重难点专题46两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题型-备战2025年高考《数学》重难点题型突破（新高考）解析版

第第页重难点专题46两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题型汇总题型1两点分布 1题型2超几何分布 6题型3二项分布 15题型4正态分布 25题型5超几何分布与二项分布 37题型6超几何分布与正态分布 47题型7二项分布与正态分布 57题型1两点分布两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是【例题1】（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=13，A．PX=1=EXC．D3X+2=4 【答案】C【分析】根据随机变量X服从两点分布推出PX=1=23，根据公式先计算出【详解】随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，EXDX在A中，P(X=1)=E(X)，故A正确；在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=4，故B正确；在C中，D3X+2在D中，D(X)=2故选：C.【变式1-1】1.（2021·浙江杭州·浙江省杭州第二中学校考模拟预测）有3个人在一楼进入电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为ξ，则Eξ【答案】37【分析】设随机变量ξi=1,电梯在第i+1层停0,电梯在第i+1层不停i=1,2,3,4【详解】由题意知：大楼共5层，设随机变量ξi=1,电梯在第i+1层停∵Pξi=0则ξiξ01P2737∴Eξ∴Eξ故答案为：3716【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.【变式1-1】2.（2018·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量ξi满足Pξi=0=pi，PA．p1<p2，且DξC．p1<p2，且Dξ【答案】B【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由Eξ1<E【详解】由题知变量ξ1，ξ2的分布列均为两点分布．变量ξ1ξ01ξ01Pp1−Pp1−则Eξ1=1−p1，E由Eξ1<Eξ2⇒1−p函数y=x(1−x)在0,12上单调递增，所以故选:B．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差．本题的关键要识别出变量服从两点分布，运用相应数学期望和方差公式计算，其次运用二次函数的性质来比较大小，属于中档题.【变式1-1】3.（2019上·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=1−p，P(ξ=1)=p，其中0<p<1.令随机变量η=|ξ−E(ξ)|，则（

）A．E(η)>E(ξ) B．E(η)<E(ξ)C．D(η)>D(ξ) D．D(η)<D(ξ)【答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出Eξ,Dξ和Eη【详解】随机变量ξ满足P(ξ=0)=1−p,P(ξ=1)=p,其中0<p<1.则随机变量ξ的分布列为:ξ01P1−pp所以Eξ随机变量η=|ξ−E(ξ)|,所以当ξ=0时,η=ξ−Eξ=p,当ξ=1所以随机变量η=|ξ−E(ξ)|的分布列如下表所示(当p=0.5时,η只有一个情况,概率为1):ηp1−pP1−pp则ED=p当Eξ=Eη即p=2pD=p=4p所以C错误,D正确故选:D【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题【变式1-1】4.（2020·安徽·校联考二模）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k个k≤5一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+k次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X．（1）求X的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当p越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当p=0.1时，求使该方案最合理时k的值及1000件该产品的平均检验次数．【答案】（1）见解析，1−1−pk+【解析】（1）由题意可得PX=1k=1−pk，（2）（i）由1记fp=1−1−pk+1k，根据函数的单调性即可证出；ii【详解】（1）PX=1k=1−pkPX=1+kkX11+kP1−p1−E2i由1记fp=1−所以fp在p∈故p越小，fpii记g当gk因为g1=1.1,g2=0.69所以k=4时平均检验次数最少，约为1000×0.594=594【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.题型2超几何分布对超几何分布的理解超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是M，N，n；（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.【例题2】（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（x≥3,x∈N∗）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，x−1张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，(1)若老师选择了第3个盒子，x=7，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望EX(2)若x=5，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．【答案】(1)分布列见解析，E(2)2【分析】（1）利用超几何分布的知识表示出分布列，计算期望即可;（2）当x=5时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件Ak【详解】（1）当x=7时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为0,1,2,3，则PX=0=CPX=2=CX的分布列为X0123P112184数学期望EX（2）当x=5时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件AkPA1=1−4×3×15×4×3=45，故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率P=1【变式2-1】1.