第八章 立体几何训练（三）-异面直线所成的角-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

第八章立体几何专题训练（三）一异面直线所成的角

一.单选题

1.已知正四面体P-ABC,D为A4中点，则与AC所成角的余弦值为（）

Ay/3RV33nx/33

6622

2.如图，在四棱锥P-A88中，底面A88为矩形.24,底面ABC。，PA=AB=2,

AD=4.£为PC的中点，则异面直线。。与8E所成角的余弦值为（）

v

A—B.叵

tr.VionLz.3Vio

5101010

3.如图，在正方体A8CQ-A4CQ中,石为线段A。上不含端点的动点，则直线与CG

所成的角的余弦值不可能是（）

D

B--C

'•9B.；C.—D.立

34

4.如图，在直三棱柱A8C-AB。中,ZABC=120°,AB=2,BC=\,CC.=72,则异

面直线AB】与BC、所成角的大小为（)

匚

A.60°B.60°或120°C.45°D.135°或45°

5.在直三棱柱中，ZABC=120°,AB=BC=CC、,则异面直线A区与BQ所

成角的余弦值为（）

A.-且B.--C.-D.且

4444

6.在四棱锥S-71BC。中，SAJ_平面ABC。，ABLAD,AD//BC,SA=AB=AD=1,

BC=3,则异面直线S8与CD所成角的余弦值为（）

Ax/ioRx/io「2石n石

51055

7.已知正三棱锥BCD的底面是边长为6的正三角形，其外接球球O的表面积为64万，

且点A到平面88的距离小于球O的半径，£为AD的中点，则异面直线与CE所成角

的余弦值为（）

A722R722「Mn719

88442040

8.矩形中，AB=4,AD=2,点£为CD中点，沿/正把AADE折起，点。到达点

P，使得平面F4E_L平面A8CE,则异面直线他与PC所成角的余弦值为（）

9.如图，棱长为2的正方体4BCD-A4GR中，P在线段Bq（含端点）上运动，则下列

判断正确的是（）

A.A.P1B.D

Q

B.三棱锥R-APC的体积不变，为］

C.AP//平面ACR

D.A尸与RC所成角的范围是(o，()

10.在直三棱柱ABC-A4G中，各棱长均为2,E,尸分别为线段AB,A片的中点，则

()

A.平面AG尸〃平面MCE

B.CEVAF

C.直线AF和C4所成角的余弦值为叵

5

D.该棱柱外接球的表面积为等

11.如图，正方形ABCD的边长为1,M、N分别为8C、8的中点，将正方形沿对角线

AC折起，使点。不在平面A8C内，则在翻折过程中，以下结论正确的是()

A.异面直线AC与MN所成的角为定值

B.存在某个位置，使得直线4)与直线8c垂直

C.三棱锥N-ACM与8-ACD体积之比值为定值

D.四面体A8CD的外接球体积为叵

3

12.如图，在边长为4的正三角形ABC中，D,E,尸分别为各边的中点，G,”分别

为DE,A尸的中点，将AABC沿DE,EF,「折成正四面体尸-DEF,则在此正四面体

中，下列说法正确的是（）

2

A.PG与。〃所成的角的正弦值为］

B.DF与PE成角刍

2

C.GH与尸£）所成的角为f

4

D.PG与防所成角余弦值为更

6

三.填空题

13.已知正三棱锥P-ABC中，。是BC的中点，若三个侧面是直角三角形，则直线PD与

直线AB所成的角的大小为一.

14.在四面体ABCD中，AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=1,则4?、C£＞所成的

角的余弦值为一.

15.已知长方体A8CD-ASG。中，AB=2BC=4,E是GR的中点，且异面直线4。与

CE所成的角是60。.则在此长方体的表面上从A到C的路径中，最短路径的长度为一.

16.如图，已知棱长为2的正方体ABC。-中，点尸在线段AC上运动，给出下列

结论：

①异面直线AP与DDt所成的角范围为g,1］；

②平面PBDiJ.平面4G。；

③点P到平面的距离为定值当；

④存在一点P,使得直线"与平面8CC与所成的角为3.

其中正确的结论是.

17.如图，已知点P在圆柱。。的底面圆。上，A3为圆O的直径，。4=2,ZAOP=120。,

三棱锥A-4PB的体积为手.

(1)求圆柱的表面积；

(2)求异面直线AB与OP所成角的余弦值.

18.正三棱柱ABC-ASG中，。是3c的中点，AB=2,M=3.

(1)求三棱锥G-ABC的体积；

(2)求证：A8”平面AD£；

(3)求异面直线A8、CQ所成的角的正弦值.

19.如图直三棱柱ABC-A4G,在底面A8C中，CA=CB=l,ZBCA=9Q°,棱AA=2,

M,N分别为A4,44的中点.

