统考版高考数学一轮复习第九章9.1直线的倾斜角与斜率直线的方程课时作业理含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业47直线的倾斜角与斜率、直线的方程〖基础达标〗一、选择题1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)2．〖2021·秦皇岛模拟〗倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.eq\r(3)x－y＋1＝0B.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0D.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝03．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则y等于()A．－1B．－3C．0D．24．〖2021·河南安阳模拟〗若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．1±eq\r(2)或0B.eq\f(2－\r(5),2)或0C.eq\f(2±\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),2)或05．〖2021·湖南衡阳八中月考〗已知直线l的倾斜角为θ且过点(eq\r(3)，1)，其中sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，则直线l的方程为()A.eq\r(3)x－y－2＝0B.eq\r(3)x＋y－4＝0C．x－eq\r(3)y＝0D.eq\r(3)x＋3y－6＝06．〖2021·安徽四校联考〗直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是()A．3x＋y－6＝0B．3x－y＝0C．x＋3y－10＝0D．x－3y＋8＝07．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<08．直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角的2倍，则()A．A＝eq\r(3)，B＝1B．A＝－eq\r(3)，B＝－1C．A＝eq\r(3)，B＝－1D．A＝－eq\r(3)，B＝19．直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))10．经过点(0，－1)且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线方程为()A．2x＋3y＋3＝0B．2x＋3y－3＝0C．2x＋3y＋2＝0D．3x－2y－2＝0二、填空题11．若三点A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则实数m＝________.12．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．13．〖2021·贵州遵义四中月考〗过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．14．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．〖能力挑战〗15．〖2021·湖北孝感调研〗已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B.k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4)C．－4≤k≤eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)≤k≤416．〖2021·山西大同重点中学模拟〗数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(4,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为()A．x－2y＋3＝0B．2x＋y－3＝0C．x－2y－3＝0D．2x－y－3＝017．〖2021·百所名校单元示范卷〗直线l经过A(2,1)，B(1，m2)，m∈R两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围为________．课时作业471．〖解析〗设直线l的斜率为k，则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).故选A.〖答案〗A2．〖解析〗由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.故选D.〖答案〗D3．〖解析〗由k＝eq\f(－3－2y－1,2－4)＝taneq\f(3π,4)＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.故选B.〖答案〗B4．〖解析〗∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3＋a,3－1)，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).故选A.〖答案〗A5．〖解析〗∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(2π,3)，则tanθ＝－eq\r(3)，直线的方程为y－1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－4＝0，故选B.〖答案〗B6．〖解析〗解法一设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y－3＝k(x－1)．x＝0时，y＝3－k；y＝0时，x＝1－eq\f(3,k).所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×(3－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,k)))＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故选A.解法二依题意，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则可得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0，故选A.〖答案〗A7．〖解析〗因为y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.故选B.〖答案〗B8．〖解析〗将直线Ax＋By－1＝0化成斜截式y＝－eq\f(A,B)x＋eq\f(1,B).∵eq\f(1,B)＝－1，∴B＝－1，故排除A，D.又直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角α＝eq\f(π,3)，∴直线Ax＋By－1＝0的倾斜角为2α＝eq\f(2π,3)，∴斜率－eq\f(A,B)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，∴A＝－eq\r(3)，故选B.〖答案〗B9．〖解析〗直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈〖1，eq\r(3)〗．设直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，tanθ∈〖1，eq\r(3)〗．所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).故选B.〖答案〗B10．〖解析〗∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－eq\f(2,3)，与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－eq\f(2,3)，∴经过点(0，－1)且斜率为－eq\f(2,3)的直线，其斜截式方程为y＝－eq\f(2,3)x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A.〖答案〗A11．〖解析〗由题意得kAB＝eq\f(2－3,3－2)＝－1，kAC＝eq\f(m－3,\f(1,2)－2).∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴eq\f(m－3,\f(1,2)－2)＝－1，解得m＝eq\f(9,2).〖答案〗eq\f(9,2)12．〖解析〗如图，因为kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，所以k∈(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)．〖答案〗(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)13．〖解析〗当直线过原点时，直线斜率为eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，故直线方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，把(2,3)代入可得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.〖答案〗3x－2y＝0或x－y＋1＝014．〖解析〗设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1①又因为直线与坐标轴围成的面积为1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1②由①②得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1,ab＝－2))由(1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))，方程组(2)无解，故所求的直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.〖答案〗x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝015．〖解析〗直线l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化为k(1－x)＋y－1＝0，∴直线l过定点P(1,1)，且与线段AB相交，如图所示．直线PA的斜率kPA＝eq\f(－3－1,2－1)＝－4，直线PB的斜率kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，则k≤－4或k≥eq\f(3,4).