新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.7　向量法求空间角（原卷版）

§7.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ＝cos〈u，n〉．()教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()A．30° B．60°C．120° D．150°2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65)D.eq\f(\r(65),4)题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在SKIPIF1<0上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为______．题型二直线与平面所成的角例2在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．题型三平面与平面的夹角例3如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝eq\r(3).(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．跟踪训练3如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱OO′的一条母线，且AP＝AC.(1)证明：AB⊥PD；(2)若∠AOD＝eq\f(π,3)，求平面DPC与平面PCB夹角的正弦值．课时精练1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．2.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．3．如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求平面CBQ与平面ABQ夹角的余弦值．4．如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面AEC与平面AEB夹角的正弦值．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AFC；(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①∠ABC＝eq\f(π,3)；②BD＝eq\r(3)AC；③PC与平面ABCD所成角的大小为eq\f(π,