（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【答案】(1)分布列见解析，E(X)=21(2)19【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【详解】（1）X∈P(X=0)=C33P(X=10)=C7所以X的分布为X0102030P17217所以E(X)=0×（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.P∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990【变式2-1】2.（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值；（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设X表示被调研的村中GDP低于（i）中贫困村GDP平均值的村的个数，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)（i）非贫困村的GDP的平均值为54万元；贫困村的GDP的平均值为26万元；（ii）8560万元(2)分布列见解析，数学期望为3【分析】（1）（i）由平均数公式求解即可；（ii）由题意直接列式计算即可；（2）首先结合超几何分布的概率公式求概率，进而可得分布列，再由数学期望公式求数学期望即可.【详解】（1）（i）非贫困村的GDP的平均值为9+6+7+9+2+3+4+7+1+2+3+5+30+40×3+50×4+60×412贫困村的GDP的平均值为3+8+5+7+8+1+2+4+10×2+20×3+30×38（ii）∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3，∴该地区贫困村的个数为80，非贫困村的个数为120，∴该地区2018年度的GDP的总值约为26×80+54×120=2080+6480=8560（万元）.（2）由题意及（i）知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个，则X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C54C84=∴X的分布列为X0123P1331EX【变式2-1】3.（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求ξ的分布列和数学期望；【答案】分布列见解析，Eξ【分析】根据题意由表格数据可得使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，利用超几何分布即可求得分布列，得出期望值.【详解】依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，易知ξ=0，1，2，且Pξ=0Pξ=1=C所以ξ的分布列为：ξ012P268019故数学期望E【变式2-1】4.（2023上·全国·高三专题练习）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：用户编号12345678910年用电量/度1000126014001824218024232815332544114600(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．【答案】(1)2822.38(2)分布列见解析【分析】（1）根据阶梯电价的计算标准，分段计算编号为10的用户一年的用电费用，即得答案；（2）确定第二阶梯的户数，设取到第二阶梯的户数为X，确定其可能的取值，根据超几何分布的概率计算，求出每个值相应的概率，即可得分布列.【详解】（1）(因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，第三档电价比第一档电价每度多0.3元，编号为10的用户一年的用电量是4600度，所以该户该年应交电费为4600×0.5653+(4200−2160)×0.05+(4600−4200)×0.3=2822.38(元)．（2）设取到第二阶梯的户数为X，易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.PX=0=C40PX=3=C故X的分布列为X01234P18341【变式2-1】5.（2022上·辽宁铁岭·高三校联考期末）双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，时至今日已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某营销调研机构进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：返还点数t12345销量（百件）/天0.50.611.41.7(1)经分析发现，可用线性回归模型y=bt+0.08拟合当地该商品销量y（百件）与返还点数t之间的相关关系．试预测，若返还6个点时，该商品每天的销量；(2)已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中200名消费者对返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)频数206060302010（ⅰ）求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值的样本平均数及50%（ⅱ）将对返还点数的心理预期值在[1,3)和[11,13)的消费者分别定义为“低欲望型”消费者和“高欲望型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“低欲望型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)返回6个点时该商品每天销量约为2百件(2)（ⅰ）5.7；（ⅱ）分布列见解析，2【分析】（1）根据样本中心点求得b，进而求得预测值.（2）（ⅰ）根据百分位数的求法求得正确答案.（ⅱ）利用超几何分布的分布列计算公式求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）t=1+2+3+4+55代入y=bt+0.08，得1.04=3b+0.08,b=0.32，则y关于t的线性回归方程为y=0.32t+0.08当t=6时，y=2.00（2）（ⅰ）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心里预期值的平均值x的估计值为：x=2×0.1+4×0.3+6×0.3+8×0.15+10×0.1+12×0.05=650%分位数的估计值为5+2×（ⅱ）抽取6名消费者中“低欲望型”消费者人数为6×20“高欲望型”消费者人数为6×10P(X=1)=C41C2故随机变量X的分布列为：X123P131E(X)=3×4题型3二项分布1.独立重复试验的特点①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．2.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))①的取值为0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．注意：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．【例题3】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：g/cm3）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.5(1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）．