故选A.〖答案〗A16．〖解析〗∵线段AB的中点为M(2,1)，kAB＝－eq\f(1,2)，∴线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，∵AC＝BC，∴△ABC的外心，重心，垂心都位于线段AB的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为2x－y－3＝0，故选D.〖答案〗D17．〖解析〗直线l的斜率存在且kl＝eq\f(m2－1,1－2)＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，即tanα<0或0≤tanα≤1，根据正切函数在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的图象，可得eq\f(π,2)<α<π或0≤α≤eq\f(π,4)，即倾斜角α的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).〖答案〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))课时作业47直线的倾斜角与斜率、直线的方程〖基础达标〗一、选择题1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)2．〖2021·秦皇岛模拟〗倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.eq\r(3)x－y＋1＝0B.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0D.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝03．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则y等于()A．－1B．－3C．0D．24．〖2021·河南安阳模拟〗若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．1±eq\r(2)或0B.eq\f(2－\r(5),2)或0C.eq\f(2±\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),2)或05．〖2021·湖南衡阳八中月考〗已知直线l的倾斜角为θ且过点(eq\r(3)，1)，其中sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，则直线l的方程为()A.eq\r(3)x－y－2＝0B.eq\r(3)x＋y－4＝0C．x－eq\r(3)y＝0D.eq\r(3)x＋3y－6＝06．〖2021·安徽四校联考〗直线l经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l的方程是()A．3x＋y－6＝0B．3x－y＝0C．x＋3y－10＝0D．x－3y＋8＝07．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<08．直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角的2倍，则()A．A＝eq\r(3)，B＝1B．A＝－eq\r(3)，B＝－1C．A＝eq\r(3)，B＝－1D．A＝－eq\r(3)，B＝19．直线2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))10．经过点(0，－1)且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线方程为()A．2x＋3y＋3＝0B．2x＋3y－3＝0C．2x＋3y＋2＝0D．3x－2y－2＝0二、填空题11．若三点A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))共线，则实数m＝________.12．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．13．〖2021·贵州遵义四中月考〗过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．14．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．〖能力挑战〗15．〖2021·湖北孝感调研〗已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B.k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4)C．－4≤k≤eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)≤k≤416．〖2021·山西大同重点中学模拟〗数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(4,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为()A．x－2y＋3＝0B．2x＋y－3＝0C．x－2y－3＝0D．2x－y－3＝017．〖2021·百所名校单元示范卷〗直线l经过A(2,1)，B(1，m2)，m∈R两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围为________．课时作业471．〖解析〗设直线l的斜率为k，则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).故选A.〖答案〗A2．〖解析〗由于倾斜角为120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.故选D.〖答案〗D3．〖解析〗由k＝eq\f(－3－2y－1,2－4)＝taneq\f(3π,4)＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.故选B.〖答案〗B4．〖解析〗∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3＋a,3－1)，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).故选A.〖答案〗A5．〖解析〗∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(2π,3)，则tanθ＝－eq\r(3)，直线的方程为y－1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－4＝0，故选B.〖答案〗B6．〖解析〗解法一设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y－3＝k(x－1)．x＝0时，y＝3－k；y＝0时，x＝1－eq\f(3,k).所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×(3－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,k)))＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故选A.解法二依题意，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则可得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0，故选A.〖答案〗A7．〖解析〗因为y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.故选B.〖答案〗B8．〖解析〗将直线Ax＋By－1＝0化成斜截式y＝－eq\f(A,B)x＋eq\f(1,B).∵eq\f(1,B)＝－1，∴B＝－1，故排除A，D.又直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角α＝eq\f(π,3)，∴直线Ax＋By－1＝0的倾斜角为2α＝eq\f(2π,3)，∴斜率－eq\f(A,B)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，∴A＝－eq\r(3)，故选B.〖答案〗B9．〖解析〗直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈〖1，eq\r(3)〗．设直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，tanθ∈〖1，eq\r(3)〗．所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).故选B.〖答案〗B10．〖解析〗∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－eq\f(2,3)，与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－eq\f(2,3)，∴经过点(0，－1)且斜率为－eq\f(2,3)的直线，其斜截式方程为y＝－eq\f(2,3)x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A.〖答案〗A11．〖解析〗由题意得kAB＝eq\f(2－3,3－2)＝－1，kAC＝eq\f(m－3,\f(1,2)－2).∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴eq\f(m－3,\f(1,2)－2)＝－1，解得m＝eq\f(9,2).〖答案〗eq\f(9,2)12．〖解析〗如图，因为kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，所以k∈(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)．〖答案〗(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)13．〖解析〗当直线过原点时，直线斜率为eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，故直线方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，把(2,3)代入可得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.〖答案〗3x－2y＝0或x－y＋1＝014．〖解析〗设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－eq