专转本高数第七章第七节-二重积分

特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、曲顶柱体的体积一、二重积分的概念柱体体积=底面积

╳高第七节二重积分1播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．2步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积分割求和极限32、二重积分的定义4积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素即5在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为63、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.

性质2线性性质

这里A为D的面积.

性质17性质4性质3区域可加性

推论1推论28性质5估值性质证所以于是9性质6(二重积分的中值定理)证由性质5知,

即得证。10abxyo如果积分区域为D：其中函数、在区间上连续.1、在直角坐标系下计算二重积分二、二重积分的计算11应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,12积分区域为：一般地，——先对y积分，后对x积分的二次积分记为abxyo13dxyoc如果积分区域为：——先对x

积分，后对y积分的二次积分14将化为二次积分,其中

D

由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D

向y

轴投影，先x后y,例1xyo15xyo解法2先y后x,

将D

向x

轴投影,16计算其中

D

由直线解

先画出积分区域D，先y后x,将D

向x

轴投影，例2围成。17解例3先求两曲线的交点先对

y

积分，18解例419解例5先x后y,两曲线的交点20解例5两曲线的交点选择积分次序的原则：

若选择先y

后x,(1)积分容易；

(2)尽量少分块或不分块.

麻烦。21解例622解积分区域为将D

向y

轴投影,

改变积分的次序.例723解设则例8交换下面积分的次序:24设将D

向y

轴投影,25例9交换下面积分的次序:26利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y

轴对称，yxox-x(1)若f(x,y)关于

x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D的右半区域。27利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于x轴对称，(1)若f(x,y)关于

y

是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D的上半区域。yxo28例10设有平面区域解oxy29解oxy选(A).30例11求二重积分解oxy区域D分别对称于x轴和y轴，312、在极坐标系下计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：

1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；

2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分较为容易.

直角坐标与极坐标的转换关系为：

32所以面积元素为33二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图34解例12在极坐标系下,xyo35例13解区域D关于y轴对称，用极坐标，xyo36xyo37例14解直接做麻烦,化为极坐标,38例15解所以在极坐标系下,圆方程为直线方程为39解计算二重积分例16由区域的对称性和函数的奇偶性，可只考虑第一象限部分，xyo40解法1例17xyo41所以42xyo解法2例17用直角坐标系，先对

x积分，43所以44例18解45练习：P324习题七46求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．47求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．48求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．49求曲顶柱体的体积采用