【答案】(1)1.24(2)分布列见解析；1.36【分析】（1）求出每组的中点值然后即可求解.（2）根据题意从这批种子中选取2粒在自然情况下种植萌发的种子数X符合二项分布X~B2,p【详解】（1）估计种子密度的平均值为0.7×0.5+0.9×0.6+1.1×0.9+1.3×1.4+1.5×1.1+1.7×0.5×0.2=1.24（2）由频率分布直方图知优种占比为1.4+1.1+0.5×0.2=任选一粒种子萌发的概率p=3因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数X符合二项分布X~B2,p所以X可取的值为0，1，2，所以PX=0PX=1PX=2所以X的分布列为：X012P64272289所以期望EX故期望值为1.36.【变式3-1】1.（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.假设拟购进的这批原料的合格率为p0<p<1，并用p(1)若p=23，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.【答案】(1)分布列见解析，E(X)≈19.94(2)方案一的概率为P1=p采取方案二，理由见解析.【分析】（1）随机变量X的值可能取值是15,30，分别求出概率即可求出分布列，进而可求出数学期望；（2）分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得f(p)=−4p5+5【详解】（1）由题意，随机变量X的值可能取值是15,30，X=15对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，X=30对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，所以P(X=30)=C51X的分布列为：X1530P16380所以E(X)=15×163（2）方案一通过检验的概率为P1方案二通过检验的概率为P2P1−P令f(p)=p则f'所以函数f(p)在(0,1)上单调递增，故f(p)<f(1)=0，即P1故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高.【变式3-1】2.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a0<a<10,a∈N∗(1)当a取a0时，事件A发生的概率最大，求a(2)以（1）中确定的a0作为a的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X，求X的数学期望E参考：（1）若PX=k=akk=1,2,3⋯【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根据二项分布的概率公式表示出PA（2）根据题意可知PX=k=ak=【详解】（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1−所以PA因为a10⋅1−a10则PA所以当a0=5时，事件（2）由（1）知，每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12，摸到黑球的概率为1则PX=1=aPX=3=a则PX=kk=1n则12两式相减得，12所以k=1n所以EX【变式3-1】3.（2023·全国·模拟预测）某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p．记中奖2次的概率为f(p)，求f(p)取得最大值时，p的值p0(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为p0【答案】(1)p(2)选择规则二更有利，理由见解析【分析】（1）根据题意列出fp表达式，通过求导分析出单调性，进而求出f(p)取得最大值时，p的值p（2）根据二项分布可求出规则二的获奖期望，对比两个规则获奖高的更有利.【详解】（1）由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率fp则f'当p∈0,23时，f'(p)>0当p∈23,1时，f'(p)<0所以当p=23时，f(p)取得最大值，则（2）①该顾客选择规则一，其获利为30元；②该顾客选择规则二，由第一问知p0则其中奖次数X服从二项分布B3,所以E(X)=3×2所以该顾客获得奖品金额的期望值为2×20=40（元）．因为40>30，所以该顾客选择规则二更有利．【变式3-1】4.（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为12.甲､(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设甲答对的题数为X，乙答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)甲、乙恰好答对2个问题的概率分别为35，(2)选择学生甲，理由见解析【分析】（1）由古典概率求出甲恰好答对2个问题的概率，再由独立事件的乘法公式求出乙恰好答对2个问题的概率；（2）求出X的可能取值及其对应的概率，再由期望、方差公式求出E(X),DX，因为Y~B3，【详解】（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为P1乙恰好答对2个问题的概率为P2（2）X的可能取值为1，2，3，则P(X=1)=C41C2所以E(X)=1×15+2×易知Y~B3所以E(Y)=3×12=因为E(X)>E(Y)且D(X)<D(Y)，甲的平均水平更好，也比乙更稳定.所以选择学生甲.【变式3-1】5.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为45和3(1)求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；(2)设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望EX【答案】(1)13(2)2【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知随机变量X∼B10,【详解】（1）设事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，则PA=4所以1局投篮比赛，甲、乙平局的概率为PAB（2）1局投篮比赛，甲获胜的概率为PA因为进行了10局投篮比赛，各局比赛也互不影响，可知随机变量X∼B10,15【变式3-1】6.（2023·全国·模拟预测）5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：方法1：对10000个芯片逐一进行检测.方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.参考数据：0.9858≈0.8861，0.9859【答案】(1)0.1309(2)方法2较好，理由见解析【分析】（1）由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.