的等

量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠/BAC是△ABC的好角，则/B与/C（不妨设/B>NC）

之间的等量关系为.

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三

角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角

第6页共47页

形的三个角均是此三角形的好角.

解：（1）MBC中，NB=2NC,经过两次折叠,zBAC是3BC的好角；

理由如下：小丽展示的情形二中，如图3,•.沿NBAC的平分线ABi折叠,.'.zB=zAAiBi;

又..将余下部分沿NB内C的平分线AB折叠，此时点Bi与点C重合，

.-.zAiBiC=zC;'.zAAiBi=zC+zAiBiC（外角定理），.，.NB=2NC;

（2）NB=3NC;如图所示，在△ABC中，沿NBAC的平分线ABI折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿NBIAIC

的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿NB2A2c的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则NBAC

是AABC的好角.

证明如下：,.根据折叠的性质知，NB=NAAIBI,ZC=ZA2B2C,ZAIBIC=ZAIA2B2,

,根据三角形的外角定理知，NAIA2B2=NC+NA2B2c=2NC;

•・根据四边形的外角定理知，zBAC+zB+zAAiBi-zAiBiC=zBAC+2zB-2zC=180°,

根据三角形ABC的内角和定理知，zBAC+zB+zC=180°,/.zB=3zC;

由小丽展示的情形一知，当NB=N（:时,zBAC是SBC的好角；

由小丽展示的情形二知，当NB=2NC时，zBAC是AABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当NB=3NC时，NBAC是MBC的好角；

故若经过n次折叠NBAC是^ABC的好角，则NB与NC（不妨设NB>zC）之间的等量关系为NB=nNC;

（3）由（2）知,zB=nzC,zBAC是-ABC的好角,

-zC=nzA,NABC是SBC的好角，zA=nzB,NBCA是SBC的好角，

,如果一个三角形的最小角是4。，三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16,160;44、132;88\

88°.

9.（2012•荷泽）（1）如图1,ZDAB=zCAE,请补充一个条件：,使4

ABC-AADE.

（2）如图2,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，

点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点。落在BC

边上的点E处，求D,E两点的坐标.

第7页共47页

蔚：(1)ND=NB或NAED=NC・

《2）侬题息可知，折痕AD是四迨的OAED的对称输，

22

，在Rt^ABE中，AE=A0=10*AB-8•BE=\AE-ABSJi02-82=6*

CE=4»

AE(4*8).

在RSDCE中，DC2+€E2=DE2.

又・・・DE=OD，

没0g“DE・

222

・・・<8-x>+4=X.

弱博：x=6，

・・・OD=5，

・・・D《0・5).

10.（2012•海南）如图（1）,在矩形ABCD中，把NB、ND分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上

的点E、F处，折痕分别为CM、AN,

（1）求证：ZXADN之ZkCBM；

（2）请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；

（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN,如图（2）所示，若PQ二CQ,PQ〃MN,且

AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度.

第8页共47页

(3)解：设AC与MN的交点为0,EF=x，作QG_LPC于G点，

VAB=4»BC=3>

.*.AC=5»

VAF=CE=BC=3.

2AF-EF=AC»即6-x=5，

筑博x=l，

•••EF=1，

(1)证明：由折叠的性质得出NDAN=NHAC，ZBCM=ZACM，•••CF=2'

NFa

VAD#BC*在RtZICFN中,tanNDCA=^jj="j^=’，

・•・ZDAC=ZBCA，3

#ji5NF=->

7

:.ZDAN=ZBCM»

।j

在RtAADN和RtZiCBK中，V0E=0F=-EF=7»

AD=BC

二在RtANFO中，OM=OF2+NF2，

VZD=ZS=90c，

二0N二叵，

N£U.V=ZBC.V2

.,.△ADNWACBM..,■MN=20N=A[10»

•JPQ〃MN，PN"MQ，

(2)第：连擅NE、MF.二四边形・QPN是平行四边形，

•••△ADNttACBM.AMN=PQ=JTO，

NF=ME»•・・PQ=CQ，

■:ZNFE=ZMEF>•••△PQC是等腰三角形，

・••NF〃ME，・・・PG=CG，

・•・四边形MFNE是平行四边形，在RgQPG中，

•••MN与EF不垂直，PG2=PQ2-QG2»即PG="O-9=1，

四边形MFNE不是菱形；.••PC=2PG=2.

第9页共47页

11.（2012•广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.把4BCD沿对角线BD折叠，使点C落在L

处，BC/交AD于点G；E、F分别是C'D和BD上的点，线段EF交AD于点H,把4FDE沿EF折叠，使点

D落在6处，点D'恰好与点A重合.

