重庆市外国语学校2024年中考数学一诊试卷含解析

PAGEPAGE342024年中考数学一诊试卷一、选择题（共12小题）1．下列各数中，最小的是（）A．π B．﹣3 C． D．﹣2．中华文化博大精深，其中汉字的书写更是极具美感，下列汉字可近似看成既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．天 B．佑 C．中 D．华3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣6），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A在第一象限的对应点A′的坐标是（）A．（1，3） B．（2，1） C．（，） D．（﹣1，﹣3）4．下列命题是真命题的是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形 B．平行四边形的对角线相互平分 C．三角形的外角等于它其中两个内角的和 D．过直线外一点有多数条直线与这条直线平行5．估计×（﹣）的值更接近于（）A．7 B．3 C．2 D．16．如图，AB是⊙O的直径．点P、Q在⊙O上，过点P的切线与AB的延长线交于点C，连接AQ、PQ，若∠C＝36°，则∠Q的度数为（）A．66° B．65° C．64° D．63°7．按如图所示的运算程序，能使输出的b的值为﹣1的是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝0 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣1，y＝18．随着2024年重庆中招体育考试日益接近，初三同学坚持每天熬炼的热忱也愈发高涨，某班甲、乙两名同学相约利用课余时间进行跳绳熬炼．在一次熬炼中，甲同学完成跳绳180个，乙同学完成跳绳200个，但乙同学所用时间比甲同学少10秒，两入计算后得知：甲同学每秒比乙同学少跳绳1个，则本次熬炼中甲同学每秒跳绳多少个？设甲同学每秒跳绳x个，则由题意可列方程为（）A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝10 D．﹣＝109．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos∠BCD＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（）A．14 B．7 C．8 D．10．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈）A．55.0米 B．50.3米 C．48.1米 D．57.3米11．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个12．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分共24分）13．计算：2cos30°﹣﹣（）﹣2＝．14．2024年是新中国成立70周年，是决胜全面建成小康社会第一个百年奋斗目标的关键之年，脱贫攻坚成效明显．依据现行农村贫困标准计算，2024年末农村贫困人口比上年末削减1109万人，将1109万人用科学记数法表示为人．15．在一个口袋中装有4个完全相同的小球，它们的标号分别为﹣3，﹣1，2，4．现从中随机模出两个小球，将上面的标号分别记为a、b，则使得反比例函数y＝经过一、三象限的概率为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作弧BD，再以A为圆心、AC的长为半径作弧CE，且A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是．17．小明和小亮分别从同始终线跑道A、B两端同时相向匀速动身，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便马上提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后马上以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，马上按原速返回（忽视小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮动身时间x（秒）之间的关系如图所示，则其次次相遇时小明与B端的距离为米．18．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王安排购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是安排的倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原安排少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液箱．三、解答题：（本大共8个小题，19题8分，20-26每题10分共78分）解答时每小题都必需写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）（x﹣3y）2﹣x（x﹣2y）（2）÷（m﹣2﹣）20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；（2）求证：AD∥EG．21．2024年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．为了早日取得抗疫的成功，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫学问的宣扬．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫学问的驾驭状况，对他们进行了防疫学问测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成果（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成果分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95；100．乙班15名学生测试成果中90≤x＜95的成果如下：91，92，94，90，93【整理数据】：班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x＜100甲11346乙12354【分析数据】：班级平均数众数中位数方差甲92a9347.3乙9087b50.2【应用数据】：（1）依据以上信息，可以求出：a＝分，b＝分；（2）若规定测试成果92分及其以上为优秀，请估计参与防疫学问测试的480名学生中成果为优秀的学生共有多少人；（3）依据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成果较好？请说明理由（一条理由即可）．22．在函数的学习中，我们经验了“确定函数表法式﹣画函数图象﹣利用函数图象探讨函数性质﹣利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们经常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．