（2）对于方法一，其检测次数为10000，对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，分别求出PX=1【详解】（1）因为每个芯片是否为次品相互独立，所以所求概率P=C101（2）方法1的检测次数为10000.方法2：对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，且若一组芯片均为正品，则X=1；若含有次品，则X=11.因此PX=1PX=11所以EX所以1000组芯片的检验次数的均值为1000×2.403=2403.因此方法2较好.题型4正态分布正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N（μ，σ2）则（1）P（X≤μ）=P（X≥μ）=50%；（2）P（|X-μ|≤σ）=P（u-σ≤X≤μ+σ）≈68.3%；（3）P（|X-μ|≤2σ）=P（u-2σ≤X≤μ+2σ）≈95.4%；（4）P（|X-μ|≤3σ）=P（u-3σ≤X≤μ+3σ）≈99.7%.【例题4】（2023上·全国·高三专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）1.0,1.21.2,1.41.4,1.61.6,1.81.8,2.0零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布Nμ,σ2，μ参考数据：0.052≈0.228；若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ≤μ+σ(1)分别求μ，σ2(2)试估计这批零件直径在1.044,1.728的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的个数.【答案】(1)μ=1.5，(2)0.8186(3)1637【分析】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.（3）根据区间1.044,1.728上的概率计算即可.【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：μ=σ2=1100×（2）设ξ表示零件直径，则ξ∼Nμ,σ2Pμ−σ≤ξ≤μ+σ由对称性得，2P1.5≤ξ≤1.728=0.6827同理，Pμ−2σ≤ξ≤μ+2σ2P1.044≤ξ≤1.5=0.9545P1.044≤ξ≤故这批零件直径在1.044,1.728的概率为0.8186.（3）由（2）知，P1.044≤ξ≤所以在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的有2000×0.8186≈1637个.【变式4-1】1.（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ=376,(1)若P(X<a)≥P(X>2a−1)，求a的取值范围；(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若，X~Nμ,σ2，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)a≥251(2)464100【分析】（1）根据正态分布的对称性，分2a−1≥376和2a−1<376两种情况求解可得；（2）根据3σ原则求出PX≥596和P【详解】（1）由正态分布的对称性可知，若P(X<a)≥P(X>2a−1)，当2a−1≥376，即a≥3772时，因为所以有376−a≤2a−1−376，得a≥251；当2a−1<376，即a<3772时，要使则有a−376≥376−2a−1，解得a≥251综上，a的取值范围为251,+∞（2）因为μ=376,σ=110所以PX≥596P=P=0.6827+1所以A级群有1000×0.0228≈23个，B级群有1000×0.8186≈819个，C级群有1000−23−819=158个，所以，公司大约需要准备奖金23×1000+819×500+158×200=464100元.【变式4-1】2.（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）在某市举行的2024届高三第一次市统考中，为调查本次考试数学试卷的有效性，市教研部门从参加本次数学考试且成绩在50分及以上的学生中随机抽取1000名学生的成绩作为样本，并将数据统计如下表所示．成绩X50,7070,9090,110110,130130,150人数Y2022053020030(1)假设样本中的数学考试成绩X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为样本的平均数，σ2为样本的方差，以各组区间的中点值代表该组的取值，求(2)在（1）的条件下，若全市数学考试成绩在84.25∼131.5分的考生人数占80%参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974【答案】(1)μ=100分，σ(2)本次考试试题的有效性符合要求【分析】（1）根据统计图表中的数据，结合平均数、方差的计算方法，直接计算即可求解.（2）由题意X∼N100,15.752【详解】（1）由题意根据统计图表中的数据，可得μ=xσ2（2）由（1）可知X∼N100,所以P(84.25<X<131.5)=因为0.8185>0.8，所以本次考试试题的有效性符合要求.【变式4-1】3.（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：丑橘数量（箱）100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量（个）a18a+8a+2018(1)求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；(2)假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为（1）中的平均数，σ附：若X服从正态分布X∼Nμ,σ2【答案】(1)a=12，平均数为376（箱）(2)373400元.【分析】（1）根据样本总数可得a+18+a+8+a+20+18=100，可求得a=12，利用平均数的定义即可求得平均数为376（箱）.（2）根据购物群的划分等级，利用正态分布的对称性可分别求出各类群的数量，即可求得奖励资金应准备373400元.【详解】（1）由题意得a+18+a+8+a+20+18=100，解得a=12.故平均数为1100（2）由题意，μ=376,σ=110，且266=376−110=μ−σ,596=376+220=μ+2σ，故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=1所以“优质群”约有2000×0.023=46（个），P(266≤X<596)=P(μ−σ<X<μ+2σ)=1所以“一级群”约有2000×0.8185=1637（个），所以需要资金为46×1000+1637×200=373400（元），故至少需要准备373400元.【变式4-1】4.