新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（含解析）

素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、累加法形如SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相加，可得：SKIPIF1<0=1\*GB3①若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的分式函数，累加后可裂项求和．二、累乘法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推数列（其中SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的函数）可构造：SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子两边分别相乘，可得：SKIPIF1<0三、构造法1.第一种形式：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数且SKIPIF1<0）型的递推式（1）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等差数列；（2）若SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为等比数列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设SKIPIF1<0，展开移项整理得SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0比较系数（待定系数法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两式相减并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列．求出SKIPIF1<0的通项再转化为累加法便可求出SKIPIF1<02.第二种形式：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的递推式（1）当SKIPIF1<0为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0转化为第一种形式，求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设SKIPIF1<0，通过待定系数法确定SKIPIF1<0的值，转化成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列SKIPIF1<0，再利用等比数列的通项公式求出SKIPIF1<0的通项整理可得SKIPIF1<0法二：当SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0时，由递推式得：SKIPIF1<0——①，SKIPIF1<0，两边同时乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0——②，由①②两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在转化为第一种形式便可求出SKIPIF1<0法三：递推公式为SKIPIF1<0（其中p，q均为常数）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入辅助数列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0再应用类型第一种形式的方法解决．（3）当SKIPIF1<0为任意数列时，可用通法：在SKIPIF1<0两边同时除以SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在转化为累加法，求出SKIPIF1<0之后得SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通项公式.【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0适合上式，所以SKIPIF1<0.【典例2】已知数列{an}，a1=1，(n【答案】an＝SKIPIF1<0【分析】由题得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，再利用累乘法求解.【详解】∵(n＋1)an+1＝nan，，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0(n≥2)．以上各式相乘，得SKIPIF1<0.∵an＝SKIPIF1<0(n≥2)又a1＝1满足上式，∴an＝SKIPIF1<0(n∈N*)．【典例3】已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式；【分析】(1)构造等比数列求通项；【详解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以1为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型训练1-刷真题】一、单选题1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先通过递推关系式确定SKIPIF1<0除去SKIPIF1<0，其他项都在SKIPIF1<0范围内，再利用递推公式变形得到SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，再次放缩可得出SKIPIF1<0．【详解】∵SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，依次类推可得SKIPIF1<0由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上：SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】显然可知，SKIPIF1<0，利用倒数法得到SKIPIF1<0，再放缩可得SKIPIF1<0，由累加法可得SKIPIF1<0，进而由SKIPIF1<0局部放缩可得SKIPIF1<0，然后利用累乘法求得SKIPIF1<0，最后根据裂项相消法即可得到SKIPIF1<0，从而得解．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0根据累加法可得，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，由裂项求和法得：所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到SKIPIF1<0的不等关系，再由累加法可求得SKIPIF1<0，由题目条件可知要证SKIPIF1<0小于某数，从而通过局部放缩得到SKIPIF1<0的不等关系，改变不等式的方向得到SKIPIF1<0，最后由裂项相消法求得SKIPIF1<0．二、解答题3．（2022·全国·统考高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和与项的关系得到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,进而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，检验对于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到SKIPIF1<0，进而证得.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然对于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0【题型训练2-刷模拟】1.累加法一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0，利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.【详解】解：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当n=1时也成立故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时也符合，∴数列的通项公式为SKIPIF1<0.故选C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．23【答案】B【分析】根据题意利用累加法求解即可【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先把SKIPIF1<0，利用累加法和裂项相消法可求答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0个式子相加可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合题意，所以SKIPIF1<0.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的第100项为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接用累加法求解即可．【详解】解：由题意，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上99个式子累加得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】运用累加法求得SKIPIF1<0的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.【详解】解：当SKIPIF1<0时，由累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．6065 B．6064 C．4044 D．4043【答案】B【分析】先由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再利用裂项抵消法进行求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，n=1成立则SKIPIF1<0.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】试题分析：在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选A.9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7【答案】A【分析】由所给表达式SKIPIF1<0，结合累加法可求得SKIPIF1<0的通项公式；进而求得SKIPIF1<0的表达式，因为SKIPIF1<0取正整数，利用最低点附近的SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值．【详解】因为SKIPIF1<0，所以由递推公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，等式两边分别相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选:SKIPIF1<0.二、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中最大项的数值为．【答案】10【分析】利用累加法，求出SKIPIF1<0是一个二次函数类型的数列，通过二次函数的最值求解即可【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，数列{SKIPIF1<0}中最大项的数值为10.故答案为：10.11．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用累加法和等比数列的前SKIPIF1<0项和公式直接求通项即可.【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，也满足上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<012．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项的和为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据累加法求出数列SKIPIF1<0的通项公式，然后利用裂项求和进行求解.【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的各项均不为零，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】变换得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用累加法计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符合该式，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】100【分析】先裂项，然后由累加法可得.【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0=9，即SKIPIF1<0=9，解得n=100故答案为：100三、解答题15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为2.数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0取得最小值时SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；（2）利用裂项求和法结合条件即得.【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，累加可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为2.（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.16．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后利用累加法求出SKIPIF1<0即可得证；（2）SKIPIF1<0，利用分组求和法和错位相减法可得答案.【详解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，⋯⋯，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①∴SKIPIF1<0，②错位相减，②﹣①，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.17．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0，利用累加法求数列通项公式，注意验证SKIPIF1<0；（2）由题设得SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的奇偶性分别求出对应前n项和即可.【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，检验知：当SKIPIF1<0时上式也成立，故SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时SKIPIF1<0满足上式，此时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.18．（2023·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第SKIPIF1<0个图形包含SKIPIF1<0个小正方形.