（1）求证：平面GMN；

（2）求异面直线地、所成角的余弦值.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA^ABCD,AB=BC=2,AD=CD=S，PA=6

ZABC=120°,G为线段PC上的点.

（1）证明：301,平面P4C;

（2）若G是PC的中点，求DG与A4C所成的角的正切值；

（3）在（2）的条件下，求异面直线8G与PD所成角的余弦值.

第八章立体几何专题训练（三）一异面直线所成的角答案

设正四面体的棱长为2,

贝|」3。=8%=7^1=6，ND=\,且DN//AC,

.•.NBDN是异面直线与AC所成角（或所成角的补角），

故异面直线。3与4c所成角的余弦值为：

BD2+DN2-BN23+1-3G

cos/BDN=

2xBDxDN2x^x1-6

故选：A.

2解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,了，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则P(0,0,2),。(0,4,0),8(2,0,0),C(2,4,0),E(1,2,1),

PD=(0,4,-2),BE=(-1,2,1),

——PDBE8-2x/30

,,\PD\\BE\V16+4XV610

•••异面直线PD与BE所成角的余弦值为我.

A

故选：B.

3.解：建立空间直角坐标系，如图所示;

设正方体的棱长为1,则与(1,0,1),

设E(0,a,\-a),

所以庭=(-1,a,-。)(0<“<1),西=丽.=(0,0,1),

r?CC|•B|E—a„

cos<C---C--.-,Bn\E>=/=-.<0；

|CC,|x|B,£|J2a2+1

令f(x)=-^=^=,xe(0,l),

V2JC2+1

则…扁，立

所以/(x)在(0,1)单调递减，

易知y（x）=

（一孚0），

所以/(x)e

则直线B\E与CC,所成的角的余弦值的范围为

故选：C.

4.解：以8为坐标原点，BA,8%为X轴，Z轴建立空间直角坐标系,

因为NABC=120。，AB=2,BC=1,CC、=6,,

.A

则A(2,0,0),B,(0,0,V2),B(0,0,0),C,,y,75),

_______1/o

所以福=(-2,0,&),眄夜)，

设异面直线ABi与BCt所成角为e,

则cos。=|cos<ABt,BC；\=世型=包,

IABt||BC,|2

又0°＜。,,90°,

所以6=45。，

故异面直线AB1与8G所成角的大小为45。.

5.解：如图所示，不妨设A3=l.

AB[=AB+BB；,BC\=BC+CQ=BC+CC；.

AAB,-.BC；=(AB+BB,)(BC+CC；)

=AB-BC+AB-CC.+BB；•BC+8瓦•CCX

3

=cos60°+0+0+l=-.

2

设异面直线Ag与BG所成的角为。,

3

3

则cos”2

IABJ-IBCJV2x5/24

3

故异面直线Aq与BG所成角的余弦值为

故选：C.

6.解：以A为原点，AB,AD,AS所在的直线分别为x,V,z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，

则S(0,o,1),3(1,0,0),C(l,3,0),D(0,1,0),

SB=(1,0,-1),CD=(-1,-2,0),

——SBCD-1M

•cos<SB，CD>=--：-----=—j=--7==----,

|SB|•|CD|6.x小10

・•・异面直线夹角的取值范围为(0,

••・异面直线SB与CO所成角的余弦值为叵.

10

故选：B.

7.解：因为外接球球O的表面积为64%，

设其半径为厂，则有44，=64〃，解得r=4,

设点A到平面BCD的距离为x,

则有(x-4)、(6xg)2=42,解得x=2或x=6(舍),

取班>的中点Q,则EQ//AB,

所以异面直线■与CE所成角为NQEC或它的补角，

AB=yJx2+B'O2=V4+12=4>即AC=AD=4,

所以EQ=2,而CQ=6x=3\/3,

d2a-d2—6~

故cos/CAD=t—2

2x4x48

所以C£2=AC72+AE2-2ACAECOSZC4T>=164-4H--X4X2=22,

4

所以CE=也，

/c”CE2+gE2-Ce222+4-27后

Wr以cosZQEC=-------------------=-----；=——=---------

2CExQE2x722x288

故异面直线AB与CE所成角的余弦值为叵.

88

故选：A.

8.解：如右图，因为AB〃CE,异面直线AB与PC所成角就是NPCE或其补角,

在APCE中，EC=2,PE=2,

在左图中作垂足为O,则。0=0,OC=M，

所以PC=yJPO2+OC2=72+10=2G，

PC2+EC2-PE212+22-22_>/3

所以cosNPCE=

2PCEC2x26x2-2

故选：D.

