2025年高考数学一轮复习-拓展拔高6-双变量问题【导学案】

PAGE拓展拔高6双变量问题【高考考情】近几年,在高考试题中常涉及“双变量”或“双参”问题,试题常常出现在“压轴题”的位置.这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要求较高,因此具有很好的区分度.【解题关键】一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双变量问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.视角一利用双变量的关系化为单变量[例1]已知f(x)=12x2-2x+2alnx有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>-3.【切入点】x1,x2是函数f(x)的两个不等的极值点,则x1,x2是方程f'(x)=0的两个不等实根,由根与系数的关系可得x1,x2之间的关系,由此可利用替换法将双变量化为单变量.【证明】f'(x)=x-2+2ax=x2-因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以方程x2-2x+2a=0有两个正根x1,x2.所以x1+x2=2解得0<a<12由题意得f(x1)+f(x2)=12x12-2x1+2alnx1+12x22-2x2+2alnx2=12(x12+x22)-2(x1+x2)+2aln(x1·x2)=12(x1+x2)2-x1·x2-2(x1+x2)+2令h(a)=2aln(2a)-2a-2(0<a<12则h'(a)=2ln(2a)<0,所以y=h(a)在(0,12)上单调递减,所以h(a)>h(12)=-3,所以f(x1)+f(x2思维升华当出现双变量时,若能将双变量中所有变量统一用一个变量来替换,这样就将双变量问题转化为我们熟知的单变量问题,从而为我们的解题带来方便.视角二作比整体代换法[例2]已知函数f(x)=xlnx-12ax2-x,a∈R.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1<x2,求证x1x2>e2【切入点】可以通过两边取对数将问题转化为lnx1+lnx2>2.由导数对应方程的根x1,x2,可得lnx1-ax1=0,ln【证明】要证x1x2>e2,只需证lnx1+lnx2>2.f(x)的两个极值点x1,x2,即函数f'(x)的两个零点.因为f'(x)=lnx-ax,所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个不同实数根.于是ln两式相加,整理得a=ln两式相减,整理得a=ln因此lnx1于是lnx1+lnx2=(lnx又0<x1<x2,可设t=x2x1,则因此lnx1+lnx2=(1+t)ln要证lnx1+lnx2>2,即证(1+t)ln设g(t)=lnt-2(t-g'(t)=1t-2(t所以g(t)在(1,+∞)上单调递增.g(t)>g(1)=0.于是,当t>1时,有lnt>2(所以lnx1+lnx2>2成立,即x1x2>e2.思维升华对含参数的双变量不等式的证明,一般要利用条件消去参数,把所证明的不等式化为仅含x1,x2的式子,通过运算,构造t=x1x2,t=x1x2,t=x1-x视角三分离构造法微切口1:若两个变量能分离[例3]已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,若a<-1,对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.【切入点】由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|想到利用单调性去掉绝对值符号,分离两个变量,得到f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,根据特征构造函数g(x)=f(x)+4x,再利用导数求解.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+1x+2ax.当a<-1时,f'(所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.不妨设x1≥x2,从而对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,①令g(x)=f(x)+4x,则g'(x)=a+1x+2①等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减,即a+1x+2从而a≤-4x=(2故a的取值范围为(-∞,-2].微切口2:若两个变量不能分离[例4]已知函数f(x)=lnx,(1)求函数g(x)=(x2+1)f(x)-2x+2(x≥1)的最小值;(2)当0<a<b时,求证:f(b)-f(a)>2a【切入点】对于第(2)问,根据(1)中的结论可得,lnx>2(x-1)x【解析】(1)g'(x)=2xlnx+x2=2xlnx+x+1x-2因为x≥1,所以g'(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=0.(2)由(1)知,当x>1时,g(x)>0,所以(x2+1)lnx>2(x-1),即lnx>2(令x=ba,则lnba>2(b所以f(b)-f(a)>2a思维升华对于双变量问题,若两个变量地位均等,相互独立,能分离,则分离构造一元函数;如不能分离,则合二为一,构造一元函数.视角四主元构造法[例5]已知函数f(x)=aex-lnx-1,求证:当a≥1e时,f(x)≥0【切入点】本题先将f(x)视为关于参数a的一次函数,利用函数单调性将参数消掉,进而转化为关于x的单变量问题求解.【证明】令h(a)=aex-lnx-1,则h(a)在[1e,+∞)上单调递增,所以h(a)min=h(1e要证f(x)≥0,只需证h(a)≥0,即证h(a)min=h(1e)=ex-1-lnx-1≥0构造函数g(x)=ex-1-lnx-1,则g'(x)=ex-1-1x在(0,+∞)上单调递增注意到g'(1)=0,所以当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.故g(x)min=g(1)=0,g(x)≥0,即ex-1-lnx-1≥0,所以当a≥1e时,f(x)≥0思维升华当问题中含有变量较多且变量之间互不影响时,可以选择一个量作为主元,并以此为线索解决问题,这样的方法叫做主元法.对于含有参数的函数不等式证明,巧妙设置主元,将参数消掉,进而转化为单变量问题来处理,可以使问题化繁为简.视角五切线法[例6]已知不等式ex-(a+2)x≥b-2,则b-5aA.-1ln3 B.-ln3 C.1e3 D【切入点】由题意可转化为ex≥(a+2)x+b-2恒成立.设直线与指数函数的切点坐标为(x0,ex0),可得到b-5a+2=1-【解析】选B.由题意知ex≥(a+2)x+b-2恒成立,可构造函数f(x)=ex,y=(a+2)x+b-2.设直线与指数函数的切点坐标为(x0,ex0),则ex≥ex0·x+ex因此a则b-5