小明依据学到的函数学问探究函数y1＝的图象与性质并利用图象解决问题．小明列出了如表y1与x的几组对应的值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y1…42m242n…（1）依据表格中x、y1的对应关系可得m＝，n＝；（2）在平面直角坐标系中，描出表格中各点，两出该函数图象；依据函数图象，写出该函数的一条性质．（3）当函数y1的图象与直线y2＝mx+1有三个交点时，干脆写出m的取值范围．23．材料：对随意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．24．5G网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10Gbit/s，比4G快100倍．5G手机也成为生活、工作不行缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G手机，已知售出5部A型手机，3部B型手机的销售额为51000元；售出3部A型手机，2部B型手机的销售额为31500元．（1）求A型手机和B型手机的售价分别是多少元；（2）该电商公司在3月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000元减500元，满5000元减1500元（每部手机只能参与最高满减活动），结果3月A型手机的销量是B型手机的，4月该电商公司加大促销活动力度，每部A型手机依据3月满减后的售价再降a%，销量比3月增加2a%；每部B型手机依据满减后的售价再降a%，销量比3月销量增加a%，结果4月的销售总额比3月的销售总额多a%，求a的值．25．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图1，点F（0，b）在y轴上，连接AF，点Q是线段AF上的一个动点，P是第一象限抛物线上的一个动点，当b＝﹣时，求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标；（3）如图2，点C1与点C关于抛物线对称轴对称．将抛物线y沿直线AD平移，平移后的抛物线记为y1，y1的顶点为D1，将抛物线y1沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为y2，y2的顶点为D2．在（2）的条件下，点P平移后的对应点为P1，在平移过程中，是否存在以P1D2为腰的等腰△C1P1D2，若存在请干脆写出点D2的横坐标，若不存在请说明理由．

参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．下列各数中，最小的是（）A．π B．﹣3 C． D．﹣【分析】依据“随意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数肯定值大的反而小”，进而比较可得答案．解：∵﹣＝﹣2，π＞＞﹣＞﹣3，∴这些数中最小的是：﹣3．故选：B．2．中华文化博大精深，其中汉字的书写更是极具美感，下列汉字可近似看成既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．天 B．佑 C．中 D．华【分析】依据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析推断即可得解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣6），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A在第一象限的对应点A′的坐标是（）A．（1，3） B．（2，1） C．（，） D．（﹣1，﹣3）【分析】依据位似变换的性质解答．解：∵以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（﹣2，﹣6），∴A的对应点A'的坐标为[﹣2×（﹣），﹣6×（﹣）]，即（1，3），故选：A．4．下列命题是真命题的是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形 B．平行四边形的对角线相互平分 C．三角形的外角等于它其中两个内角的和 D．过直线外一点有多数条直线与这条直线平行【分析】依据菱形的判定定理、平行四边形的性质、三角形的外角性质、平行公理及推论进行推断即可．解：对角线相互垂直且平分的四边形不肯定是菱形，故A错误；平行四边形的对角线相互平分，故B正确；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故C错误；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故D错误．故选：B．5．估计×（﹣）的值更接近于（）A．7 B．3 C．2 D．1【分析】先依据二次根式的化简方法把原式化简，再估算的大小，即可得出答案．解：×（﹣）＝﹣＝﹣2，因为9＜10＜16，所以3＜＜4，所以1＜﹣2＜2，因为10接近于9，所以﹣2接近于1，即×（﹣）接近于1，故选：D．6．如图，AB是⊙O的直径．点P、Q在⊙O上，过点P的切线与AB的延长线交于点C，连接AQ、PQ，若∠C＝36°，则∠Q的度数为（）A．66° B．65° C．64° D．63°【分析】连接OP，依据切线的性质得到∠OPC＝90°，依据三角形的内角和得到∠POC＝90°﹣36°＝54°，依据圆周角定理即可得到结论．解：连接OP，∵PC是⊙O的切线，∴∠OPC＝90°，∵∠C＝36°，∴∠POC＝90°﹣36°＝54°，∴∠AOP＝180°﹣∠POC＝180°﹣54°＝126°，∴∠Q＝∠AOP＝63°，故选：D．7．按如图所示的运算程序，能使输出的b的值为﹣1的是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝0 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣1，y＝1【分析】把各项中x与y的值代入运算程序中计算即可．解：A、把x＝1，y＝2代入运算程序得：2＝1﹣b，即b＝﹣1，符合题意；B、把x＝2，y＝0代入运算程序得：0＝﹣2+b，即b＝2，不符合题意；C、把x＝2，y＝1代入运算程序得：1＝﹣2+b，即b＝3，不符合题意；D、把x＝﹣1，y＝1代入运算程序得：1＝﹣1﹣b，即b＝﹣2，不符合题意，故选：A．8．随着2024年重庆中招体育考试日益接近，初三同学坚持每天熬炼的热忱也愈发高涨，某班甲、乙两名同学相约利用课余时间进行跳绳熬炼．在一次熬炼中，甲同学完成跳绳180个，乙同学完成跳绳200个，但乙同学所用时间比甲同学少10秒，两入计算后得知：甲同学每秒比乙同学少跳绳1个，则本次熬炼中甲同学每秒跳绳多少个？设甲同学每秒跳绳x个，则由题意可列方程为（）A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝10 D．﹣＝10【分析】设甲同学每秒跳绳x个，则乙同学每秒跳绳（x+1）个，等量关系：甲同学跳180个所用的时间﹣乙同学跳200个所用的时间＝10秒，据此列方程．