（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布Nμ,σ2，并把质量差在(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差服从正态分布X∼Nμ,σ2参考数据：若随机变量服从正态分布Nμ,σ2,则Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n（n≥2，且n∈N∗）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为fp，求当n为何值时，f【答案】(1)0.8186(2)①p=4nn2+3n+2；②【分析】（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数x，再根据标准差，可得出μ和σ，得出X∼N70,102（2）①由题意，结合组合的定义可知，从n+2件正品中任选两个，有Cn+22种选法，其中等级相同有Cn②根据二项分布的概率求法求出fp=C53p31−p2，化简得出关于p的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当p=【详解】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：x0.020×10×76+862+0.005×10×σ≈s≈10，所以X∼N70,则优等品为质量差在μ−σ,μ+σ内，即60,80，一等品为质量差在μ+σ,μ+2σ内，即80,90，所以正品为质量差在60,80和80,90内，即60,90，所以该企业生产的产品为正品的概率：P=P(60<X<90)=P(60<X<80)+P(80<X<90)=12×(0.6827+（2）①从n+2件正品中任选两个，有Cn+22种选法，其中等级相同有∴某箱产品抽检被记为B的概率为：p=1−C②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)=C所以f'所以当p∈0,35时，f当p∈35,1时，f所以当p=35时，fp此时p=4nn2∴n=3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为216625【变式4-1】5.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）为庆祝中国共产党成立101周年，喜迎党的二十大胜利召开，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，我市面对全体党员，举办了“喜迎二十大，强国复兴有我”党史知识竞赛.比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成.已知进入复赛的党员共有100000人，复赛总分105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分.经过复赛，有2280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖.复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布.现从中随机选出100.名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图，求这100名选手的平均成绩x；(2)若全体复赛选手的平均成绩刚好等于x，标准差为9.5，试确定由复赛进入决赛的分数线是多少?(3)甲在决赛中取得了99分的优异成绩，乙对甲说：“据可靠消息，此次决赛的平均成绩是75分，90分以上才能获得特等奖.”试用统计学的相关知识，分析乙所说消息的真实性.参考数据：Pμ−σ≤ξ≤μ+σ【答案】(1)x(2)进入决赛的分数线为98(3)乙所说的消息是不真实的，理由见详解【分析】（1）先根据概率之和等于1求出a，再根据频率分布直方图求平均数即可；（2）先求出复赛选手进入决赛的概率，再根据3σ原则即可得解；（3）先根据乙所说消息为真，求出决赛中获得特等奖的概率，再根据3σ原则求出甲获得99分的概率，即可得出结论.【详解】（1）由10(0.005+0.03+0.04+a+0.005)=1，得a=0.02，所以x=60×0.05+70×0.3+80×0.4+90×0.2+100×0.05=79（2）由已知，复赛选手进入决赛的概率为2280100000又因为复赛成绩ξ服从N(79,9.52)所以进入决赛的分数线为μ+2σ=79+9.5×2=98；（3）若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为522280≈0.0228由90=μ+2σ=75+2σ得σ=7.5，∴μ+3σ=75+22.5=97.5，而P(ξ≥μ+3σ)=0.0013，所以甲获得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的，根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．【变式4-1】6.（2023上·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布Nμ,σ2，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数x作为μ(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值．

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ【答案】(1)300千米(2)0.8186(3)33万元【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x．（2）由X~N(300，502)．利用正态分布的对称性可得（3）计算车模移到第4格或第5格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求6人获得优惠券总金额的期望值．【详解】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300（2）由X~N300,P(250<X≤400)≈0.9544−0.9544−0.6827（3）硬币出现正、反面的概率都是12第一次掷出正面，车模移动到第1格，其概率为P1移动到第2格有两类情况：掷出2次正面或掷出1次反面，P2同理，P3P4P5设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X万元，X=8或0，∴X的期望EX设这6人获得优惠券总金额为Y万元，优惠券总金额的期望值EY题型5超几何分布与二项分布超几何分布与二项分布的区别∶（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.【例题5】（2023上·北京·高三东直门中学校考阶段练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0,2、2,4、4,6、6,8、8,10、10,12、12,14、14,16、16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在6,8、14,16、16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在14,16内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用Pk表示这8名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在8,12内的概率，其中k=0,1,2,⋅⋅⋅,8.