新课标人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程(1-2)课件

4.1.2圆的一般方程（1）

一.复习回顾：圆的标准方程xyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r特况：若圆心为O（0，0），则圆的方程为：标准方程想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？二.引入新课：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考：是不是任何一个形如

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

方程都表示的曲线是圆呢？三.讲授新课：（1）当时，此方程表示圆，（2）当时，此方程表示点（3）当时，此方程不表示任何图形所以形如（D2+E2-4F>0）

可表示圆的方程定义

:圆的一般方程x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）2.圆的一般方程与标准方程的关系：（1）a=-D/2，b=-E/2，r=

（2）标准方程易于看出圆心与半径

一般方程突出了方程形式上的特点

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。注：让学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。三.例题分析思考：什么时候可以表示圆?1、A＝C≠02、B=03、D2＋E2－4AF＞0

二元二次方程表示圆的一般方程结论：例2：求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）

的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：∵

即圆心坐标为（4，-3）,r=5O（0，0），M1

（1，1），M2

（4，2)在圆上小节：1.用待定系数法求圆的方程的步骤：（１）设圆方程-根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。（２）列方程组-根据条件列出关于a，b，r

或D，E，F

的方程。（３）求系数-解方程组，求出a，b，r

或D，E，F

的值，代入方程，就得到要求的方程．（4）小结.2.求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.(特殊情况时,可借助图象求解更简单)四.巩固练习：4-6-3（3）方程x2+2xy+y2+x+y－2=0表示的曲线（）（A）两条相交直线（B）两条平行直线（C）不是圆也不是直线（D）圆B1.任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心为，半径为的圆。五.小结1.任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心为，半径为的圆。2.求圆的方程常用方法及解题步骤：几何方法

求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）

求半径（圆心到圆上一点的距离）

写出圆的标准方程待定系数法列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）练习：P134A3

解法1：（待定系数法）设所求圆的方程为：

依题意，有故所求圆的方程为3.已知圆C的圆心在直线上，并且经过原点和点A（2，1），求圆的标准方程。P134A3圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(2,1)解法2：（几何法）设OA的中垂线的斜率为k由中点公式，OA中点为OA中垂线中垂线方程为联立两条直线方程所求圆的方程为

4.1.2圆的一般方程（2）

—求轨迹方程问题一.求轨迹方程问题：xyaP(x,y)P(x,y)是直线a上任意一点点P的坐标

(x,y)满足的关系式CM(x,y)M(x,y)是圆C上任意一点点M的坐标

(x,y)满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.

例1

已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

yABMxo解决办法：主被动点法

解.设M的坐标为(x,y)

A的坐标为(x0,y0)因为M是AB的中点即又点A在圆上代入得即主动点被动点观看动画设主动点为(x0,y0)被动点为(x,y)所以M的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程整理得轨迹方程主被动点法1.如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为A（12，0），当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？PMAxoyθ练习例2：已知点M与两定点O(0,0)、P(3,0)的距离的比为1/2，求点M的轨迹方程。解决办法：直译法yx

.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)练习1.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程关键:找到几何关系依题意有

几何关系法xyBP(x,y)OAAB中点轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆

解：设点AB中点为P（x，y）练习2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离的1/5，求M的轨迹方程。，（并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0的最小距离）练习3.已知圆的一条直径的两端点分别是关键:找到几何关系解：设点M（x，y）为圆上任意一点

圆的方程即M的轨迹方程几何关系法求证此圆的方程是附加例3已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0

上运动，求|PM|的最大值和最小值.yCPMxoAB1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点

(1)求的最小值

(2)求x2+y2的最大值与最小值4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程。附加练习题