H

«

9.解：棱长为2的正方体438-ABC。中，P在线段8c（含端点）上运动，

对于A,B,C1BC,,CD±BCt,B,CQCD=C,B、C、COu平面C£>g,

BQ_L平面CDB、,丹£>u平面CDBt,：.B,D±BCt,

同理，BID±AICI,­,■4GQsq=q,AG、sgu平面ARB,二线。，平面AGB,

•.・APu平面AGB,故A正确：

对于B,P在线段BC,(含端点)上运动，BC\〃AD\,Bq<jt平面ACDt,A〃u平面ACDt,

BCJI平面ACDX,p到ACR的距离是定值，

以A为原点，44为x轴，RG为y轴，2。为z轴，建立空间直角坐标系，

4(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),8(2,2,2),

取=(2,0,2),麻=(0,2,2),取=(2,2,2),

设平面AAC的法向量用=(x,y,z),

m-D,A=2x+2z=0

则_L,取x=i,得成=(i,i,-i),

m-DXC=2y+2z=0

P到平面RAC的距离d=叱丁=2=2^(

ImlV33

二.三棱锥R-APC的体积为：

%-用=匕,小=35ixJ=1xlxV22+22XV22+22xsin60°x^=p故B错误;

对于C,­：ADJIBC,,CDJ/A.B,/ID.QCD,=D,,BC}p\A,B=B,

二平面A£>|C//平面8GA,A?u平面BC|A,AP//平面AC£)|,故C正确；

对于O,在线段8G(含端点)上运动，

・••当P与5重合时，吊尸与2c所成角为0,

当p与G重合时，AP与所成角为?，故。错误.

故选：AC.

10.解：在直三棱柱ABC-ABC中，各棱长均为2,E,F分别为线段4?,4片的中点,

对于A,-：QF//CE,AF//B.E,CtF^\AF=F,CE^\BtE=E,

平面AC///平面gCE,故A正确；

对于8,•••CELA8,CELAA,,AB^AA,=A,钻，A4,u平面ABqA，

7

.•.CEJ_平面ABBA,•.•4(=平面筋44，，(为_14产，故8正确；

对于C,以E为坐标原点，£4为x轴，EC为卜轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系,

A(l,0,0),F(0,0,2),C(0,丛,0),4(-1,0,2),

AF=(-1,0,2),西=(-1,_+,2),

设直线AF和C与所成角为。,

\AF\-\CB{\75-784

直线AF和Cg所成角的余弦值为我，故C错误;

4

对于。，过A48C的重心G作平面ABC的垂线GO,在GO上取GO=1,

则。是该棱柱外接球的球心，连接X,

*..GC=^EC=当,二球半径R=OC=/2+（苧j=g

该棱柱外接球的表面积为S=47X故。正确.

故选：ABD.

11.解：对于A,取AC中点O,连接03,OD,则AC_LO3,且ACJ_O£),

.♦.4。_1平面08。，.・.4。_18。，异面直线AC与比）所成的角为90。,

又MN//BD,.•.异面直线AC与MN所成的角为定值，故A正确；

对于3,若直线4）与直线3c垂直，

••,直线与直线3c也垂直，则直线3C_L平面

..直线BCJ.直线如，又8O_LAC,.•.比>_1_平面ABC,:.BDVOB,

而△05是以08和6©为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误;

对于C,M,N分别为正方形43CD的边8C、8的中点，

A4C£>与AACV面积比为2:1,

B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2:1,

三棱锥N-AC/必与体积之比值为定值,故C正确；

4

对于。，外接球球心。在AC中点，由题意解得外接球半径R=也，

2

••・四面体A88的外接球体积为V=g；rx（¥）3=舞，故。正确.

故选：ACD.

12.解：对于A,AABC的边长为4,折成正四面体P-Z）EF后，如图,

­,D,E,尸分别为各边的中点，G,“分别为小，"'的中点，

:.DHkFP,DEA.GP,

连结FG,取GF中点用，则MW//GP,

••・异面直线PG马DH所成角为ZDHM,

GP=yf3>HM=——,连结MD,WDM———，DH=>

22

；.PG与叫所成的角的正弦值为：■，故4错误；

对于3,正四面体P-。上尸中，取。尸中点N,连结PN,EN,

则取_1_/)尸，EN±DF,.•.£)F_L平面尸EN,

冗

..DFA.PE,.•.。厂与收成角彳，故8正确；

对于C,连结GN,HN,则NH//DP,

异面直线GH与PD所成的角为NGHN,

GH=JGP2_（9）2=GH=HN=\,

cosNGHN=a十二.=立，NGHN=-,

2xV2xl24

.•.G”与P力所成的角为£,故C正确；

对于。，异面直线PG与£F所成角为NPGN,

PG?+GN?-PN?3+1—3g,故D正确.

cos/PGN=

2xPGxGN2x6x1o

故选：BCD.

