初中数学总复习

初中数学总复习一《圆》

【知识结构】

定义

点与圆的位置关系

三点定圆定理

’垂径定理及推论

圆的有关性质甘,皿山圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

基本性质

圆周角定理

圆内接四边形

点的轨迹

反证法

相离

判定

直线和圆的位置关系相切

性质

相交弦定理及推论

相交

圆，切割线定理及推论

'外离

外切

圆和圆的位置关系，相交

内切

内含

概念

'半径、边心距、中心角计算

正多边形计算

边长、面积的计算

正多边形与圆画法应用［圆周长、弧长、组合图形周长计算

［圆面积、扇形、组合图形面积计算

.定义

圆柱和圆锥侧面展开图

侧面积、全面积计算

第一节圆和圆的基本性质

【知识回顾】

1.圆的定义（两种）

2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理

4.垂径定理及其推论

5.，，等对等”定理及其推论

【考点分析】

1、确定条件：

圆心确定位置；半径确定大小。

2、圆的对称性：

圆是轴对称图形也是中心对称图形。

对称轴是直径，对称中心是圆心。

3、垂径定理：

4、点与圆的位置关系

设圆的半径为R,一点到圆心的距离为仁

点在圆外o">R；点在圆上o"=R；点在圆内

【典型例题】

例1⑴下列语句中正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；

A.1个B.2个C.3个D.4个

⑵如图1,AB为。0的直径，CD是弦，AE_LCD于E点，BFJ_CD于F点，BF交。0于G

点，下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG•FB=EC•ED,其中正确的结

论是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm,拱高CD=8cm,则桥拱的半径是。

⑵已知：如图3,。。的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是（）

A.B.C.5D.8

例3已知：。0的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、，

求NBAC的度数。

例4已知：F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的一点，A是BF的中点，ADLBC于点D,

求证：AD=BF.

【基础练习】

1、如图5,乒乓球的最大截口。O的直径AB,弦CD,P为垂足，若CD=32mm,AP：PB=1：

4,贝UAB=.

2、平面上一点P到。O上一点的距离最长6cm,最短为2cm，则。O的半径为cm.

3、已知：如图6,Rt^ABC中，ZC=90°,AC=，BC=1.

若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB于P,则AP=.

4、已知一个直角三角形的面积为12cm2,周长为12cm,那么这个直角三角形外接圆的半径是

___________cm.

5、如图7,已知AB是。。的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD=cm.

6、如图8,在。0中，弦AB=CD,图中的线段、角、弦分别具有相等关系的

量有（不包括AB=CD）（）

A.6组B.5组C.4组D.3组

7、圆的直径是26cm,圆中一条弦的长是24cm,则这条弦的弦心距是（）

A.5cmB.6cmC.lOcmD.12cm

8、如图9,在。。中，直径MNLAB,垂足是C,则下列结论中错误的是（）

A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.OC=CN

9、如图10,已知：在。。中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.

求证：40CD为等腰三角形.

【能力创新】

10、等腰aABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm,则SZ\ABC为（）

A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm

11、已知：如图11,在。。中CD过圆心O,且CDLAB,垂足为D,过点C任作一弦CF交

。。于F,交AB于E,求证：CB2=CF•CE.

12、如图12,AM是。O的直径，过。O上一点B作BNLAM,垂足为N,其延长线交。O于

C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CDJ_AB,求证EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F,且

CD=AB,求证：CE2=EF-ED；⑶如果弦CD、AB的延长线交于点E且CD=AB,那么⑵的

结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

第二节直线和圆的位置关系

【知识回顾】

1.三种位置及判定与性质：

d>R]「直线与圆相离

d=R2

直线与圆相切

d<R-I直线与圆相交

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4.切线长定理

【考点分析】

1、直线和圆的位置关系及其数量特征:

直线和圆相交相切相离

的位置

D与r的d<rd=rd>r

关系

公共点个210

数

公共点名交占切点无

称

直线名称割线切线无

2、有关定理和概念

切线的判定定理：

判定方法：①②③

切线的性质定理及推论：

切线长定理：

三角形的内切圆和内心：

【典型例题】

例1、如图80303,已知AB是。O的直径，C在AB的延长线上，CD切。。于D,DE±AB于

E,求证：ZEDB=ZCDBo

O的例2、如图80304,已知AB是。O的条直径，过A作圆的切

线AC,连结OC交。O于D;连结BD并延长交AC于E,AC=AB

①求证：CD是AADE外接圆的切线。

ADFA

②若CD的延长线交。0于F,求证：而=7K

③若。O的直径AB=2,求tgZCDE的值。

④若ACWAB结论①还成立吗？

.80304

【基础训练】

1、若。。的半径为3cm,点P与圆心。的距离为6cm,则过点P和。O相切的两条切线的夹

角为度。

2、已知圆的直径为13cm,如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离

为O

3、已知PA与。0相切于A点，PAjS，NAPO=45°,则P0的长为。

4、已知△ABC中，NA=70°,点。是内心，则NBOC的度数为。

5、已知0C平分NAOBJD是0C上任意一点，OD与0A相切于点E且DE=2cm,则点D到0B

的距离为o

6、如图80301,AE、AD和BC分别切。0于E、D、F,如果AD=20,则4ABC的周长

为o

7、如图80302,梯形ABCD中，AD〃BC,过A、B、D三点的。。交BC于E,且圆心0在BC

上，①四边形ABED是什麽四边形？请证明你的结论。②若NB=60°,AB：AD：BC=1：1：3

则有哪些结论？至少写出两个并加以证明。

【发展探究】

TM2PM

1、如图80305,设PMN是。0通过圆心的一条割线，①若PT切。O于点T,求证：而=胃

AM•BM_…=

②若将PT绕点P逆时针旋转使其与。0相交于A、B两点，试探求与京间的关系。

AN•BN

2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立?

【优化评价】

1、OO的半径是8,OO的一条弦AB长为队「，以4为半径的同心圆与AB的位置关系

是o

2、在RSABC中,NC=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边AB只有•

个公共点，则R的取值范围是o

3、在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3,BC=4,

则。0的直径为o

4、RtAABC中，NA=90°,。0分别与AB、AC相切于点E、F,圆心0在BC上，若AB=a,AC=b,

则。。的半径等于（）o

5、如图80306,△ABC是。0的内接三角形，DE切圆于F点，且DE〃BC,那么图中与NBFD

相等的角的个数是（）o

A、5B、3C、4D、2

80307

6、如图80307,ABJ_BC,且AB=BC,以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴影部分的面积

是△ABC面积的（）。

A、1倍B、g倍C、；倍D、1倍

7、如图80308,OA和OB是。O的半径，并且OA_LOB,P是OA上的任一点，BP的延长线交

。。于点Q,点R在OA的延长线上，且RP=RQ。

①求证：RQ是。O的切线。

②求证：OB2=PB•PQ+OP2O

③当RAWOA时，试确定NB的范围。

8、如图80309,点A在。O外，射线AO与。O交于F,G两点，点H在。O上，弧FH=MGH,

点D是弧FH上一个动点（不运动至F）,BD是。。的直径，连结AB,交。。于点C,连结CD,

交AO于点E,且OAM，OF=L设AC=x,AB=yo

①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

②若DE=2CE,求证：AD是。O的切线。

③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时，

求sinZDAB的值。

第三节与圆有关的角

【知识回顾】

与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

【考点分析】

圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些

知识进行有关证明与计算。

【典型例题】

例1、⑴已知：A、B、C、D、E、F、G、H顺次是。。的八等分点，则NHDF=

⑵如图1,AC是。0的直径，BD是。0的弦，EC〃AB交。O于E,则图中与NBOC的一半

相等的角共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

(1)

例2、⑴下列命题正确的是（）

A.相等的角是对顶角；B.相等的圆周角所对的弧相等;

C.等弧所对的圆周角相等角；D.过任意三点可能确定一个圆。

⑵如图2,经过。0上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,

若NCAP=40°,ZACP=100°,则NBAC所对的弧的度数为（）

A.40°B.100°C.120°D.30°

⑶如图3,AB、AC是。0的两条弦，延长CA到D,使AD=AB,若NADB=35°,则NBOC=

例3、⑴如图4,CD是。O的直径，AE切。O于B点，DC的延长线交AB于点A,ZA=20°,

则ZDBE=.