解：设甲同学每秒跳绳x个，则乙同学每秒跳绳（x+1）个，依题意有﹣＝10．故选：C．9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos∠BCD＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（）A．14 B．7 C．8 D．【分析】过点B作BG⊥CD于点G，依据D（4，4），和勾股定理可得，CG＝OB＝3，OA＝OB+AB＝7，过点E作EF⊥x轴于点F，可得EF∥AO，所以EF是三角形AOC的中位线，进而可求EF和OF的长，即可得k的值．解：如图，过点B作BG⊥CD于点G，∵D（4，4），∴DC＝OC＝BG＝4，∵cos∠BCD＝＝，∴设CG＝3x，则BC＝5x，BG＝4，依据勾股定理，得x＝1，∴CG＝OB＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴OA＝OB+AB＝7，过点E作EF⊥x轴于点F，∴EF∥AO，∵平行四边形对角线的交点E，∴AE＝CE，EF∥AO，∴OF＝CF，∴EF是三角形AOC的中位线，∴EF＝OA＝，OF＝OC＝2，∴k＝EF•OF＝7，故选：B．10．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈）A．55.0米 B．50.3米 C．48.1米 D．57.3米【分析】延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，过点E作EG⊥AB于点G，可得四边形BGEH是矩形，依据坡面CD的坡度i＝1：2，设DH＝x，则CH＝2x，可得GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，BG＝HE＝HD+DE＝x+3，再依据锐角三角函数即可求出AB的值，进而求出小山山顶D到水平面BF的垂直高度．解：如图，延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，过点E作EG⊥AB于点G，∵AB⊥BF，∴四边形BGEH是矩形，∴GE＝BH，BG＝EH，∵坡面CD的坡度i＝1：2，∴＝，设DH＝x，则CH＝2x，∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，BG＝HE＝HD+DE＝x+3，在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120，∴AB＝120×tan∠ACB≈90，在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x，∴tan10°＝，即＝，解得x≈48.1（米）．答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米．故选：C．11．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【分析】依据关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，可得抛物线对称轴小于﹣1，依据关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，可得x＞0，解得a＞﹣3，进而可得a的取值范围，得结论．解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，∴抛物线对称轴方程x＝，即＜﹣1，解得a＜1，∵关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，∴x＞0，解分式方程，得x＝2a+6，∴2a+6＞0，解得a＞﹣3，∴﹣3＜a＜1，∵从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，∴符合条件的正数a共有2个，为﹣2，0．故选：A．12．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（）A． B． C． D．【分析】先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，推断出△BDE∽△ADC，求出DE＝，BE＝，进而求出S△BDE＝，AE＝，再推断出△AHE∽△ADC，求出AH＝7，HE＝，再推断出△BFH∽△ACD，求出BF＝，最终用三角形的面积的差，即可得出结论．解：∵CD＝3BD，BC＝4，∴BD＝1，CD＝3，∴S△ACD＝AC•CD＝6，在Rt△ACD中，依据勾股定理得，AD＝＝5，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，∴∠BED＝90°＝∠C，∵∠BDE＝∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴，∴，∴DE＝，BE＝，∴S△BDE＝DE•BE＝，AE＝AD+DE＝，延长EB交AC的延长线于H，由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，∵∠C＝∠AEH＝90°，∴△AHE∽△ADC，∴，∴，∴AH＝7，HE＝，∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HE﹣BE＝，S△AHE＝AE•HE＝，过点B作BF⊥C'H于F，∴∠BFH＝90°＝∠C，∴∠H+∠FBH＝90°，∵∠C'AD+∠H＝90°，∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，∴△BFH∽△ACD，∴，∴，∴BF＝，∴S△BC'H＝C'H•BF＝，∴S△BC'D＝S△AEH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝﹣﹣﹣6＝，故选：B．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分共24分）请将每小题的答案干脆填在答题卡对应的横线上.13．计算：2cos30°﹣﹣（）﹣2＝﹣2﹣4．【分析】依据特别角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂计算．解：原式＝2×﹣3﹣4＝﹣3﹣4＝﹣2﹣4，故答案为：﹣2﹣4．14．2024年是新中国成立70周年，是决胜全面建成小康社会第一个百年奋斗目标的关键之年，脱贫攻坚成效明显．依据现行农村贫困标准计算，2024年末农村贫困人口比上年末削减1109万人，将1109万人用科学记数法表示为1.109×107人．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值≥10时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解：将1109万人用科学记数法表示为1.109×107人．故答案为：1.109×107．15．在一个口袋中装有4个完全相同的小球，它们的标号分别为﹣3，﹣1，2，4．现从中随机模出两个小球，将上面的标号分别记为a、b，则使得反比例函数y＝经过一、三象限的概率为．【分析】当a+b＞0时，反比例函数y＝经过一、三象限．