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文档简介
素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式(精讲+精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、累加法形如SKIPIF1<0型的递推数列(其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数)可构造:SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相加,可得:SKIPIF1<0=1\*GB3①若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;=3\*GB3③若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次函数,累加后可分组求和;=4\*GB3④若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的分式函数,累加后可裂项求和.二、累乘法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推数列(其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数)可构造:SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相乘,可得:SKIPIF1<0三、构造法1.第一种形式:形如SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0均为常数且SKIPIF1<0)型的递推式(1)若SKIPIF1<0时,数列{SKIPIF1<0}为等差数列;(2)若SKIPIF1<0时,数列{SKIPIF1<0}为等比数列;(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时,数列{SKIPIF1<0}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:设SKIPIF1<0,展开移项整理得SKIPIF1<0,与题设SKIPIF1<0比较系数(待定系数法)得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项,以SKIPIF1<0为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二:由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两式相减并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项,以SKIPIF1<0为公比的等比数列.求出SKIPIF1<0的通项再转化为累加法便可求出SKIPIF1<02.第二种形式:形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推式(1)当SKIPIF1<0为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设SKIPIF1<0,通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值,转化成以SKIPIF1<0为首项,以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0,再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二:当SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0时,由递推式得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两式相减得:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0转化为第一种形式,求出SKIPIF1<0,再用累加法便可求出SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设SKIPIF1<0,通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值,转化成以SKIPIF1<0为首项,以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0,再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二:当SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0时,由递推式得:SKIPIF1<0——①,SKIPIF1<0,两边同时乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0——②,由①②两式相减得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,在转化为第一种形式便可求出SKIPIF1<0法三:递推公式为SKIPIF1<0(其中p,q均为常数)或SKIPIF1<0(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以SKIPIF1<0,得:SKIPIF1<0,引入辅助数列SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0),得:SKIPIF1<0再应用类型第一种形式的方法解决.(3)当SKIPIF1<0为任意数列时,可用通法:在SKIPIF1<0两边同时除以SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,在转化为累加法,求出SKIPIF1<0之后得SKIPIF1<0.二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通项公式.【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0适合上式,所以SKIPIF1<0.【典例2】已知数列{an},a1=1,(n【答案】an=SKIPIF1<0【分析】由题得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,再利用累乘法求解.【详解】∵(n+1)an+1=nan,,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(n≥2).以上各式相乘,得SKIPIF1<0.∵an=SKIPIF1<0(n≥2)又a1=1满足上式,∴an=SKIPIF1<0(n∈N*).【典例3】已知数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,且对任意SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0.求数列SKIPIF1<0的通项公式;【分析】(1)构造等比数列求通项;【详解】(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0是以1为首项,2为公比的等比数列,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【题型训练1-刷真题】一、单选题1.(2022·浙江·统考高考真题)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】先通过递推关系式确定SKIPIF1<0除去SKIPIF1<0,其他项都在SKIPIF1<0范围内,再利用递推公式变形得到SKIPIF1<0,累加可求出SKIPIF1<0,得出SKIPIF1<0,再利用SKIPIF1<0,累加可求出SKIPIF1<0,再次放缩可得出SKIPIF1<0.【详解】∵SKIPIF1<0,易得SKIPIF1<0,依次类推可得SKIPIF1<0由题意,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,SKIPIF1<0,累加可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,SKIPIF1<0,累加可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;综上:SKIPIF1<0.故选:B.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.2.(2021·浙江·统考高考真题)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0,则(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】显然可知,SKIPIF1<0,利用倒数法得到SKIPIF1<0,再放缩可得SKIPIF1<0,由累加法可得SKIPIF1<0,进而由SKIPIF1<0局部放缩可得SKIPIF1<0,然后利用累乘法求得SKIPIF1<0,最后根据裂项相消法即可得到SKIPIF1<0,从而得解.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0根据累加法可得,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,由累乘法可得SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号,由裂项求和法得:所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故选:A.【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到SKIPIF1<0的不等关系,再由累加法可求得SKIPIF1<0,由题目条件可知要证SKIPIF1<0小于某数,从而通过局部放缩得到SKIPIF1<0的不等关系,改变不等式的方向得到SKIPIF1<0,最后由裂项相消法求得SKIPIF1<0.二、解答题3.(2022·全国·统考高考真题)记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和,已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式;(2)证明:SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,利用和与项的关系得到当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,进而得:SKIPIF1<0,利用累乘法求得SKIPIF1<0,检验对于SKIPIF1<0也成立,得到SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0;(2)由(1)的结论,利用裂项求和法得到SKIPIF1<0,进而证得.【详解】(1)∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,整理得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,显然对于SKIPIF1<0也成立,∴SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0【题型训练2-刷模拟】1.