13.解：取AC中点E,连接PE、DE,

设以=1,则AB=AC=BC=\lf+12=6,

DE!/AB,S.DE=-AB=—,

22

.•.NPDE是直线PD与直线45所成的角（或所成角的补角），

:PA=PC=PB=\,ZAPC=N8PC=90°,

:.PE=PD=—,

2

.•.MDE是等边三角形,

ZPDE=60°.

直线PD与直线AB所成的角的大小为60°.

故答案为：60°.

14.解：作出四面体ABCZ）的外接长方体如图所示，

设长/）'C=a,宽C4'=〃，高A'O=c,

a2+Z?2=72

则由勾股定理可得，\a2+c2=62,解得/=6,

b2+C2=52

连结A9交8于点E,则异面直线回、8所成的角为NA'ED（或补角），

Arp2np2_Afn2

在△AEO中，由余弦定理可得，cosZA'ED-a」—上二

2AEDE

所以回、8所成的角的余弦值为1宗3

13

故答案为：—.

取8中点E,连接。尸，可得〃尸〃CE,

••・异面直线AR与CE所成的角是60°,NARF=60°,

设。。=〃，-.-AB=2BC=4,:.AD=DF=2,则且AF=20,

又NARF=60。，AD^^+n2=272,求得〃=2.

可得长方体A8C。—ASGR中，AB=2BC=2AA]=4,

则在此长方体的表面上，从A到c的路径中，最短路径是沿co剪开，

绕4?把平面ABC。翻折至与AA与8所在面重合，连接AC所得线段长度，

大小为J（2+2>+42=4&（另外两利1情况长度相等为2而，不是最小值）.

故答案为：4&.

16.解：对于①，当尸在C点时，ORL4C,

7T

异面直线AC与。2所成的角最大为1,

TT

当P在四点时，异面直线AB,与所成的角最小为/£>℃==,

异面直线AP与。。所成的角的范围为亨如故①错误；

对于②，因为平面AG。，所以平面平面ACQ,故②正确;

对于③，片c//平面AG。，所以点P到平面AG。的距离为定值，且等于8A的g,

即2y3,故③正确；

3

对于④，直线AP与平面BCG4所成的角为NAP瓦tanZAPB=—,

BP

当3PJ,81C时，BP最小,tanNAPB最大，最大值为正＜tan?,故④不正确，

故答案为：②③.

17.解：(1)由题意，在AAOP中，OA=OP^2,ZAOP=\20°,所以AP=26，

在ABOP中，OB=OP=2,ZBOP=GO0,所以3P=2,

因为三棱锥A-APB的体积为华.

所以%-AP3=gxgx2有x2xA4,=|百，解得例=4,

故圆柱0。1的表面积为S表=2^-x22+2zrx2x4=24^-.

(2)取A4,中点。，连接OQ,PQ,则。。//4田，

得NPO。或它的补角为异面直线AQ与OP所成的角，

又AP=2下＞，AQ=AO=2,得OQ=2亚,尸。=4,

由余弦定理得cosNPOQ=+整鲁=W，

2xPOxOQ4

••・异面直线A8与OP所成角的余弦值为它.

18.解：(1)•.•正三棱柱ABC-A耳G中，。是BC的中点，钻=2,M=3.

二三棱锥G-A8C的体积为:

匕-板=gx%8cxec।=1xlx2x2xsin60°x3=>/3

(2)证明：连接AC,交AG于点O,连接8,

・•・ACCA是矩形，是AC的中点，

•.•。是BC的中点，.•.48//。。，

•.•48《平面4。6，8匚平面4。6,

・•.48//平面4。。一

(3)•.•A8//O。，.•.NOQG是异面直线48、CQ所成的角,

CQ=«+32=M,

13⑺13

OO+CW-OC；-+10-----

cosZODCj44

2xODxCD

}2x姮xM

2

19.(1)证明：在直三棱柱A8C-A与G中，•.•“为A耳的中点，GA=G4,

:.C,MI\BX,平面4gA4,•.•BNu平面A4BA,

CXM1BN,

.CA=CB=\,NBC4=90。，M=2,N为的中点,

易得MN=亚,BN=G,

2

连接MB,得MB=£^,

2

.-.MN2+BN2=MB2,

则NBNM=90。，即BN_LA«V.

•.•MVu平面JAIN,C|Mu平面C|MN,-M,

.•.8N1,平面GMN.…（6分）

（2）连接8G交BC于点。，作AC，gG的中点分别为E,F,

连接DE,EF,FD,则NEDB］即为异面直线8A、CB,所成的角，

易求得DE=4EF2+DF?=旦,DB,=—,EB.=—,

2'212

65_5

_DE2+DB；-EB；4+4~4而

则在AEL型中，cosZ™,=一示=』金=不「…。2分）

2DE-DB,八，46,510

2x——x——