当Pk最大时，请直接写出【答案】(1)a=0.1(2)分布列见解析(3)k=4【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，，能求出a的值，进而估计出概率；（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；（3）求出P(k)的式子进行判断．【详解】（1）由概率和为1得：2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，解得a=0.1；（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在6,8、14,16、16,18三组内的学生人数分别为：500×0.10=50人，500×0.08=40人，500×0.02=10人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则应从阅读时间在6,8中抽取5人，从阅读时间在14,16中抽取4人，从阅读时间在16,18中抽取1人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63P(X=2)=C42∴X的分布列为：X0123P1131数学期望E(X)=1×1（3）k=4，理由如下：由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在(8,12]内的分布列服从二项分布X~B(8,0.50)，P(X=k)=C8k(1【变式5-1】1.（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中25是男性，3(1)当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1；有二项分布中（即男性员工的人数X∼B3,25）男性员工恰有2人的概率记作P2【答案】(1)分布列见解析，数学期望为6(2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即P1【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.【详解】（1）当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人.X服从超几何分布，X=0,1,2,3，PX=0=CPX=2=C∴X的分布列为X0123P11442814数学期望为EX（2）P1P2由于P1−P即1825即N2由题意易知N−1N−2从而720N2化简得N2又N>0，于是N+578由于函数y=x+578x在从而y=N+578N当又142+578142≈146.07<147因此当N≥143时，符合题意，而又考虑到25N和35N都是整数，则即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即P1【变式5-1】2.（2023上·湖南·高三南县第一中学校联考阶段练习）杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：(1)若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为25【答案】(1)分布列见解析，E(ξ)=3(2)23轮.【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列，并求得数学期望；（2）先求得一轮测试该同学“优秀”的概率，然后根据二项分布的知识列不等式，从而求得答案.【详解】（1）参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所，ξ所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=CP(ξ=2)=C所以ξ的分布列为：ξ0123P1551所以E(ξ)=0×1（2）由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为p=C则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，即满足X~B(n,p),p=44由E(X)=np=n×44所以理论上至少要进行23轮测试．【变式5-1】3.（2023上·北京西城·高三北师大二附中校考期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.【答案】(1)甲分布列见解析，E(ξ)=2；乙分布列见解析，E(η)=2；(2)答案不唯一，见解析.【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的取值范围是1,2,3，P(ξ=1)=C41C2所以ξ的分布列为ξ123P131则E(ξ)=1×1设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知η∼B3,所以P(η=0)=C30P(η=2)=C32所以η的分布列为η0123P1248所以E(η)=3×2（2）由（1），知E(ξ)=E(η)=2，D(ξ)=(1−2)D(η)=3×23×1−2所以D(ξ)<D(η)，P(ξ≥2)>P(η≥2)，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.【变式5-1】4.（2023上·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？【答案】(1)分布列见解析，9(2)3次或4次【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.（2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案.【详解】（1）由题知：X可取0，1，2，3，则:PX=0=CPX=2=C故X的分布列为：X0123P1311则X的期望为：EX（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p=若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y∼B5,故P所以Y的分布列为：Y012345P11040808032故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p=若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y∼B故P∴假设当Y=k时，对应概率取值最大，则C解得3≤k≤4，而P故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.【变式5-1】5.（2023上·山西·高三统考阶段练习）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<p<1)，且猜中每道谜语与否互不影响．(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围．【答案】(1)分布列见解析(2)0<p<【分析】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列；（2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解.【详解】（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4．