⑵如图5,AB是。O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB,CD与。O切于C,那么N

CAB=度。例4、已知，如图6,AB是。。的直径，C是。。上一点，连结AC,过点C

作直线CD，AB于D（ADVDB=，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交。O

于点F,连结AF与直线CD交于点Go⑴求证：AC2=AG•AF；⑵若点E是AD（点A除外）

上任意一点，上述结论是否任然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理

由。

©

【基础练习】

1、填空题：⑴如图7,OA、0B是。。的两条半径，BC是。。的切线，

且NAOB=84°,则NABC的度数为.

⑵如图8,C是。0上的一点，AB为100°,则NAOB=度，

ZACB=度。

⑶圆内结四边形ABCD中，如果NA:NB:NC=2：3：4,那么ND=度。

⑷如图9,ZSABC中，ZC=90°，。。切AB于D,切BC于E,切AC于F,则NEDF=

2、选择题:⑴如图10,四边形ABCD为。。的内接四边形,E为AB延长线上一点，NCBE=40°,

ZAOC等于（）

A.20°B.40°C.80°D.100°

⑵AABC内接于。0,ZA=30°,若BC=4cm,则。。的直径为（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

⑶如图11,AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,贝Utan/BPD等

于（）

V7453

A.3B.3c.3D.4

⑷如图12,AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延

长线于点P，ZPCB=29°,则NADC=（）

A.109°B.119°C.120°D.129°

3、如图13,ZXABC内接于。O,AB=AC,直线XY切。O于点C,弦BD〃XY,AB,BD

相交于点E。⑴求证：△ABDgZ\ACD；⑵若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长。

【能力创新】

5、如图14,AB是。O的直径，弦CDLAB于P。⑴已知：CD=8cm,

ZB=30°,求。O的半径；⑵如果弦AE交CD于F,求证：AC2=AF•AE.

AC,

(14)

第四节与圆有关的比例线段

【知识回顾】

与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

【考点分析】

1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下:

相交弦定理及切割线定理及推

推论1论2

条弦弦CDPT是。PAB、

件AB,CD±直0的切PCD

相交于径AB线，均为

P点交于PPAB是。。的

00的割线

割线

图图图图图

形80401804028040380404

22

结PA•PPC=PPT=PAPA•P

论B=PCA«PB•PBB=PC

•PD•PD

8040180402

例1、如图80406,8040380404已知△ABC是。0的内接三角形,

PA是切线，PB交AC于E点，交。。于D点，且PE=PA,NABC=60°,PD=1,BD=8。求CE的

长。

例2、如图80407,已知PA切。O于A点，PBC为割线，弦CD〃AP,AD交BC于E点，F在

CE±,J.ED2=EF-ECo

求证：①NEDF=NP②求证：CE•EB=EF-EP

③若CE：EB=3：2,DE=6,EF=4,求PA的长。

【基础训练】

1、已知：AB-CD为。O得两条弦，AB与CD交于点P且点P为CD得中点，PC=4,则PA-PB

2、已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC得长分别为3cm,4cm。以AC为直径作圆于斜边AB交