（1）求证：ZXABG0DG；（2）求tan/ABG的值；（3）求EF的长.

12.（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点

（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折

痕为EF,连接BP、BH.

（1）求证：ZAPB=ZBPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为X,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若

存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

（备用图）

解：如图1,VPE=BE,

ZEBP=ZEPB.

又•.•/EPH=/EBC=90°,

/.ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.

BPZPBC=ZBPH.

又；AD〃BC,

.\ZAPB=ZPBC.

ZAPB=ZBPH.

(2)△PHD的周长不变为定值8.

证明：如图2,过B作BQ_LPH,垂足为Q.

由⑴知NAPB=NBPH,

又,/ZA=ZBQP=90°,BP=BP,

.,.△ABP^AQBP.

；.AP=QP,AB=BQ.

又：AB=BC,

；.BC=BQ.

XVZC=ZBQH=90°,BH=BH,

第10页共47页

.♦.△BCHg△BQH.

，CH=QH.

/.APHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

(3)如图3,过F作FM_LAB,垂足为M,则FM=BC=AB.

又「EF为折痕，

.\EF±BP.

ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

/.ZEFM=ZABP.

XVZA=ZEMF=90°,

AEFM^ABPA.

；.EM=AP=x.

，在RtZ\APE中,(4-BE)2+x2=BE2.

解得，.

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

即：.

配方得，，

...当x=2时，S有最小值6

13.(2011•遵义)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合

(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG.

(1)求证：ABHE^ADGF；

(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.

解：(1)•.,四边形ABCD是矩形，

.,.AB=CD,ZA=ZC=90°,ZABD=ZBDC,

•/ABEH是aBAH翻折而成，

.•.Z1=Z2,,ZA=ZHEB=90°,AB=BE,

•/ADGF是ADGC翻折而成，

.*.Z3=Z4,ZC=ZDFG=90°,CD=DF,

.♦.△BEH与ADEG中，

ZHEB=ZDFG,BE=DF,Z2=Z3,

.,.△BEH^ADFG,

(2)：四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8cm,

/.AB=CD=6cm,AD=BC=8cm,

..小T+CDIM』］。,

,由(1)知，BD=CD,CG=FG,

第11页共47页

.*.BF=10-6=4cm,

设FG=x,贝ljBG=8-x,

在RtABGF中，

BG2=BF2+FG2,即（8-x）2=42+X2,解得X=3,即FG=3cm.

14.（2011•徐州）如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图

①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B，处，（如图②）；展平,得折痕GC（如图③）；沿GH

折叠，使点C落在DH上的点C'处，（如图④）；沿GC'折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC',GH

（如图⑥）.

（1）求图②中/BCB，的大小；

（2）图⑥中的△GCC'是正三角形吗？

由.图①图②图③

解：（1）延长GB，交CD于G'（图②），

•••EF是AD、BC的中线，

.-.ABllEFllCD,

..GB，=GB,

•••四边形ABCD是矩形，

.-.zBCD=90°,

•.EF是AD、BC的中线,

.'.ABllEFllCD,

ABCG^AS'CG（AB'CG是^BCG折叠所得），

.•.zBCG=zGCB',

CGB'=（^Bf

JNCB1G=NCB1G1=NCB.4=90。）

.•在ACGB和MZG'B'中，ICBf=CBf

.ACGB'^^CG'B'iS.iS）

:.乙GCF=LGcE,

,■,Z5CG=NGCE=NGCF=30°./

.-.ZBCB1=60°；

第12页共47页

图②

(2)图⑥中的AGCC'是正三角形。

由(1)可知，zGCC=60°,CG=CG',

•••^GCC是正三角形。

15.(2011•威海)如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取

一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,得到△MNK.

(1)若N1=70。，求NMKN的度数；

(2)AIVINK的面积能否小于

1

2

?若能，求出此时N1的度数；若不能，试说明理由；

(3)如何折叠能够使AIVINK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值.

.-.AMIIDN,

.'.zKNM=zl,

•.zKMN=zl,

.-.zKNM=zKMN,

.21=70°,

..NKNM=NKMN=70°,

.•.zMKN=40°;

(2)不能,

理由如下：

过M点作AE^DN,垂足为点E,

贝UME=AD=1,

第13页共47页

由(1)知,zKNM=zKMN,

.­.MK=NK,

X/MK>ME,ME=AD=1,

.-.MK>1,

INKME>1

又|'SAMNK=22,

1_£

即△MNK面积的最小值为5,不可能小于5；

（3）分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K与点D也重

A

口/

设NK=MK=MD=x,则AM=5-x,

根据勾股定理，得12+(5-X)2=x2,

解之，得x=2.6,

1x26

贝！］MD=NK=2.6,S«MNK=SAMND=2;

情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC,

设MK=AK=CK=x,则DK=5-x,

同理可得，MK=AK=CK=2.6,

1x2.6,,

--------=1.3

SAMNK=SAACK=2,

因此，AMNK的面积的最大值为1.3。

16.（2011•深圳）如图1,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折，点

C落在点C的位置，BC交AD于点G.