分别得出总的摸球方法数和使得a+b＞0的方法数，用符合题意的方法数除以总的摸球方法数即可．解：当a+b＞0时，反比例函数y＝经过一、三象限．4个完全相同的小球，随机模出两个小球，总共有6种方法，其中a+b＞0的有：①﹣3，4；②﹣1，4；③2，4；④﹣1，2．∵4÷6＝，∴使得反比例函数y＝经过一、三象限的概率为．故答案为：．16．如图，正方形ABCD的边长为4，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作弧BD，再以A为圆心、AC的长为半径作弧CE，且A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是6π﹣8．【分析】依据题意和正方形的性质，可以得到AB和BC的长，然后利用勾股定理可以得到AC的长，再依据图形，可知阴影部分的面积是扇形ACE的面积减△ACD的面积与以AB为半径，圆心角为45°的扇形的面积之和．解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝4，∠EAC＝∠CAB＝45°，∴图中阴影部分的面积是：+[]＝6π﹣8，故答案为：6π﹣8．17．小明和小亮分别从同始终线跑道A、B两端同时相向匀速动身，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便马上提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后马上以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，马上按原速返回（忽视小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮动身时间x（秒）之间的关系如图所示，则其次次相遇时小明与B端的距离为480米．【分析】依据第一次相遇用60秒和第一次相遇后两人速度相同，列出方程组即可求解．解：设起先小明和小亮的速度分别为：a、b，则小明加速后的速度为1.5a，两人第一次相遇的时间为60秒，故60（a+b）＝600①；在100秒到400秒时，小明和小亮的速度分别为：1.5a，b，此时两人的距离保持不变，说明此时的两人的速度相同，即1.5a＝b②，联立①②并解得：，即起先小明和小亮的速度分别为4和6；第一次相遇时，小亮走的距离为6×60＝360，从第一次相遇到其次次相遇的时间为：200﹣60＝140，小明走的距离为140×（1.5×4）＝840，故其次次相遇时小明与B端的距离为840﹣360＝480（米）；故答案为480．18．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王安排购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是安排的倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原安排少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液8箱．【分析】设小王安排购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则安排购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液x箱，B型洗手液（35﹣12﹣x）箱，依据实际比原安排少支付1240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可得出x，y的值，再由y≤x，y≥（50﹣x﹣y）可确定x，y的值，将其代入（35﹣12﹣x）中即可求出结论．解：设小王安排购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则安排购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液x箱，B型洗手液（35﹣12﹣x）箱，依题意，得：60x+80y+100（50﹣x﹣y）﹣[60•x+80（35﹣12﹣x）+100×12]＝1240，整理，得：7x+6y＝216，∴y＝36﹣x．∵x，y均为正整数，∴x为6的倍数，∴，，，，．又∵y≤x，y≥（50﹣x﹣y），∴，∴35﹣12﹣x＝8．故答案为：8．三、解答题：（本大共8个小题，19题8分，20-26每题10分共78分）解答时每小题都必需写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）（x﹣3y）2﹣x（x﹣2y）（2）÷（m﹣2﹣）【分析】（1）依据完全平方公式、多项式乘多项式的法则计算；（2）依据分式的混合运算的运算法则计算．解：（1）原式＝x2﹣6xy+9y2﹣x2+2xy＝﹣4xy+9y2；（2）原式＝÷＝×＝﹣×＝﹣．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；（2）求证：AD∥EG．【分析】（1）依据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再依据外角的性质即可求出∠AEF的度数；（2）依据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF＝∠BAD，进而可证明AD∥EG．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝×80°＝40°，∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠E+∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD＝40°；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝BAC，∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠E+∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG．21．2024年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．为了早日取得抗疫的成功，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫学问的宣扬．某校为了了解初一年级共480名同学对防疫学问的驾驭状况，对他们进行了防疫学问测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成果（满分100分）进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15名学生测试成果分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95；100．