初二【数学(人教版)】数学活动：探究比例的性质教学设计

课程基本信息

课例编号学科数学年级八年级学期秋季

课题数学活动：探究比例的性质

书名：义务教育教科书数学八年级上册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月

教学人员

姓名单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：能利用特殊值法探究分式的关系，并能用作差法证明猜想

教学重点：利用特殊值法探究分式的关系，并能用作差法证明猜想

教学难点：根据分式的特点选择恰当的证明方法

教学过程

时间教学环节主要师生活动

若二=£(其中4、氏c、d均不为0),下列各组中的两个分式分别有什么关系？

bd

(1)一和一(2)一和一

cdac

(3)----和-----(4)----和-----

bda-bc-d

1.使用特殊值法进行试验

不妨取。=1,b=3,c=2,d=6,然后将这一组数值带入到四组分式中，看看各组分式的

值有什么关系.

，、01b31…ab

(1)—=-=—发现：一二一

c2d62cd

问题引入,、〃3rd6r“、ebd

7min(2)—=—=3,—=—=3发现：一二一

试验猜想a\c2ac

,、a+b1+34c+d2+64八-a+bc+d

(3)——=——=-,----=——=—发现：——=-----

033d63bd

,、a+b1+3-c+d2+6_….a+bc+d

(4)----=----=-2,----=----=-2发现：----二-----

ct—b1-3c-d2—6a—bc-d

通过这一组特殊值发现四组分式都分别相等，但是这些相等关系是否具有偶然性呢？不

妨再取一组值进行实验，看得到的结果是否仍然是相等的。

再取〃=5,b=2,c=15,d=6,然后将这一组数值带入到四组分式中，得到：

..a5121…门a_b

c153d63cd

/h2d62…b_d

a5c155ac

5+27c+d15+67心a+bc+d

(3)------=——=-,-------=-------=-发现：-----=-----

b22d62bd

Q5+27c+d15+67a+bc+d

(4)---------------=------=一，-=------=一发现：-----=-----

a—h5一23c—d15-63a—bc-d

通过第二组取值，发现这四组的结果仍然是相等的.

2.提出猜想：

任何一组不为0的0从c、d,只要满足乌=£,就有

bd

,、abbd

(1)-=—(2)-=—

cdac

/、a+bc+d/ci+bc+d

(3)------=------(4)------=------

bda-bc-d

得出的结论在数学上称之为“猜想”，因为是通过取几组特殊值计算得出的结论，并不

能说明对于任意一组满足q=£的如从c、d,这个结论都一定成立。

bd

3.用代数的方法来尝试证明这些“猜想”。

复习比例的基本性质。

代数上，常用“作差法”来比较代数式的大小：

①若4-8〉0,则A〉8；

②若A—B=0,则A=B；

③若4-B<Q,则A<B.

接下来利用“作差法”来尝试证明这四个“猜想”：

,abad-be

(1)------=----------

cdcd

a_c

厂7，

/.ad=be.

15min证明猜想

abad-he0八

-------=----------=—=0.

cdcdcd

•—a——b

,cd'

这样就证明了第一个结论对于任意一组满足条件的仄C、”都是成立的。

接下来请同学们尝试利用老师刚才讲的方法证明第二个猜想。

bdbe-ad

(2)-------=----------

acac

a_c

1=7，

:,hc=ad.

bdhe-ad0八

-------=----------=—=0.

acacac

bd

二.—=—,

ac

第三个“猜想”：—,从形式上已经比前两个要复杂一些了，但是“作差

hd

法”并没有限制代数式的复杂程度，所以仍然可以使用“作差法”来尝试证明。

⑴c+d_d(a+b)-b(c+d)_ad+bd-bc-bd_ad-be

hdbdbdbd

a_c

厂7

ad—be.

a+hc+dad-he0八

----------------=----------=—=0

hdbdbd

a+h_c+d

bd

这样就完成了第三个猜想的证明，但是通分的过程写起来有点复杂，我们观察发现，

利用分式的加法法则，可以得到土3=q+2=色+1,而£土《=£+'=£+1,两

bbbbdddcl

个代数式都分离出来一个i,而剩下的部分正好是条件上=£,那么等式两边各加一

ba

个1,等式仍然成立，即"2=三4是成立的。

bd

从这个猜想的证明过程中，我们发现，“作差法”是一种普适的方法，而对于有些特殊

的问题，如果我们能观察到代数式的特征，对它进行变形处理，例如我们刚才使用的

这种“分离常数法”，就能够让问题的解决过程变得简单很多。

最后一个猜想，请同学们利用讲的方法尝试证明一下。

通过观察，我们发现第四个猜想中的两个分式从形式上看，因为分母上是个多项式，

使用刚才的“分离常数法”并不方便，因此我们还是用“作差法”来尝试证明：

a+bc+d_(a+b)(c-d)-(a-b)(c+d)

a-bc-d(a-b)(c-d)

_ac-ad+be-bd-(ac+ad-be-bd)

(a-b)(c-d)

-2ad+2bc

(a-b)(c-d)

_-2(ad-bc)

(a-b)(c-d)

a_c

厂2，

ad—be.

ac+d-2(ad—be)0八

/.---------------=-----------------=----------