有PX=2=C62故小张猜中谜语道数的分布列为X234P343设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y∼B4,p有PY=0PY=1PY=2PY=3PY=4故小王猜中谜语道数的分布列为Y01234P(1−p)4p64p（2）由（1）可知EX若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0<p<3题型6超几何分布与正态分布【例题6】（2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20~9:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20~8:40记作区间[20,40)，8:40~9:00记作40,60，9:00~9:20记作60,80，9:20~9:40记作80,100，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知m=2n，8:20~9:40时间段内的车辆数的频数如下表：时间段[20,40)40,6060,8080,100频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X，求X的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~Nμ,σ2，其中μ可用（1）中这1000辆车在8:20~9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ参考数据：若T~Nμ,σ2，则①Pμ−σ<T≤μ+σ=0.6827；②【答案】(1)分布列见解析，期望为12(2)655【分析】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.（2）先求得μ,σ【详解】（1）因为100+300+m+n=1000，m=2n，所以m=400，n=200.由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段60,80，80,100这两个区间内的车辆数为(400+200)1000车辆数X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=C60C4P(X=3)=C63所以X的分布列为X01234P14381所以E(X)=0×1（2）这1000辆车在8:20~9:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值μ=30×100σ2所以σ=18.估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数，也就是28<T≤82通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~N64,P28<T≤82=P64−2×18<T≤64+18=Pμ−2σ<T≤μ+σ所以估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数为800×0.8186≈655.【变式6-1】1.（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布Nμ,σ2，其中μ(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k（k=1，2，⋯，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少?附：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<Z<μ+σ≈0.6827，P【答案】(1)至少有1人预赛成绩优良的概率为813；分布列见解析，数学期望为(2)小明有资格参加复赛(3)答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩【分析】（1）根据超几何分布的知识求得正确答案.（2）先求得Z∼N53,362（3）设学生甲复赛成绩为Y，计算EY【详解】（1）预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为：0.0125×20×100=25，预赛成绩在[80,100)范围内的样本量为：0.0075×20×100=15，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则PX≥1又PX=0则X的分布列为：X012P5257故EX（2）μ=xσ2=362，则又Z∼N53,362故PZ≥91故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有120000×0.02275=273人，因为273<300，故小明有资格参加复赛.（3）设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ∼B(n,0.8)，故Y=100−0.2(1+2+3+⋯+n)+2ξ，故E(Y)=100−0.2(1+2+3+⋯+n)+2E(ξ)=−1因为n∈N【变式6-1】2.（2023·西藏日喀则·统考一模）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本的平均数，经计算知σ≈2.39(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)a=0.12(2)估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093(3)这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数，（3）求出超几何分布的分布列，即可求解期望.【详解】（1）由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1，解得a=0.12．（2）由题意知样本的平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84．又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ−σ<ξ≤μ+2σ)=12P(μ−σ<ξ≤μ+σ)+则5000×0.8186=4093，所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．（3）[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，PX=0=C33所以E(X)=0×1则这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为1【变式6-1】3.（2021上·四川成都·高三校联考阶段练习）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(μ,100)，其中μ近似为样本平均数x，求P(64<X≤94)；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)，[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①P(μ−δ<X≤μ+δ)=0.6827；②P(μ−2δ<X≤μ+2δ)=0.9545；③P(μ−3δ<X≤μ+3δ)=0.9973．