于点D,则BD得长为o

3、已知割线PBC与。O交于点B点C且PB=BC。如果OP与。O交于点A,且OA=7,AP=2,

则PC的长为O

4、已知PA为。O的切线，A为切点，PBC时过点O得割线，PA=10cm,PB=5cm,则。O的半径

为o

5、。0的一弦AB=10cm,P是AB上一点，PA=4cm,OP=5cm,则。O的直径为。

6、如图80405,已知△ABC中，AD平分NBAC,过A、B、D作。O,EF切。。于D点，交

AC于E点。求证：CD2=CE•ACo

80405

【发展探究】

如图80408,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆上的一点，过H与半圆相切

的直线交AB于点E,交CD于点F,①当H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个

交点分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否也

在变化？请证明你的结论；②若NBEF=60°,求四边形BCFE的周长；③设四边形BCFE的面

积为y,正方形ABCD的面积为S。

当H在什么位置时，S尸413So

【优化评价】

1、已知AEB、ADC是。O的两条割线，且AB>AE,AC>AD,AT切。O于T,若

AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,则BC=。

2、已知P为圆外一点，PA切。。于A点，PA=8,直线PCB交圆于C、B且PC=4,ADJ_BC于

sinx

D点，ZABC=x,ZACB=P,。

sinP------------------------

3、等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比为（）。

A、1：啦：小B、1：5:2

C、1：2：3D、1：2：小

4、已知梯形ABCD外切于。O,AD〃BC,NB=60°,NC=45°,。。的半径为10,则梯形的中

位线长为（）。

A、10B、yV3+l（h/2C、20D、2072

5、在半径为r的。0中，一条弦AB等于r,则以O为圆心，坐r为半径的圆与AB的位置关

系是（）o

A、相离B、相切C、相交D、不能确定

6、如图80409,PT为。O的切线，T为切点，PA为割线，它与。。的交点是B、A与直线CT

的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的长。

80409如图80410,PA是。O的直

径，PC是。O的弦，过弧AC中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B。若HB=6,BC=4。求

OO的直径。

8、如图80411,。。是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧弧BC中点，连AD并延长

_DPRD2

与过C点的切线交于点P。①求证：赤=右至

②当AC=6,AB=10时，求切线PC的长。

第五节圆和圆的位置关系

【知识回顾】

.五种位置关系及判定与性质：（重点：相切）

d>R+r、r外离1

d=R+r外切

R-r<d<R+r>V

X相交

d=R-r内切

d<R-r、内含

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

【考点分析】

1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合

相切相离

两圆位置相交外切内切外离内含

关系

R-r<d<R+rd=d=d>d<

d与R、r(R>r)R+rR-rR+rR-r

的关系(R>r)(R>r)

公共点个21100

数

公共点个21100

数

外公切线22120

条数

内公切线01020

条数

公切线条23140

数

★记忆方法:

0R-rR+r

1内含？>★d

外离

2、有关定理:

连心线的性质:当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线过切点；当两

圆外离时，连心线过内（外）公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角；当两圆内含时，

连心线是对称轴。

公切线的性质:两圆的两条外（内）公切线的长相等；两条外（内）公切线的交点在连心线上

且夹角被连心线平分。

公切线长的计算公式:

1外公切线Rd2-（R-r）2

1内公切线为5而才，

.两个圆是轴对称图形，两圆的连心线是它的对称轴。

3、思想方法：

（1）抓住“切点”，明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切，并充分、合理地运用有关“切”的

定理。

（2）全面思考问题：如两圆无公共点，则为外离或内含；相切分“外切”和“内切”；两个圆

心可在公共弦和同侧或异侧。

（3）发现和建立两圆之间的联系，注意有些线段或角具有双重身份，应灵活使用。

【典型例题】

例1、如图80501,已知。如和002相交于A,B。0102交。01于P,PA已B的延长线分别是交0

02于C,D,求证：AC=BDo

证法一：连AB作02M1AC,02N±BDo

证法二：连AB。

例2、如图80502,001和。02外切于点C,外公切线AB交0102的延长线于P,ZA01P=60°,

0102=2,求两圆的半径。

证法一：连02B。

证法二：作02D_L01A。

【基础训练】

1、若（1）直径分别为6和8,圆心距为10；（2）只有--条公切线；（3）R2+d2M=2Rd则两

圆的位置关系分别为、和o

2、若两圆既有外公切线，又有内公切线，则两圆半径R和r及圆心距d的关系是（）。

A、d<R+rB、d=R+rC、d>R+rD、d'R+r

3、两圆外切于A,BC是外公切线，则△ABC为（）□

A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、等边三角形

4、两个等圆。01和。02相交于A、B两点，且02在。01上。则四边形O1AO2B是（）。

A、平行四边形B、菱形

C、正方形D、梯形

5、两圆外切，当两圆外切时，圆心距为20.那么两圆内切时，圆心距（）。

A、8B、12C、4D、小于4

6、两园外切，其半径分别为6和2,则两条外公切线的夹角等于（）。

A、30°B、45°C、60°D、90°

7、两圆半径分别为4和2,--条公切线为4,则两圆的位置关系为（）。

A、外切B、内切C、外离D、相交

8、三个同心圆的半径分别为rl,r2,r3,且rl<r2<r3。如果大圆的面积被两个小圆三等分，那么rl：

r2：r3等于（）。

A、1：2：3B、1：6：小C、1：4：6D、2：3：5

9、两圆的圆心坐标分别为（S，0）和（0,1）,它们的半径分别是4和6,则两圆的位置关系是

（）。

A、外离B、外切C、相交D、内切

10、相交两圆的公共弦为6,半径分别为4和5。则圆心距为（）□

A、4+小B、4-小

C、4+于或4-巾D、不同于以上答案

【发展探究】

如图80503,半径为R和r的。01和002外切于P,切点P到外公切线AB的距离PQ=d，写出R、

r、d之间的一个数量关系，并证明你的结论。

80503

证明：ACPO2s△D0102=>号士=>/+I

•相似是平几的重要手段。

•掌握“从未知看需知靠拢已知”“（分析法）”和从已知看可推知向未知”（综合法）。

【优化评价】

1、若IR-d|=1'，则两圆的位置关系是（）。

A、相交B、外切C、相切D、内切

2、在两圆的五种位置关系中，没有内公切线的有（）0

A、4种B、3种C、2种D、1种

3、两圆相外切，且它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆半径等于5cm,则外公切线的长为

（）o

A、5(3-2啦)cmB、5cmC、10(A/2-1)cm

D、5（5-3啦）cm

4、平面上三个圆两两相切，则切点个数最少是（）。

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、圆A,圆B,圆C两两外切于D,E,F,则ADEF的外心是AABC的（）。

A、内心B、外心C、垂心D、重心

6、001和。02交于A,B,P为0102的中点，直线MN过A且垂直于PA交两圆于M,N,若MN=2啦,

则AM等于（）。

A、1B、啦C、小D、2

7、。01和。02交于A,B,直线EF平行于0102分别交两圆于E,F,若0102=3,则0102：EF=（）。

1112

A>2B、§C、WD、g

8、圆A,圆B,圆C两两外切，半径分别为啦、木、小，则△ABC为（）。

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形。

9、圆01和圆02相外切，又都内切于圆03,01、02、03在一条直线上0102=8cm,则圆03的

半径为（）o

A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm

10、定圆O的半径为4cm,动圆P的半径为1cm,若两圆外切，则PO=，点P在

上移动。

第六节正多边形和圆

【知识回顾】

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

%=弛=2a（右图）

中心角：〃

（）

hc<—__n__-__2__1__8_0_0_X_1

内角的一半：〃2（右图）

（解RdOAM可求出相关元素,S，，、尸”等）

5、一组计算公式

（1）圆周长公式

（2）圆面积公式

（3）扇形面积公式

（4）弧长公式

（5）弓形面积的计算方法

（6）圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

【考点分析】

1、任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且是同心圆。

2、一个正n边形，当n为奇数时，它是一个轴对称图形，且有n条对称轴；当n为偶数时，它

同时也是一个中心对称图形，其对称中心为其外（内）心。

3、弧长公式1弧AB=*;JIRo

1OU

4、扇形面积公式：S扇形=含ITR2=；1Ro

5、弓形面积公式：

6、正n边形：

7、立体图形圆柱和圆锥，可将它们转化为平面图形进行研究。要掌握圆柱和圆锥转化成相关平

面图形的特征，以及与圆柱和圆锥的联系。

•圆柱与它相关平面图形的关系

圆柱可以看成是由旋转得到的图形，圆柱沿轴的剖面图是矩形，圆柱的侧面展开图是矩形。设

圆柱的母线长为1,底面圆半径为R,圆柱与它的旋转面、轴剖面、侧面展开图元素间的关系如

下表：

圆柱旋转面轴剖面侧面展

（矩形）（矩形）开图（矩

形）

母线长轴上的平行轴一边长

（高）1边1的边11;

底面圆垂直于垂直轴另一边

半径R轴的边的边2R长2nR

2R

•圆锥与它相关平面图形的关系

圆锥可以看成是直角三角形旋转得到的图形，圆锥沿轴的剖面图是等腰三角形，圆锥的侧面展

开图是扇形。设圆锥的母线长为1,底面圆半径为r,锥角为a,高为h圆锥与它的旋转面、轴剖

面、侧面展开图元素间的关系如下表：

圆锥旋转面轴剖面侧面展

（直角三（等腰开图（扇

角形）三角形）

形）

母线长斜边长1腰长1半径1

1

底面圆垂直轴的底边长弧长2r

半径r直角边r2r

斜边与轴圆心角

锥角a上的直角顶角a360°

边夹角上.a

sm2

高h轴上的直底边上—

角边h的高h

8、

边内中半边边周面

数角心径长心长积

nQ角Rnan距PnS

mn

31

41

61

9、结论及方法:

（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

（2）正多边形的有关计算问题，常转化为解直角三角形的问题来研究。

（3）常用“隔离法”来按各元素之间的数量关系。

（4）求阴影部分面积常转化为规则图形来求，或采用“重叠法”及“代数法”。

【典型例题】

如图80505,在半径等于R的圆内，引两条在圆心同旁且平行的弦，它们所对的弧分别是120°

和60°。求两平行弦间所夹的图形的面积和周长。

S等边梯形ABDC=d”12,周长是（1+仍+y）R

【基础训练】

1、已知ABCDE是正五边形，则NADB=（）。

A、35°B、36°C、40°D、54°

2、下列正多边形中，既是轴对称，又是中心对称的图形是（)o

A、正三角形B、正方形

C、正五边形D、正七边形

3、若正方形的内切圆的面积是“，则其外接圆的面积是（

9925

A、2mB、/mC、a31D、豆”

4、弧长为1圆心角为120°,那么它所对的弦长为

（）。

3小11J31D、子

A、B、

4冗2况2n

5、圆柱的底面积为9”,侧面积为48n,那么它的母线长为（）。

A、8B、16C、8nD、16n

6、圆锥的高是8,母线长为10,则它的侧面积是（）o

A、40nB、50nC、60nD、70n

7、同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边长之比为（

A、@1B,2：3C、3：2D、啦：2

8、一个扇形的面积是12n,弧长是4n,则它的半径为（）□

A、3B、4C、5D、6

9、弓形的弦长为2小，弓形高为1,则弦长为（）。

A、31B、71C、nD、

10、如图80504,正方形边长为a,弧的半径为a,阴影部分面积为（）。

12

A、(n-1)a2B、(--1)a-C、2("-1)a~D、a2

【发展探究】

如图80506,在边长为23cm的正方形ABCD中，剪下一个扇形AEF和一个圆O分别作为圆锥

的侧面和底面做成一个圆锥，求此圆锥的表面积。

S&=Swj+S底=5口(56-2尸。

【优化评价】

1、正三角形的内切圆半径、外接圆半径、高之比为（）o

A、1：小：2B、2：3：4C、1：啦：/D、1：2：3

2、圆外切正六边形与圆内接正六边形边长之比为（）。

A、小：2B、2小：3C、3小：2D、小：2

3、圆锥的锥角为60°，轴截面面积为小cm）则圆锥的表面积为（）。

A、ncm~B、2"cm

C、3mcm2D>4ncm2

4、圆锥的锥角是90°，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为（）。

A、90B、9MC、180D、18M

5、如图80507,半圆O的半径为R,C,D把半圆三等分，则图中阴影部分的面积

为o

6、半径为13的半径为5的两个圆相交于A,B圆心距0102=12,则公共弦AB的长

为o

第七节轨迹和作图

【知识回顾】

一、点的轨迹

六条基本轨迹

二、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分

【考点分析】

1、轨迹：条件FO图形C

2、五条基本轨迹：

①圆：到定点距离等于定长的点的轨迹。②中垂线：到线段两个端点距离相等的点的轨迹。③

角平分线：到角的两边距离相等的点轨迹。④平行线：到一直线距离为定值的点的轨迹是一条

到该直线距离为定值的平行线。⑤平行线：到两平行线距离相等的点的轨迹是平行与两条直线

且到两直线距离相等的直线。

3、相切在作图中应用

直线和圆弧在切点处连接；圆弧与圆弧在切点处外连接和内连接。

【典型例题】

例1已知圆弧AB,过B点作以半径为R的圆弧在B点外连结。

例2说明下点的轨迹：

①•边固定的菱形的对角线交点的轨迹；

②已知圆内等弦的中点轨迹；

③已知圆内平行弦的中点轨迹；

④四边形ABCD是已知圆。的内接梯形，且AB〃CD,若AB固定，写出这个梯形的对

角线交点的轨迹；

⑤已知定长/及半径r的圆0,若圆0外一点P向圆所作的切线长为乙试写出点P的轨迹;

⑥A、B为两定点，且PV—P1一定值，试写出动点p的轨迹；

⑦AB、CD是已给的两条平行线，E、F分别是AB、CD上的动点，连接EF,试写出EF

中点P的轨迹；

⑧/ABC为一已知的等边三角形，P为一动点，若PA=PB+PC,试求点P的轨迹；

⑨已知/ABC及一动点P,若SZ）PAB=S/PAC，试求动点P的轨迹；

⑩动点P与定圆0的最短距离等于该圆的半径R,试写出动点P的轨迹；

例3P、Q分别是已知NX0Y的两边OX、0Y上的两动点，且0P+0Q=k为一定值，试求动点

P的轨迹。

4、在互相垂直相交的两条直线XX'、YY'上分别取任意一点A、B,以AB为底边的等腰直角

/PAB,试求直角顶点P的轨迹。

《圆》测试题

一、填空题。（3分X12=36分）

1、和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是—□

2、一个半径是5cm的圆，它的一条弦长是6cm,则弦心距是。

3、已知，等边△ABC内接于。0,AB=10cm,则。。的半径是。

4、一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数是o

5、已知PA切。。于A,PBC交。。于B、C,PA=4小,PC=12,贝ijPB=。

6、已知圆。的弦AB经过弦CD的中点P,若AP=2cm,CD=8cm,则PB的长是。

7、如图80001,①在ABC中，AB=AC,NBAC=120°,②A与BC相切点D。与AB相交于点E,

则NEDB=（坡。

8、已知。01与。。2的直径分别为4cm和2cm,圆心距为6cm,则两圆的公切线

有条。

9、如图80002,。01与相交于A和B,PQ交。01于M和Q,切。。2于P,交AB延长线于

N,MN=3,QN=15,pliJPN=。

10、弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”，再下料。根据右图可算得管道的展直长度

为o（单位：mm,精确到1mm。）

11、如图80004,。。的半径为1,圆周角NABC=30°,则图中阴影部分的面积是（结

果用"表示）。

12、数学课上，学生动手将面积为400cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直

径为o

二、选择题。（3分X10=30分）

1、下列命题中，错误的是（）

A、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

B、到圆心的距离等于半径的点在圆上；

C、全等的两个三角形必定相似；

D、相等的两个角是对顶角。

2、如图80005,点C在以AB为直径的半圆O上，ZBAC=20°,则NBOC等于（）。

A、20°B、30°；C、40°D、50°

8000580006

3、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（