（1）求证：AG=C'G；

（2）如图2,再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长.

解：（1）证明：：沿对角线BD对折，点C落在点。的位置,

：.ZA=ZC,AB=C'D

第14页共47页

.•.在4GAB与△GUD中,

/.△GAB^AGCD

.,.AG=C'G；

(2):点D与点A重合，得折痕EN,

/.DM=4cm,NM=3cm,

VENXAD,

；.MN==3,

由折叠及平行线的性质可知ZEND=ZNDC=ZNDE,

；.EN=ED,设EM=x,则ED=EN=x+3,

由勾股定理得ED2=EM2+DM2,即(x+3)2=x2+42,

解得x=0,BPEM=7/6cm.

17.(2011•陕西)如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD(含端点)上，落点记为

E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形^

BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕ABEF”是一个

三角形

(2)如图①、在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,当它的“折痕ABEF”的顶点E位于AD的中点时，画

出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕ABEF”？若存在，

解：(1)等腰.

(2)如图①，连接BE,画BE的中垂线交BC与点F,连接EF,.ZYBEF是矩形ABCD的一个折痕三

角形.

,折痕垂直平分BE,AB=AE=2,

.•.点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.

.,•四边形ABFE为正方形.

；.BF=AB=2,

/.F(2,0).

(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,

理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示.

第15页共47页

1

SZkBEF/s矩形ABCD,即当F与C重合时，面积最大为4

②当F在边CD上时，如图③所示，

过F作FH〃:BC交AB于点H,交BE于K.

111

•?SAEKF=2KFAH<2HFAH=2S矩形AHFD,

111

SABKF=2KFBH<2HFBH=2S矩形BCFH,

1

.\SABEF<2S矩形ABCD=4.

即当F为CD中点时，ABEF面积最大为4.

下面求面积最大时，点E的坐标.

①当F与点C重合时，如图④所示.

由折叠可知CE=CB=4,

\CD^-CE¥-273

在RtZkCDE中，ED=、='=2

……2).

②当F在边DC的中点时，点E与点A重合,如图⑤所示.此时E(0,2).综上所述，折痕4BEF

凡2).

的最大面积为4时，点E的坐标为E(0,2)或E(4-2

18.(2011•宁夏)在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC±(M不

与A、B重合，N不与A、C重合)，且MN〃BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应

点为P.

(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？

第16页共47页

(2)当MN=x,zXMNP与等腰AABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值

时，y的值最大，最大值是多少？

解：(1)连接人「，交乂1\1于0,

•.•将AAMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P,

.-.OA=OP,AP±MN,AN=PN,AM=PM,

A

'.MNllBC,

.“AMNSAABC,AO±MN,

MN_A。_1

:.BC~AP~2,B

-,BC=6,

.-.MN=3,

.•.当MN=3时，点P恰好落在BC上;

(2)过点A作AD^BC于D,交MN于0,

•.MNllBC,

.-.AO±MN,

.♦.△AMNSAABC,

MN_AO

.'BC-AD,

.AB=AC=5,BC=6,AD±BC,

1

.•.zADB=90°,BD=2BC=3,

..AD=4,

x/

--4--0

64

2

-

Q-3X

.c_N*AOx=ix2

•・5△AMN=乙/DO,

1

当AOW2AD时，

根据题意得：SAPMN=SAAMN，

第17页共47页

.•.△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为SAAMN,

,y*

,,I

11

.•.当A0=2AD时，即MN=2BC=3时，y最小，最小值为3;

1

当A0>2AD时，连接AP交MN于0,则AO^MN,

•「MNllBC,

/.AP±BCzAAMN-AABCZ△PEF-APMN-MMN,

AO_MNEF_PD

.”一钎，MN-POi

AO_xEF_PD

即：丁—3~~AOi

2

/.AO=3x,

EF_2A0-AD

~xAO-

2

.-.EF=2x-6,OD=AD-AO=4-3x,

11

22

「•y=S梯形MNFE=2(EF+MN)OD=2X(2x-6+x)x(43x)=-(x-4)

+4,

，当x=4时，y有最大值，最大值为4,

综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4

19.(2011•南平)(1)操作发现：

如图1,在矩形ABCD中，E是BC的中点，将4ABE沿AE折叠后得到AAFE,点F在矩形ABCD内

部，延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论.

