一轮复习-三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．OO点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。到的三顶点距离相等。故是解析：由向量模的定义知的外心

，选B。O是的外心若为内一点，则是的（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心B二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．证明垂心定理A′B′C′例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCDEFH又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．证：设BE、CF交于一点H，垂心ABCO证：设例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:求证：化简：同理：从而垂心1.O是的垂心是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.例3．

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的

_______∵∴∴在△ABC的边BC的高AD上.P的轨迹一定通过△ABC的垂心.所以，时，解:解:例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点，若，则点O是ΔABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.D垂心5.(2005湖南)P是△ABC所在平面上一点，若 则P是△ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心D三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理

E

F

D

G3.O是的重心为的重心.是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;例1．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心证明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（证略））思考：若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则O为△ABC的内心、垂心呢？例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．

A

B

C

E

F

D

G证：设∵A,G,D共线，B,G,E共线．∴可设即：AG=2GD

同理可得：AG=2GD,CG=2GF

．重心例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．另证:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．II

E

F

D1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的充要条件是ACBOabc2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心B内心是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心；

3.（2006陕西）已知非零向量与满足

则△ABC为（）

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理.不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择项，故答案必选D.D解法二：由于所在直线穿过△ABC的内心，则由(等腰三角形的三线合一定理)；又，所以,即△ABC为等边三角形，故答案选D.注:

等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、重心、内心、中心”五心合一！

法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如

所在直线一定通过△ABC的内心;

所在直线过BC边的中点，从而一定通过△ABC的重心；

所在直线一定通过△ABC的垂心等.【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式;(2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.4.在△ABC中:

(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积

(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积

解:ABCP思考:

如图，设点O在内部，且有则

的面积与的面积的比为___________．

(2004年全国奥赛题)

3作AC、BC边上的中点E、D，解1:DEABCO作AC边上的中点E，解2:思考:

如