自动控制原理-第七章

第七章离散控制系统

一、本章重点

1.z变换的概念、公式、定理及z变换方法；

2.系统的脉冲传递函数、系统输出信号的z变换;3.离散系统稳定性及其稳态误差。二、本章难点

1.复杂系统z变换方法；

2.模拟化设计与离散化设计方法;三、本章考点

1.系统的脉冲传递函数；

2.输出信号的z变换;3.判定离散系统稳定性、求其稳态误差。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正7.1离散系统的基本概念一、离散/采样系统1、线性系统线性连续系统线性离散系统采样/脉冲控制系统（信号为脉冲序列）数字系统/计算机控制系统（信号为数字序列）2、离散系统的特点（P289）

采样系统中一处或多处的信号是脉冲序列或数字序列。因此，离散系统中必须具备的两个特殊环节。采样器（采样开关）：连续信号保持器：脉冲序列采样恢复脉冲序列

连续信号

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正采样器保持器0tu（t）连续信号t0u*（t）脉冲序列信号0tuh（t）阶梯信号当采样频率f足够大时：u*（t）

uh（t）

u（t）

3、计算机控制系统

1）一种典型的计算机控制系统

A/D微机D/A对象测量装置AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2）计算机控制系统中必须具备的两个重要环节A/D转换器（相当于采样器）：采样编码（数字量）D/A转换器（相当于保持器）：解码复现4、研究方法：z

变换方法建立离散系统数学模型。

7.2信号采样与保持一、采样过程及其数学描述1、采样过程：连续信号经过采样器采样后变换成离散信号的过程。采样器是把连续信号变为脉冲序列的装置，也称为采样开关。2、周期为T的理想单位脉冲序列δT（t）定义为：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正而连续信号e（t）经过采样器出来的离散信号可以描述为：

习惯上认为e(t)只有在开始采样以后才有意义，因此，t<0时的信号为零，即：故经过采样器出来的离散信号为：

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正3、采样信号的拉变换根据拉氏变换的定义：故AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正4、采样信号的频谱分析设连续信号的傅氏变换为，则采样信号的傅氏变换为：图(a)连续信号频谱由于连续信号的频谱是单一的连续频谱，其最大角频率为，如图（a）所示。而采样信号的频谱则是以采样角频率为周期的无穷多个频谱之和，当>2时,则采样频谱如图（b）所示。

图(b)采样信号频谱>2

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正当<2时,则采样频谱如下图（c）所示。此时,采样频谱中的补充分量相互交叠在一起,采样器的输出信号将发生畸变,无法再恢复到原来的连续信号的频谱。图(c)采样信号频谱<2由此可见，要想使连续信号不失真地从采样信号中恢复过来，则必须满足条件：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正Shannon定理：如果采样器的输入信号e（t）的频谱具有有限带宽，并且有直到ωh的频率分量，则只要采样周期T满足：即≥2那么，信号e（t）就可以完全不失真地从采样信号e*（t）中恢复过来。采样周期T的选取：根据Shannon定理，T应该越小（ωs

越高），信息丢失的内容就越少，控制效果越好。但是，T太小会增大计算量。所以，在工程设计中时域中，取：T=ts/40，或

T=tr/10；频域中，取：ωs=10ωc，即T=π/5ωc

5、采样定理（Shannon定理）AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正二、信号恢复（保持）1、信号的输出形式直接输出数字信号；输出连续信号（需要保持器将数字信号恢复成连续信号）。a、工作原理（1）、零阶保持器

2、保持器的类型

b、输出表达式：

c、传递函数：

d、频率特性AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正（2）、一阶保持器

a、工作原理

b、输出表达式：（3）、信号保持器的特性a、低通滤波特性；b、相角迟后特性；c、时间迟后特性。

c、传递函数：

d、频率特性AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正7.3z变换理论1、直接定义一、z变换定义对于离散信号序列：

定义它的z变换为：

其中，z为复变量，且上式为无穷级数收敛，即|z-1|<1。信号e*(t)的z变换记为：信号E(z)的z反变换记为：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正例题：求几何序列：的z变换。解：根据z变换的定义，有：

几何意义：几何序列e*(t)在z平面上，圆|z|=|a|以外都是可以做z变换的（在圆|z|=|a|以内则不可以）。z=0为E(z)的零点，z=a为E(z)的极点。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2、从拉氏变换导出定义根据拉氏变换定义，有：

由于：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正则采样信号e*（t）的z变换定义为：二、z变换的方法级数求和法、部分分式法、留数计算法等。1、级数求和法（z变换定义法）例题1、试求取单位阶跃函数1（t）的z变换。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正解：例题2、试求取理想脉冲序列δT（t）的z变换。解：(注意：脉冲序列δ（t）的z变换为1)AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正由上述两个例题可知：相同的z变换是与相同的采样函数相对应的，但不一定与相同的连续函数相对应。例题3、试求衰减指数函数的Z变换。

解：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正例题4、试求取单位斜坡函数t的z变换。解：2、部分分式法（待定系数法）求法：已知e（t），求E（z）；