(2)类比探究：如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结论是否

仍然成立？请说明理由.

解：⑴猜想线段GF=GC,

证明：是BC的中点，

.,.BE=CE,

•.•将4ABE沿AE折叠后得到AAFE,

.-.BE=EF,

/.EF=EC,

VEG=EG,ZC=ZEFG=90°,

.,.△ECG^AEFG,

第18页共47页

?.FG=CG；

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明：是BC的中点，

.,.BE=CE,

•.•将4ABE沿AE折叠后得到AAFE,

.,.BE=EF,ZB=ZAFE,

/.EF=EC,

.,.ZEFC=ZECF,

•.•矩形ABCD改为平行四边形，

：.ZB=ZD,

,.,ZECD=180°-ZD,ZEFG=180°-ZAEF=180°-ZB=180°-ZD,

/ECD=/EFG,

/.ZGFC=ZGFE-ZEFC=ZECG-ZECF=ZGCF,

20.(2011•莱芜)已知矩形纸片ABCD中，AB=2,BC=3.

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上.

探究：

(1)如图1,若点B与点D重合，你认为AEDAi和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请

说明理由；图1图2

第19页共47页

(2)如图2,若点B与CD的中点重合，求AFCBi和ABiDG的周长之比.

解：(1)全等.理由如下：

V四边形ABCD是矩形，

ZA=ZB=ZC=ZADC=90°，AB=CD»

由题意知：ZA=ZA,，ZB=ZA1DF=90°，AB=A1D

ZA1=ZC=90°，ZCDF+ZEDF=90°，

ZA1DE=ZCDF，

AAEDA^AFDC(ASA)s

(2)VZDGB*DB[G=90°，NDBtG+ZC6^=90°，

NDGB产NCB[F，

vZD=ZC=90°，

•••△FCB[S21B[DG.

设FC=x，贝"B/=BF=3-x，B1C=1DC=1»

/.x2+l2=(3-x)2，

△FCB[SZkB[DG，

.入口一2_4

"cB.D~y

SB/G1

21.21.(2011•河池)如图1,在AABO中，Z0AB=90°,ZA0B=30°,OB=8.以OB为一边，在AOAB

外作等边三角形OBC,D是0B的中点，连接AD并延长交0C于E.

(1)求点B的坐标；

(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(1)解：在AOAB中，zOAB=90°,zAOB=30°,OB=8,

/.OA=OB?cos30°=8x=4

AB=OBsin30°=8x=4,

.•点B的坐标为(4,4);

(2)证明:•.zOAB=90°,

.•.AB±x®,

,；y轴J-x轴，

.〔ABUy轴，即ABllCE,

.NAOB=30°,

.-.zOBA=60°,

第20页共47页

•;DB=D0=4

,-.DB=AB=4

，NBDA=NBAD=120°+2=60°,

.-.zADB=60o,

・"OBC是等边三角形，

；.NOBC=60°,

；.NADB=NOBC,

即ADllBC,

，四边形ABCE是平行四边形

(3)解：设OG的长为x,

•,OC=OB=8,

.■.CG=8-x,

由折叠的性质可得：AG=CG=8-x,

在RfAOG中,AG2=OG2+OA2,

即(8-x)2=x2+(4)2,

解得：x=l,

即OG=1.

22.(2011•大庆)如图，ABCD是一张边AB长为2,边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A

角翻折，使得点A落在边CD上的点A'处，折痕交边AD于点E.

(1)求/DAE的大小；

(2)求AABE的面积.

解⑴

VABCD是矩形，且AB=2,AD=1

；.CD=AB=2,BC=AD=1

：AB是AB折叠的点

.'.A'B=AB=2,A'E=AE

，由勾股定理得AC=43

.\A'D=CD-A'C=273

VDE=AD-AE=1-A'E

DE2=A'E2-A'D2

(l-A'E)2=A'E-(2-<3)2

化简得；1-2A'E=4A/3-7

A'E=4-2、3

：.DE=1-(4-2^3)=2^3-3

.•.SADA'E=A'D*DE/2=(2«3)(23-3)/2=(7^3-12)/2

(2)由题意得ZEA'B=ZA=90°

.'.SAA'BE=A'E*A'B/2

第21页共47页

由⑴得A'E=4-2也,A'B=AB=2

.\SAA