累加法一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则数列SKIPIF1<0的通项公式为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0,利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.【详解】解:因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,累加得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.当n=1时也成立故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的通项公式为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时也符合,∴数列的通项公式为SKIPIF1<0.故选C.3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.30 B.31 C.22 D.23【答案】B【分析】根据题意利用累加法求解即可【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选:B4.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的通项为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】先把SKIPIF1<0,利用累加法和裂项相消法可求答案.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0个式子相加可得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0符合题意,所以SKIPIF1<0.故选:D.5.(2023·全国·高三专题练习)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则数列SKIPIF1<0的第100项为(
)A.2 B.3 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接用累加法求解即可.【详解】解:由题意,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以上99个式子累加得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选:B.6.(2023·全国·高三专题练习)已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和,且对任意的正整数n,都满足:SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】运用累加法求得SKIPIF1<0的通项公式,再运用裂项相消法求和即可.【详解】解:当SKIPIF1<0时,由累加法可得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,符合,所以SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:A.7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.6065 B.6064 C.4044 D.4043【答案】B【分析】先由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,再利用裂项抵消法进行求解.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,累加,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,n=1成立则SKIPIF1<0.故选:B.8.(2023·全国·高三专题练习)在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】试题分析:在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选A.9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为(
)A.10.5 B.10.6 C.10.4 D.10.7【答案】A【分析】由所给表达式SKIPIF1<0,结合累加法可求得SKIPIF1<0的通项公式;进而求得SKIPIF1<0的表达式,因为SKIPIF1<0取正整数,利用最低点附近的SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0,所以由递推公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,等式两边分别相加,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0满足上式,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,又因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,故选:SKIPIF1<0.二、填空题10.(2023·全国·高三专题练习)在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,则数列SKIPIF1<0中最大项的数值为.【答案】10【分析】利用累加法,求出SKIPIF1<0是一个二次函数类型的数列,通过二次函数的最值求解即可【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,数列{SKIPIF1<0}中最大项的数值为10.故答案为:10.11.(2023·全国·高三专题练习)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用累加法和等比数列的前SKIPIF1<0项和公式直接求通项即可.【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,也满足上式,所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<012.(2023·全国·高三专题练习)数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,且对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,则数列SKIPIF1<0的前100项的和为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据累加法求出数列SKIPIF1<0的通项公式,然后利用裂项求和进行求解.【详解】由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0……SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为:SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<013.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0的各项均不为零,且满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】变换得到SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,利用累加法计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0也符合该式,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<014.(2023·全国·高三专题练习)数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】100【分析】先裂项,然后由累加法可得.【详解】∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0=9,即SKIPIF1<0=9,解得n=100故答案为:100三、解答题15.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0,公差为2.数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0取得最小值时SKIPIF1<0的值;(2)若SKIPIF1<0,证明:SKIPIF1<0.【答案】(1)2;(2)证明见解析.【分析】(1)利用累加法结合等差数列的求和公式即得;(2)利用裂项求和法结合条件即得.【详解】(1)由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,累加可得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0取最小值时,SKIPIF1<0的值为2.(2)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.16.(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)证明:数列SKIPIF1<0是等比数列;(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,然后利用累加法求出SKIPIF1<0即可得证;(2)SKIPIF1<0,利用分组求和法和错位相减法可得答案.【详解】(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,⋯⋯,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴数列SKIPIF1<0是等比数列;(2)由(1)可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,①∴SKIPIF1<0,②错位相减,②﹣①,得:SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.17.(2023·河南郑州·模拟预测)已知数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)令SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】(1)由SKIPIF1<0,利用累加法求数列通项公式,注意验证SKIPIF1<0;(2)由题设得SKIPIF1<0,讨论SKIPIF1<0的奇偶性分别求出对应前n项和即可.【详解】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0,检验知:当SKIPIF1<0时上式也成立,故SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0为偶数时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0为奇数时,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0时SKIPIF1<0满足上式,此时SKIPIF1<0;SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.18.(2023·全国·高三专题练习)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第SKIPIF1<0个图形包含SKIPIF1<0个小正方形.