【答案】(1)74(2)0.8186(3)分布列见解析；期望为6【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；（2）依据P(μ−δ<X≤μ+2δ)=P(64<X≤94)，利用正态分布的对称性计算即可；（3）先由题意得到随机变量ξ的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.【详解】（1）根据频率分布直方图得：x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74（2）由题意知X~N(74,100)，即μ=74,σ=10，所以P(64<X≤94)=P(μ−δ<X≤μ+2δ)=0.6827+0.9545（3）由题意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3，P(ξ=0)=C63P(ξ=2)=C61故ξ的分布列为：ξ0123P1131所以E(ξ)=0×1【变式6-1】4.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如下表：消费金额（千元）2,33,44,55,66,77,8人数406040302010以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布Nμ,σ2，μ,σ2(1)求x和s2(2)试估计这200个家庭消费金额为2.86,7.18的概率（保留一位小数）；(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为2.86,7.18的家庭个数为X，求X的分布列及期望．参考数据：2.06≈1.44若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545【答案】(1)4.3；2.06(2)0.8(3)分布列见解析，16【分析】（1）利用组中值和对应的频率可求x和s2（2）利用正态分布的对称性可求消费金额为2.86,7.18的概率.（3）利用超几何分布可求X的分布列及期望．【详解】（1）由题意得μ=xs+（2）由（1）得σ=所以P(2.86≤ξ≤7.18)=P(4.3−1.44≤ξ≤4.3+2×1.44)=0.6827+=0.9545+0.6827（3）由题意知这10个家庭中消费金额在2.86,7.18范围内的有8个家庭，故X的所有取值为2，3，4，PX=2=C22所以X的分布列为X234P281所以EX题型7二项分布与正态分布【例题7】（2023上·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x和方差s2(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布Nμ,σ2，用直方图的平均数估计值x作为μ的估计值μ，用直方图的标准差估计值s作为σ（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了μ−3σ,μ+3σ之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用μ和σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ⅱ）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的零件个数，求PX≥1及X参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则【答案】(1)1;0.011(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）PX≥1≈0.0267【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得x，继而结合方差的计算公式求得s2（2）（i）根据μ=1，σ=0.011≈0.105，确定μ−3σ，μ+3【详解】（1）由频率分布直方图，得x=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1s2（2）（i）由（1）可知μ=1，σ所以μ−3σ=1−0.315=0.685显然抽查中的零件指标1.33>1.315，故需停止生产并检查设备．（ii）抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之内的概率为0.9973，所以抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的概率为1−0.9973=0.0027，故X∼B10,0.0027，所以PX的数学期望E【变式7-1】1.（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.

(1)将此次竞赛成绩ξ近似看作服从正态分布Nμ,σ2（用样本平均数和标准差S分别作为μ，σ的近似值），已知样本的标准差s≈7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X(2)从得分区间80,90和90,100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间90,100的概率.参考数据：若ξ∼Nμ,σ2，则

Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.68【答案】(1)16人(2)1【分析】（1）根据频率分布直方图求出平均数，即可得到ξ∼N80.5,7.52，再根据正态分布的性质求出P（2）记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间90,100，利用古典概型的概率公式求出PA，P【详解】（1）由题意可知x=65×0.1+75×0.4+85×0.35+95×0.15=80.5∴μ的近似值80.5，又样本的标准差s≈7.5，∴ξ∼N80.5,因为Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.68，即故Pξ>88由题意知：抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，即X∼B100,0.16，故X的数学期望E所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16人；（2）由频率分布直方图可知，分数在80,90和90,100的频率分别为0.35和0.15，按照分层抽样，抽取10份，其中分数在80,90，应抽取10×0.35分数在90,100应抽取10×0.15记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B：取出的试卷有2份来自区间90,100，则PA=C所以PB所以抽测3份试卷有2份来自区间90,100的概率为1【变式7-1】2.（2023·四川宜宾·统考一模）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：成绩（分）30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100.频数6121824181210(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