数学基础精讲笔记

数学基础精讲笔记基础串讲，从初中到大学的知识全覆盖。要考试了，恶补中，图片将就看吧，以后有空再把部分图片转换成Latex公式🙄🙄🙄🙄〇、总结配方需要熟练掌握！分母有理化！不讲定义，不讲证明，只讲怎么快速的解题办法！一、一次函数：连续性可导性增减性奇偶性二、二次函数顶点的推导：连续性可导性增减性奇偶性求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。顶点式:，顶点，对称轴为。两点式（交点式）：【注意：未必所有的二次函数都可以化为两点式】，，通过两点式对称轴可以直接求出来，1.二次函数与直线的交点解：【这个不是很懂】解：抛物线若b^2-4ac>0与x轴有2个交点若b^2-4ac=0与x轴有1个交点若b^2-4ac<0与x轴无交点2.二次函数的平移略3.二次函数加绝对值4.二次函数的旋转和对称三、绝对值函数定义，可导性在处不可导，在可导。增减性连续性连续的，R.画图像：1）利用原始定义；2）直接用绝对值图像的特点（x轴下方的翻转上去）。画出以下绝对值函数的图像：提示：这是一个偶函数，由得出，先画开始画。四、反比例函数定义：双曲线函数如：【双曲线】知识点：定义域：x不等于0值域：y不等于0连续性：除了x=0以外，其他的点都是连续的。可导性：除了x=0，可导单调性：x<0，减函数；x>0减函数；水平渐近线：y=0垂直渐近线：x=0奇偶性：反比例函数都是奇函数反函数：反比例函数的反函数是他本身。看以下函数图像：【分子变大，曲线越向外。分母越大曲线越内凹】技巧：长方形的面积，有注意这几个函数的图像：五、数轴和直角坐标系1.数轴略2.直角坐标系原点、横轴和纵轴不属于任何一个象限；两条特殊的直线：对称（a，b）关于原点对称：（-a，-b）（a，b）关于y=x的对称点：（b，a）【坐标值对换】（a，b）对于y=-x的对称点：（-b，-a）2.1两点间的距离公式2.2中点公式六、一元一次方程方程：ax=b，1）a不等于0，唯一解；2）a=0，b=0，无穷解；3）a等于0，b不等于0，无解。七、一元二次方程需要知道的：直接开平方配方法因式分解法十字相乘法公式法【主要讲这个】公式法推导：做题时先考虑十字相乘，再考虑因式分解，再考虑配方，再公式法。带分数时，尽量去掉分数。八、二元一次方程组与三元一次方程组比较复杂的解方程组的一般在线性代数，这里的都比较简单二元一次方程组解的情况：1.唯一解。2.无穷多解。3.无解.求方程解方法:1.代入法。2.加减消元法。例子：加减消元法：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组一样；九、因式分解怎么达到熟练运用因式分解，大量练习，并牢记『恒等式』。点击恒等式-wiki了解所有恒等式。「9-1」部分恒等式乘法公式类恒等式分配律完全平方和平方差平方平方差平方和差立方立方差立方和函数类恒等式对数恒等式点击查看指数恒等式点击查看三角恒等式双曲线函数恒等式立方差/和公式：二项式展开：【通过杨辉三角】二项式N次方的展开可以看看Math-fun网站的解释，也很好十字相乘法：011:-18:06十字相乘一般不用分数，凑出来是整数采用；用途：求解一元二次方程，求函数与x轴和y轴的交点，求导数等于0等等。注意：如果对因式分解不熟悉可以反复看011后半部分的视频，有很多例子。解这个题：【011-42:51】十、极坐标（用于《高等数学》的定积分）极坐标与直角坐标间的转换。以下都是极坐标表示的示例：012-17:14开始还有线段和环，忘记了看视频。十一、配方法有理式拆分注意有理式拆分和裂项相消的区别！十二、三角函数一般的我们常见的三角函数是，正弦sin、余弦cos、正割tan。「12-1」三角函数的倒数「12-2」反三角函数：十三、极限与连续无穷大表示不存在极限；趋于零表示趋于无穷小；如果是同次的，极限就是系数比；注意：通次的意思就是最高次指数的值。高次低次，看谁跑的快；高次跑的快。极限不存在的函数：这个可以看看也可以注意下tanxcotx的图像：以上tanx和cotx的图像都是极限不存在的。正无穷表示极限不存在：等价无穷小替换：x->0,sinx~x;下图是等价无穷小的总结：「13-1」两个重要极限：两个重要极限视频讲解地址其一：做题时抓住倒数关系；其二：，变形：，当x趋近于无穷，趋近于0.