(1)求出SKIPIF1<0;(2)归纳出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式,并根据你得到的关系式求SKIPIF1<0的表达式;(3)求证:SKIPIF1<0.【答案】(1)41(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(3)证明见解析【分析】(1)直接根据图形中小正方形排列规律可得;(2)先对已知的前几个图形中小正方形个数作差(后一个减去前一个),从而找出规律,进而归纳出SKIPIF1<0,然后利用累加法求出SKIPIF1<0;(3)根据SKIPIF1<0的特点,利用裂项相消法求和,进而证出不等式.【详解】(1)∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以上各式相加得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0也适合SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.(3)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.19.(2023·内蒙古赤峰·校联考三模)设各项都为正数的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)设函数SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)由递推关系,根据累加法求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)由条件可得SKIPIF1<0,利用错位相减法求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【详解】(1)由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0以上各式分别相加得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,经检验SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,两式相减得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.20.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)在数列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0项之间,都插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0,组成数列SKIPIF1<0,记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由条件证明数列SKIPIF1<0为等比数列,利用累加法求数列SKIPIF1<0的通项公式;(2)数列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0项,由此确定前SKIPIF1<0项的值,再分组,结合等比求和公式可求得答案.【详解】(1)因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以数列SKIPIF1<0为首项为1,公比为SKIPIF1<0的等比数列,所以SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0也满足该关系,所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0;(2)数列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0项,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02.累乘法一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.0 C.1 D.2【答案】A【分析】通过累乘法可求出SKIPIF1<0,再利用递推式求出SKIPIF1<0,进而答案可求.【详解】解:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.n【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0,再利用累乘法计算可得;【详解】由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,SKIPIF1<0,由累乘法可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,符合上式,所以SKIPIF1<0.故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为正整数),则SKIPIF1<0的值为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合递推式特征,利用累乘法算出SKIPIF1<0,进而可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选:A4.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0,后由累乘法可得答案.【详解】注意到SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故选:B5.(2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数SKIPIF1<0为(
)A.20 B.19 C.21 D.22【答案】A【分析】由题意利用累乘法可得SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0即可得解.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,故所求SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为:A.【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.二、填空题6.(2023·全国·高三专题练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据累乘法求出当SKIPIF1<0时的通项公式,并验证SKIPIF1<0也满足,从而得到SKIPIF1<0的通项公式.【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0,所以,对任意的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<07.(2023·全国·高三专题练习)在数列SKIPIF1<0中,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0,利用累乘法即可求得答案.【详解】由题意知SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<08.(2023·全国·高三专题练习)数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则通项SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两式相减,可得出SKIPIF1<0,再由累乘法计算即可得出答案.【详解】由题意得:SKIPIF1<0①,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0②,①SKIPIF1<0②得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,SKIPIF1<0,累乘得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0不满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.三、解答题9.(2023·浙江金华·校考三模)已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0;(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的通项公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)利用等差数列的性质得到SKIPIF1<0,根据等差数列的通项公式求出公差,代入等差数列的前SKIPIF1<0项和公式进而求解;(2)结合(1)的结论得到SKIPIF1<0,进而得到SKIPIF1<0,利用累乘法求出SKIPIF1<0.【详解】(1)等差数列SKIPIF1<0中,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因为等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数.所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.(2)由(1)得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时也符合.所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.10.(2023春·山东临沂·高三校考阶段练习)已知数列SKIPIF1<0的首项为1,前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式;(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,再根据累乘法可求出SKIPIF1<0;(2)根据错位相减法可求出结果.【详解】(1)因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0也符合,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由(1)知,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.11.(2023春·山西吕梁·高二统考阶段练习)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是等比数列,且SKIPIF1<0成等差数列,求SKIPIF1<0的通项公式;(2)若SKIPIF1<0是公差为2的等差数列,证明:SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】(1)设SKIPIF1<0的公比为q,由题意列式求得q,再结合已知可得SKIPIF1<0,即可求得答案;(2)由已知求得SKIPIF1<0的通项公式,可得SKIPIF1<0,利用累乘法求得SKIPIF1<0的表达式,再用裂项求和法证明结论.
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