(1)求出SKIPIF1<0；(2)归纳出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式，并根据你得到的关系式求SKIPIF1<0的表达式；(3)求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)41(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)证明见解析【分析】（1）直接根据图形中小正方形排列规律可得；（2）先对已知的前几个图形中小正方形个数作差（后一个减去前一个），从而找出规律，进而归纳出SKIPIF1<0，然后利用累加法求出SKIPIF1<0；（3）根据SKIPIF1<0的特点，利用裂项相消法求和，进而证出不等式.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式相加得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也适合SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由条件可得SKIPIF1<0，利用错位相减法求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【详解】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以上各式分别相加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.20．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在数列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0项之间，都插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0，组成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由条件证明数列SKIPIF1<0为等比数列，利用累加法求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）数列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0项，由此确定前SKIPIF1<0项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也满足该关系，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02.累乘法一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】通过累乘法可求出SKIPIF1<0，再利用递推式求出SKIPIF1<0，进而答案可求.【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．n【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，再利用累乘法计算可得；【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数），则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出SKIPIF1<0，进而可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，后由累乘法可得答案.【详解】注意到SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则满足不等式SKIPIF1<0的最大正整数SKIPIF1<0为（

）A．20 B．19 C．21 D．22【答案】A【分析】由题意利用累乘法可得SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0即可得解.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故所求SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：A.【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据累乘法求出当SKIPIF1<0时的通项公式，并验证SKIPIF1<0也满足，从而得到SKIPIF1<0的通项公式.【详解】因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，所以，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0，利用累乘法即可求得答案.【详解】由题意知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<08．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则通项SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两式相减，可得出SKIPIF1<0，再由累乘法计算即可得出答案.【详解】由题意得：SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累乘得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题9．（2023·浙江金华·校考三模）已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用等差数列的性质得到SKIPIF1<0，根据等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的前SKIPIF1<0项和公式进而求解；（2）结合（1）的结论得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，利用累乘法求出SKIPIF1<0.【详解】（1）等差数列SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为等差数列SKIPIF1<0的各项均为正数.所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时也符合.所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.10．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项为1，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再根据累乘法可求出SKIPIF1<0；（2）根据错位相减法可求出结果.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023春·山西吕梁·高二统考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0成等差数列，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0的公比为q，由题意列式求得q，再结合已知可得SKIPIF1<0，即可求得答案；（2）由已知求得SKIPIF1<0的通项公式，可得SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0的表达式，再用裂项求和法证明结论.