十四、导数与微分了解导数与极限的关系「14-1」概念理解与区分现在我们学习数学的逻辑，是按照『先极限、再通过极限定义导数、再通过导数定义微分』的顺序来解的，导数也是通过极限推出来的。但是在历史发展中，却是先有微分（即先定义出），然后再根据需要（为了解决切线问题）定义出导数的。『微分是说一个函数在自变量做无穷小变化时函数值的变化。』『导数是曲线在那个点的切线斜率，而微分是那个切线的一元线性方程。』求导，表示函数在某一点切线L2的斜率。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量Δy，一般表示为dy。「14-2」常见函数的求导公式三角函数求导公式指数求导公式对数求导公式这里的底数的次数提到前面，不是直接提，是次数的倒数。可以自己使用换底公式推导下。反三角函数求导公式求导方法：总结「14-3」复合函数求导洋葱法则复合函数求导，洋葱法则：就像剥洋葱一层一层从外往里剥。洋葱法则求导洋葱法则求导，例题：幂指函数求导幂指函数求导，两边同时取,是常用解法。幂指函数的另一种求导幂指函数的另一种求导方法：幂指函数求导的变种：例题（也是一种幂指函数求导）：对数求导「14-4」隐函数求导结果可以含有函数y「14-5」微分,求微分就是他的导数乘以dx。十五、不定积分换元方法：第一换元法【凑微分法】第二换元法【使用三角代换的原理】（本教程不讲这个）分部积分法第一类就是寻常的换元，和高中过来的换元一样，第二类则是用一个函数表示这个x，在这个过程中可能会有定义域或值域的变化，所以要多考虑一步它是否也能有原函数。第二类换元法一般需要三角代换进行处理，去掉根号。注意这个特例：(有绝对值符号)推到过程：「15-1」凑微分法【第一换元法】这个很重要，便于换算：下面这个例题便于理解『从d外向里拿』,例题：其中，此题算是在考查凑微分法的同时也考查了对求导公式的熟练程度！例题：「15-2」分部积分法主要原理是把一个积分转变成另一个较为容易的积分。推导公式不好懂，可以自行百度了解。宋浩老师总结的公式：例题：例题『很重要的一种推导过程』：P026-00:48:53多个函数相加求不定积分，直接分开积分也可以：「15-3」有理函数积分简单理解：两个多项式相除的形式就是有理函数。例题：例题【标准的有理函数积分的题型】：例题：例题：十六、定积分定积分：先求不定积分，积出来，把上下限都代入相减。「16-1」定积分的性质定积分的性质：性质6：交换定积分的上下限，积分值变号性质4的另一种表示：,其中k为一个常数。性质4例题：「16-2」变上限积分函数变上限积分函数即上限是一个函数，如下：【P27-00:40:44】例题：求面积例题：变上限积分函数求导（很简单）：就是把上限代入，再求导！例题：（变上限积分函数求导）例题：（有上限和下限的求导）把上限代入求导减去下限代入求导即可；「16-3」利用被积函数奇、偶性求解注意利用求定积分中被积函数是奇函数和偶函数情况下积分区间关于原点对称的求法；偶函数：奇函数：（这个性质很重要）注意利用这种特殊情况去求解；例题1：例题2：提示：例2中的是奇函数，是偶函数，又因为积分区间关于原点对称，所以可以快速求解。十七、多元函数偏导数与全微分求x的偏导，把y视为常数；求y的偏导，把x视为常数；多元函数求偏导也是如此；例题：（三元函数求偏导）错误：先代入值，再求导，相当于对常数求导为0；这里回顾下常用的求导公式：「17-1」二阶偏导数二阶偏导数就是在一阶偏导数的基础上再求一次偏导数。例题：「17-2」二阶混合偏导数先对x求偏导再对y求偏导数。「17-3」全微分先分别求x和y的一阶偏导数，再代入以下公式：(考试时写下公式也会给分)（注意全微分是：）例题：「17-4」二元复合函数求导法则例题：求关于x，y的偏导数？求x的偏导数求y的偏导数『链式法则』（考试的时候写出公式也会给分！）例题：求使用求导公式2求：以上的例题使用「求导公式1也可以求出来」。「17-5」何时求偏导，何时求导？在求导时候，需要根据自变量的数量，确定是求偏导还是求导！例题：其求导公式为：解：十八、二重积分（直角坐标系）「18-1」累次积分累次积分即二次积分，区别于二重积分。例题，先求右边得到的表达式代入左边：（必须先算后面的即最右边的）例题，上下限无变量：例题：「18-2」积分区域转化成上下限（x型）例题：例题：「18-3」积分区域转化成上下限（y型）例题：注意这里的变化，函数y=x，在确定上下限的时