乙班15名学生测试成果中90≤x＜95的成果如下：91，92，94，90，93【整理数据】：班级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x＜100甲11346乙12354【分析数据】：班级平均数众数中位数方差甲92a9347.3乙9087b50.2【应用数据】：（1）依据以上信息，可以求出：a＝100分，b＝91分；（2）若规定测试成果92分及其以上为优秀，请估计参与防疫学问测试的480名学生中成果为优秀的学生共有多少人；（3）依据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成果较好？请说明理由（一条理由即可）．【分析】由收集的数据即可得；（1）依据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．解：（1）在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100，这组数据中，100出现的次数最多，故a＝100分；乙班15名学生测试成果中，中位数是第8个数，即出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91分；故答案为：100，91；（2）480×＝256（人），即480名学生中成果为优秀的学生共有256人；（3）乙班的学生驾驭防疫测试的整体水平较好，∵甲班的方差＜乙班的方差，∴甲班的学生驾驭垃圾分类相关学问的整体水平较好．22．在函数的学习中，我们经验了“确定函数表法式﹣画函数图象﹣利用函数图象探讨函数性质﹣利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们经常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．小明依据学到的函数学问探究函数y1＝的图象与性质并利用图象解决问题．小明列出了如表y1与x的几组对应的值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y1…42m242n…（1）依据表格中x、y1的对应关系可得m＝0，n＝1；（2）在平面直角坐标系中，描出表格中各点，两出该函数图象；依据函数图象，写出该函数的一条性质当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．或当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．或当x＞0时，y随x的增加而减小．．（3）当函数y1的图象与直线y2＝mx+1有三个交点时，干脆写出m的取值范围．【分析】（1）依据表格信息，利用待定系数法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可．（3）推断出直线与双曲线有交点的m的取值范围，再求出直线经过（﹣2，0）时m的值即可推断．解：（1）∵y1＝，∴x＝﹣2时，m＝|2×（﹣2）+4|＝0．∵x＝0时，y1＝4，∴b＝4，∴x＝3时，n＝1，故答案为：0，1．（2）函数图象如图所示（图中实线）．性质：①当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．②当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．③当x＞0时，y随x的增加而减小．故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．或当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．或当x＞0时，y随x的增加而减小．（3）由，消去y得到：mx2+2mx﹣3＝0，当△≥0时，4m2+12m≥0，解得m≤﹣3或m≥0，当直线y＝mx+1经过（﹣2，0）时，m＝，视察图象可知，函数y1的图象与直线y2＝m+1有三个交点时，m的取值范围0≤m≤．23．材料：对随意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．【分析】（1）依据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．（2）先设未知数表示出M，然后依据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．解：（1）∵415是“5阶k级数”，所以为整数，∵k＜300，∴k的最大值为205．（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，∴与均为整数，∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，∴y＝6或1，当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，＝＝77x+24﹣，∴x＝8，∴M＝8311．当y＝6时，M﹣4＝1000x+812＝＝77x+63﹣，∴x＝6，∴M＝6816．综上所述，满意要求的M为8311或6816．24．5G网络，是最新一代蜂窝移动通信技术，其数据传输速率远高于以前的蜂窝网络，最高可达10Gbit/s，比4G快100倍．5G手机也成为生活、工作不行缺少的移动设备，某电商公司销售两种5G手机，已知售出5部A型手机，3部B型手机的销售额为51000元；售出3部A型手机，2部B型手机的销售额为31500元．（1）求A型手机和B型手机的售价分别是多少元；（2）该电商公司在3月实行“满减促销”活动，活动方案为：单部手机满3000元减500元，满5000元减1500元（每部手机只能参与最高满减活动），结果3月A型手机的销量是B型手机的，4月该电商公司加大促销活动力度，每部A型手机依据3月满减后的售价再降a%，销量比3月增加2a%；每部B型手机依据满减后的售价再降a%，销量比3月销量增加a%，结果4月的销售总额比3月的销售总额多a%，求a的值．【分析】（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．依据题意列方程组即可得到结论；（2）设3月B型手机的销量是m部，则A型手机的销量是m部，依据题意列方程即可得到结论．解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．由题意，得，解得：，答：A型手机和B型手机的售价分别是7500元和4500元；（2）设3月B型手机的销量是m部，则A型手机的销量是m部，依据题意得，[（7500﹣1500）×（1﹣a%）][m（1+2a%）]+[（4500﹣500）×（1﹣a%）][m•（1+a%）]＝[m（7500﹣1500）+m（4500﹣500）]（1+a%），解得：a＝30或a＝0（不合题意舍去），答：a的值为30．25．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．【分析】（1）留意到∠CBA＝120°，于是作AM⊥CB于M，先求出CM与AM的长度，再由勾股定理算出AC长度．（2）由已知条件可以干脆推断出△DEH≌△BAF，然后可推出CD＝DE，于是连接CE，作EN⊥AC于N，连接DN，可以证明△DGN是等腰直角三角形以及△CDG≌△EDN，留意到∠EGD＝75°，从而∠EGN＝30°，所证结论就自然成立了．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC