北师大高中数学选择性必修第一册第六章 概率 单元测试卷【含答案】

北师大高中数学选择性必修第一册第六章概率单元测试卷(原卷版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知X~B5，13，则P32≤X≤A.80243 B.C.4081 D.802.小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则PB∣A＝ (BA.14 B.C.110 D.3.设X为随机变量，X~Bn，13，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于 (A.80243 B.C.4243 D.4.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是10，12，则该随机变量的方差等于 (CA.10 B.100C.2π D.5.某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为 (BA.C63126C.C421266.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为 (A)A.12512 B.C.274 D.7.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是 (BA.3 B.8C.2 D.58.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于 (B)A.4，8 B.2，8C.2，16 D.2＋b，16.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是 (BC)ξ－10aP112＋14－A.－58 B.－C.－14 D.－10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值可能是 (AB)A.14 B.C.23 D.11.下列说法中正确的是 (ABC)A.设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋312.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则 (BCD)A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为5C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为25D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝乙.ξ123P1t114.在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是乙.15.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个.设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝乙，Dξ＝乙.16.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是乙.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.18.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?19.(12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求Eξ，Dξ.20.(12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.21.(12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束).若仅比赛2局就结束的概率为1325(1)求p的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.22.(12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.①采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；②采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册第六章概率单元测试卷(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知X~B5，13，则P32≤X≤A.80243 B.C.4081 D.解析：P32≤X≤72＝P(X＝2)＋P(X＝32.小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则PB∣A＝ (BA.14 B.C.110 D.解析：由题意，P(A)＝C22＋C3210＝∴P(B｜A)＝P(AB)3.设X为随机变量，X~Bn，13，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于 (A.80243 B.C.4243 D.解析：因为EX＝13n＝2，得n＝6，即X~B6，所以P(X＝2)＝C62×4.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是10，12，则该随机变量的方差等于 (CA.10 B.100C.2π D.解析：由正态分布密度曲线上的最高点10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π5.某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为 (BA.C63126C.C42126解析：根据射手每次射击击中目标的概率是12，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C63·126，恰有两次连续击中目标的概率为A42C63，6.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为 (A)A.12512 B.C.274 D.解析：设A学生答对题的个数为m，则得分X＝5m，m~B12，14，Dm＝12×14×34＝94，所以DX＝25×94＝2254，同理设B学生答对题的个数为n，可知n~B12，13，Dn＝12×13×237.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是 (BA.3 B.8C.2 D.5解析：在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝13×23由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P(X＝0)＝19P(X＝1)＝C3P(X＝2)＝C3P(X＝3)＝89所以随机变量X的分布列为X0123P124192512数学期望EX＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3或由二项分布的期望公式可得EX＝3×89＝88.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于 (B)A.4，8 B.2，8C.2，16 D.2＋b，16解析：因为随机变量X，Y满足Y＝2X＋b，所以EY＝2EX＋b＝4＋b，∴EX＝2；∵DY＝4DX＝32，∴DX＝8.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是 (BC)ξ－10aP112＋14－A.－58 B.－C.－14 D.－解析：根据分布列的性质可知，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，所以b－a＝0，b∈－12，14.根据期望公式得到Eξ＝－1×14＋a14－b＝−14＋b14－b，化简得Eξ＝－b2＋1410.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值可能是 (AB)A.14 B.C.23 D.解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞52或p＜12，由p∈(0，1)可得p∈(0，12)，所以p的取值可能是14或11.下列说法中正确的是 (ABC)A.设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3解析：设随机变量X服从二项分布B6，12，则P(X＝3)＝C63123×1－123＝516，故A正确；∵∵P(X＜4)＝0.9，∴P(2＜X＜4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，故B正确；设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则c－2＝2－(c－2)，解得c＝3，则常数c的值是3，故C正确；∵E(2X＋3)＝2EX＋3，D(2X＋3)＝4DX，故D错误.故选ABC.12.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则 (BCD)A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为5C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为25D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝1解析：对于A，甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有63＝216种，故A错误；对于B，恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为A6363＝120216＝59，故B正确；对于C，已知甲不选择课程“御”的概率为56，甲乙丙都不选择“御”的概率为5363＝125216，所以条件概率为12521656＝2536，故C正确；对于D，三名同学选择课程“礼”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝152ξ123P1t1解析：由分布列的性质有12＋t＋13＝1，解得t＝16，从而Eξ＝1×12＋所以Eη＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×116＋2＝1514.在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是乙.解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；因为EX2＞EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大.15.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个.设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝23，Dξ＝2解析：从袋中3个球中任取2个球，共有C32种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝0)＝C22C32＝13，P(ξ＝1)＝C11C21C316.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是32解析：解法一(直接法)：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝116，P(X＝1)＝C21×14×3所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P139则在2次试验中成功次数X的均值为EX＝0×116＋1×38＋2×解法二(公式法)：此试验满足二项分布，其中p＝34，所以在2次试验中成功次数X的均值为EX＝np＝2×3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.解：记“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝5×420×19(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B｜A)＝11918.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?解：(1)设参赛学生的成绩为X.因为X~N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50＜X＜90)]＝12[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈12×(1－0.9544)＝0.022则此次参赛学生的总人数约为12÷0.0228≈526.(2)易得P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60＜X＜80)]12[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]12×(1－0.6826)＝0.1587得526×0.1587≈83，即此次竞赛成绩为优的学生约为83人.19.(12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求Eξ，Dξ.解：(1)由已知，随机变量η的取值为2，3，4，5，6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则P(η0＝1)＝16，P(η0＝2)＝13，P(η0＝3)＝即P(η＝2)＝16P(η＝3)＝2×16P(η＝4)＝2×16P(η＝5)＝2×13P(η＝6)＝12所以η的分布列为η23456P11511(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝14因为随机变量ξ~B10，所以Eξ＝np＝10×14Dξ＝np(1－p)＝10×1420.(12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果为C3k·C73－kP(X＝k)＝C3k·C73－kC103，k＝0X0123P72171X的数学期望EX＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，由于事件A1，A2，A3，彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝C31·C32C103＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数的概率为3112021.(12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束).若仅比赛2局就结束的概率为1325(1)求p的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.解：(1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局，所以p·p＋(1－p)(1－p)＝1325即25p2－25p＋6＝0，解得p＝35或p＝2(2)当p＝35时，即甲胜的概