大学线性代数作业第二册

华东理工大学

线性代数

作业簿（第二册）

学院____________专业___________班级

学号姓名任课教师

1.4矩阵的分块

34001「3200

4-300450:，求(1)A5；(2)A4.

1.设A=,B=

0020004

0022J|_°062

解:

252600

⑴3m440-700

A,B20082

00206

(2)4=4"=(25/)2=6251,

10

=16

41

625000

62500

0160

06416

0020

000-3

2.设A=贝UA-1=

0400

1000

0001

00-0

A4

解：A=4

A-000

2

0--00

3

3.已知分块矩阵W叱।叱2],则卬r=（

).

1%o）

/%0、

(A)(B)‘%

M2、%%,

俨」

%;(D)

(0皿2,

0)。J

解：D.

101

4.求满足AX-X+/=A2的矩阵X,其中A=020

101

解：由原式，整理得（A-1）X=A2—/=（A—/）（A+/）,而

~Q0r「20r

A-I=010可逆，故由上式可得X=A+/=030

100102

5.设”阶矩阵4,8满足=

(1)证明A-/可逆，且=

-1-30-

(2)若已知3=210,求矩阵A.

002

解：(1)由A+B=AB,移项得AB-A-B=O,即

AB-A-B+I=I,亦即(A—/)(§—/)=/，从而得到A—/可逆；

且由上式可得(5-/)(A-/)=/,展开得BA-A-B=O,即

BA=A+B,结合条件知AB=54

(2)由(1)知A—/=(§—/)T,即A=(B—/)T+/,而

11

T0-01-0

0-3022

(")T==,故人=

200-3-00--310

001001002

6.设A=(%.)是一个冽义〃矩阵，⑴计算Aepe；Aej,其

中华为机阶单位矩阵的第，歹U,与为〃阶单位矩阵的第/列；

(2)试证：对任一加维列向量x,x'A=0oA=O；

⑶试证：对任一机维列向量x和任一〃维列向量y,

x1^Ay=0oA=O.

解：⑴

弓A=…'册/]'6A'j=

⑵“u”显然；

"n”由向量x的任意性，取x=弓(i=1,2,…私且q.为机阶单位矩

阵的第，歹U),则由⑴得镇人4小,%，…,。加』=0，即A的第，行为

零向量，取遍，=1,2,..”，知A的每一行均为零向量，即4=0.

(3)“u”显然；

"二＞”由x与y的任意性，取x=e”y=qa=1,2,...m,j=1,2,./;弓

与与分别为加，”阶单位阵的第i"列)，则由⑴得ejAq=%=0,

即A的每一个元素都为零，亦即4=0.

7.设〃阶矩阵A=[%],〃维向量。=[1,1,…』了，(1)计算4z；

(2)若A可逆，其每一行元素之和都等于常数c,试证：A~的每

一行元素之和也都相等，且等于2.

C

解：(1)设q为〃阶单位矩阵的第，列，则有

。=[1,1,I],=，+%---卜〃

又设见为A的第i列，则有

k=l

n

-

Acc—Ag++,—IAe“=4+cc2+—Hocnk=T

k=T

(2)由题设及(1)的结论可得：Aa=canA1a=—a,即A一】的

c

每一行元素之和都等于L

c

1.5初等变换与初等矩阵

1.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.

-1122

12

(1)(2)-401

-34

6-1-1

解：（1）构造分块阵［12：1°T并对其进行初等行变换

-34：01

10

1210]屈“1210丁612

31

-340101031~01

1010

占(-2)102T114-2

0141031

--11

(2)-4

6

2-1112-3

2.已知A=1205=204，且有AA=X+5,求X.

2120-15

解：•.•XA=X+B=>X(A—/)=3=>

1-11：1001-11100

[A-I：I]=110:01002-1-110

211500103-1-201

1-115100

10012-1

1

010010-1-11

222

001-1-32

1

001

222

=[A(CT)-1-AB-1]T+(AB-1)T

=[c-'AT-(B1)TAT]+(B1)TAT

-1-10-1

=C^AT=01-12

0-12-2

123001100

4.已知A=456,P=010,Q=o01,则

789100010

pl00AQWi=

132

解:465

798

。21%2。23

设公=

5.%],B=4]2。13

。31+a\\CI32+%2。33+°13

().

(A)APXP2=B；(B)AP2PX=B；(C)=(D)P2PXA=B.

解：C.

0101001-43

6.解矩阵方程:100X001=20-1

0010101-20

解：X左右的两个矩阵均为初等矩阵,故而可逆且其逆也是初等

矩阵，于是有

010-11-4

x二10020

0011-2

0101-4-10

100203-4

0011-20-2

7.已知A,3为三阶方阵,且满足24-g=3—4/.

1-20

(1)证明A—2/可逆；(2)若3=120,求矩阵A.

002

解:

(1)2A-1B=3—4/n23=AB—4A