已知E（s），求E（z）。

如：P298例题7-7等。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正三、Z变换的性质

1、线性定理

若：E1（z）=Z[e1（t）]，E2（z）=Z[e2（t）]，

E（z）=Z[e（t）]，a为常数，则：Z[e1（t）+e2（t）]=E1（z）+E2（z）

Z[ae（t）]=aE（z）2、实数位移定理若：E（z）=Z[e（t）]，则：

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正3、复数位移定理若：E（z）=Z[e（t）]，则：

4、初值定理则：

若：E（z）=Z[e（t）]，且存在，5、终值定理则：若：E（z）=Z[e（t）]，且存在，函数序列e（Kt）（k=0，1，2，…）均为有限值，

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正6、卷积定理四、z反变换（略讲）

则卷积定理描述为：

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正7．4离散系统的数学模型

1、离散系统的数学定义：离散系统是将输入序列r（n）变换为输出序列c（n）的一种变换关系，数学表达为：其中：n=0，±1，±2，±3，…，r（n）和c（n）可以理解为t=nT时系统的输入序列r（nT）和输出序列c（nT），T为采样周期。与连续系统一样，离散系统也有线性和非线性、定常与时变之分。以分析线性定常离散系统为主。

差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达形式。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2、线性常差分方程的建立及其求解3、脉冲传递函数

（1）脉冲传递函数定义

联想传递函数的定义，并设开环离散系统如下图所示，

定义线性定常离散系统的脉冲传递函数为：零初始条件下，系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比：（1）、迭代法；（2）、z变换方法。

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正同样地，线性定常离散系统的采样输出为：

而实际系统的输出往往是连续信号，此时可在输出端虚设一个与输入采样开关同步、周期相同的理想采样开关，如下图所示。

（2）脉冲传递函数意义系统脉冲传递函数G（z）等于系统加权序列K（nT）的Z变换，即：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正（3）脉冲传递函数求取方法

1）已知差分方程，求脉冲传递函数

第一步：令初始条件为零，对方程两边进行z变换，化成代数方程；第二步：根据脉冲传递函数的定义式，求出G（z）。例题1：设离散系统的差分方程为：

试求脉冲传递函数G（z）。解：利用实数位移定理，对方程两边进行z变换，并令：

c（1）=c（0）=0，r（0）=0，则有：即：

例题2：教材P313：例7-16。

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2）已知连续部分的传递函数，求脉冲传递函数

第一步：对连续部分的传递函数G（s）用部分分式法展开；第二步：查拉氏变换与s变换对照表（P298）求出脉冲传递函数。例如教材P313：例7-17。

4、开环系统的脉冲传递函数

（1）采样拉氏变换的重要性质

1）采样函数的拉氏变换具有周期性：

2）若采样函数的拉氏变换E*（s）与连续函数的拉氏变换G（s）相乘以后再离散化，则E*（s）可以从离散符号中提出来：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正（2）串联环节的脉冲传递函数

1）串联环节之间有采样开关的情况，如下图（a）所示：

设两个连续环节G1（s）和G2（s）的脉冲传递函数分别为G1（z）和G2（z），如上图（a）所示，则开环系统的脉冲传递函数为：上述结论可以推广到n个环节之间有采样开关的情况。

G（z）=G1（z）G2（z）AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2）串联环节之间没有采样开关的情况，如下图（b）所示：

由于在设两个连续环节G1（s）和G2（s）之间没有采样开关，则它们串联后的等效传递函数为

G1（s）G2（s）。此时，开环系统的脉冲传递函数为：G（z）=G1G2（z）其中，符号G1G2（z）为G1（s）和G2（s）乘积的z变换。同样地，此结论可以推广到n个环节之间没有采样开关的情形。显然，G1（z）G2（z）≠G1G2（z）AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正例题：设开环系统有两个连续环节，分别在两种串联情况下的脉冲传递函数。解:①串联环节之间有采样开关时，如下图所示：

②串联环节之间没有采样开关时，如下图所示：

显然，AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正3）、零阶保持器与环节串联的情况，如下图所示：

4）、连续信号进入连续环节的情况，如下图所示：

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正（3）并联环节的脉冲传递函数

情形1：总输入端设有采样开关。设两个环节并联的结构图如下图（a）所示，可将它等效为下图（b）所示：（a）（b）AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正因为：所以：情形2：部分输入支路设有采样开关、部分支路输入为连续信号。

如：设两个环节并联的结构图如下图所示：因为：C（z）=C1（z）+C2（z）而C1（z）=G1（z）·R（z）

C2（z）=G2R（z）所以：C（z）=G1（z）·R（z）+G2R（z）AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正5、闭环系统的脉冲传递函数

由于在采样系统中，采样开关设置在系统中的位置可以不同，因此，闭环离散系统没有唯一的典型结构图形式。下面讨论两种有代表性的闭环离散系统的脉冲传递函数。1）给定输入、误差采样时，闭环系统的脉冲传递函数

例题1：某闭环离散系统如图（1）所示。

图（1）解：因为AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正所以：故---输入信号作用下误差脉冲传递函数。

又即---输入信号作用下闭环脉冲传递函数。

AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正例题3：闭环离散系统如下图（2）所示。

同上分析方法，有：

图（2）例题2：教材P318：例题7-20。AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正2）扰动输入、误差采样时，闭环系统的脉冲传递函数设在图（2）所示闭环离散系统中，前向通道G1与G2之间有扰动输入，如图（3）所示。（3）n（t）图（3）闭环采样系统有：AutomaticControlTheory§6.线性离散系统分析与校正例题4求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数φ（z）。

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