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文档简介
4.1.2圆的一般方程(1)
一.复习回顾:圆的标准方程xyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r特况:若圆心为O(0,0),则圆的方程为:标准方程想一想,若把圆的标准方程展开后,会得出怎样的形式?二.引入新课:结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:x2
+y2+Dx+Ey+F=0思考:是不是任何一个形如
x2
+y2+Dx+Ey+F=0
方程都表示的曲线是圆呢?三.讲授新课:(1)当时,此方程表示圆,(2)当时,此方程表示点(3)当时,此方程不表示任何图形所以形如(D2+E2-4F>0)
可表示圆的方程定义
:圆的一般方程x2
+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)2.圆的一般方程与标准方程的关系:(1)a=-D/2,b=-E/2,r=
(2)标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出了方程形式上的特点
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。注:让学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。三.例题分析思考:什么时候可以表示圆?1、A=C≠02、B=03、D2+E2-4AF>0
二元二次方程表示圆的一般方程结论:例2:求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)
的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。解:设所求的圆的方程为:∵
即圆心坐标为(4,-3),r=5O(0,0),M1
(1,1),M2
(4,2)在圆上小节:1.用待定系数法求圆的方程的步骤:(1)设圆方程-根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。(2)列方程组-根据条件列出关于a,b,r
或D,E,F
的方程。(3)求系数-解方程组,求出a,b,r
或D,E,F
的值,代入方程,就得到要求的方程.(4)小结.2.求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.(特殊情况时,可借助图象求解更简单)四.巩固练习:4-6-3(3)方程x2+2xy+y2+x+y-2=0表示的曲线()(A)两条相交直线(B)两条平行直线(C)不是圆也不是直线(D)圆B1.任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2-4F>0时,方程表示圆心为,半径为的圆。五.小结1.任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2-4F>0时,方程表示圆心为,半径为的圆。2.求圆的方程常用方法及解题步骤:几何方法
求圆心坐标(两条直线的交点)(常用弦的中垂线)
求半径(圆心到圆上一点的距离)
写出圆的标准方程待定系数法列关于a,b,r(或D,E,F)的方程组解出a,b,r(或D,E,F),写出标准方程(或一般方程)练习:P134A3
解法1:(待定系数法)设所求圆的方程为:
依题意,有故所求圆的方程为3.已知圆C的圆心在直线上,并且经过原点和点A(2,1),求圆的标准方程。P134A3圆心:两条直线的交点半径:圆心到圆上一点xyOCA(2,1)解法2:(几何法)设OA的中垂线的斜率为k由中点公式,OA中点为OA中垂线中垂线方程为联立两条直线方程所求圆的方程为
4.1.2圆的一般方程(2)
—求轨迹方程问题一.求轨迹方程问题:xyaP(x,y)P(x,y)是直线a上任意一点点P的坐标
(x,y)满足的关系式CM(x,y)M(x,y)是圆C上任意一点点M的坐标
(x,y)满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x,y所满足的关系.
例1
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
yABMxo解决办法:主被动点法
解.设M的坐标为(x,y)
A的坐标为(x0,y0)因为M是AB的中点即又点A在圆上代入得即主动点被动点观看动画设主动点为(x0,y0)被动点为(x,y)所以M的轨迹是以点为圆心,1为半径的圆x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程整理得轨迹方程主被动点法1.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为A(12,0),当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?PMAxoyθ练习例2:已知点M与两定点O(0,0)、P(3,0)的距离的比为1/2,求点M的轨迹方程。解决办法:直译法yx
.O..(-1,0)A(3,0)M(x,y)练习1.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程关键:找到几何关系依题意有
几何关系法xyBP(x,y)OAAB中点轨迹为以原点为圆心,a为半径的圆
解:设点AB中点为P(x,y)练习2.已知P(2,0),Q(8,0),点M到点P的距离是它到点Q的距离的1/5,求M的轨迹方程。,(并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0的最小距离)练习3.已知圆的一条直径的两端点分别是关键:找到几何关系解:设点M(x,y)为圆上任意一点
圆的方程即M的轨迹方程几何关系法求证此圆的方程是附加例3已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0
上运动,求|PM|的最大值和最小值.yCPMxoAB1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为1的直线使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点,若存在,写出直线方程。附加练习题
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