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文档简介
考研数学二(定积分及应用)模拟试卷1(共4套)(共116题)考研数学二(定积分及应用)模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)1、设在区间[a,b]上f(χ)>0,f′(χ)<0,f〞(χ)>0,令S1=∫abf(χ)dχ,S2=f(b)(b-a),S3=[f(a)+f(b)],则().A、S1<S2<S3B、S2<S1<S3C、S3<S1<S2D、S2<S3<S1标准答案:B知识点解析:因为函数f(χ)在[a,b]上为单调减少的凹函数,根据几何意义,S2<S1<S3,选B.2、曲线y=χ(χ-1)(2-χ)与χ轴所围成的图形面积可表示为().A、-∫02χ(χ-1)(2-χ)dχB、∫01χ(χ-1)(2-χ)dχ-∫12χ(χ-1)(2-χ)dχC、-∫01χ(χ-1)(2-χ)dχ+∫12(χ-1)(2-χ)dχD、∫01χ(χ-1)(2-χ)dχ标准答案:C知识点解析:曲线y=χ(χ-1)(2-χ)与χ轴的三个交点为χ=0,χ=1,χ=2,当0<χ<1时,y<0;当1<χ<2时,y>0,所以围成的面积可表示为C的形式,选C.二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)3、∫0+∞χ5dχ=_______.标准答案:1知识点解析:暂无解析4、设f(χ)是以T为周期的连续函数,且F(χ)=∫0χf(t)dt+6χ也是以T为周期的连续函数,则b=_______.标准答案:-f(t)dt.知识点解析:F(χ+T)=∫0χ+Tf(t)dt+b(χ+T)=∫0χf(t)dt+bχ+∫χχ+Tf(t)dt+bT=F(χ)+∫χχ+Tf(t)dt+bT=F(χ)+∫0Tf(t)dt+bT,由F(χ+T)=F(χ),得b=-f(t)dt.5、=_______.标准答案:知识点解析:6、=_______.标准答案:知识点解析:因为ln(χ+)为奇函数,所以χ2ln(χ+)为奇函数,所以原式=2×.7、=_______.标准答案:知识点解析:因为对[-a,a]上连续的函数f(χ)有∫-aaf(χ)dχ=∫0a[f(χ)+f(-χ)]dχ,所以8、=_______.标准答案:知识点解析:因为=1且<1,所以广义积分收敛.9、=_______.标准答案:知识点解析:三、解答题(本题共19题,每题1.0分,共19分。)10、求∫-11(|χ|+χ)e-|χ|dχ.标准答案:由定积分的奇偶性得知识点解析:暂无解析11、计算标准答案:知识点解析:暂无解析12、求标准答案:知识点解析:暂无解析13、求标准答案:知识点解析:暂无解析14、求∫-22(3χ+1)max{2,χ2}dχ.标准答案:∫-22(3χ+1)max{2,χ2}dχ=∫-22max{2,χ2}dχ=2∫02max{2,χ2}dχ,由max{2,χ2}=得知识点解析:暂无解析15、求∫013χ2arcsinχdχ.标准答案:知识点解析:暂无解析16、求标准答案:知识点解析:暂无解析17、求标准答案:知识点解析:暂无解析18、求标准答案:知识点解析:暂无解析19、求标准答案:知识点解析:暂无解析20、求∫-11(2+sinχ)dχ.标准答案:知识点解析:暂无解析21、求*][ln(χ+)+sin2χ]cos2χdχ.标准答案:因为In(χ+)为奇函数,所以知识点解析:暂无解析22、求标准答案:知识点解析:暂无解析23、设f(2)=,f′(2)=0,∫02f(χ)dχ=1,求∫01χf〞(2χ)dχ.标准答案:知识点解析:暂无解析24、计算标准答案:知识点解析:暂无解析25、求函数f(χ)=(2-t)e-tdt的最大值与最小值.标准答案:因为f(χ)为偶函数,所以只研究f(χ)在[0,+∞)内的最大值与最小值即可.令f′(χ)=2χ(2-χ2)=0,得f(χ)的唯一驻点为χ=,当χ∈(0,)时,f′(χ)>0,当χ∈(,+∞)时,f′(χ)<0,注意到驻点的唯一性,则χ=及χ=-为函数f(χ)的最大值点,最大值为因为f(+∞)=f(-∞)=∫0+∞(2-t)e-tdt=1及f(0)=0,所以最小值为0.知识点解析:暂无解析26、求标准答案:知识点解析:暂无解析27、计算标准答案:知识点解析:暂无解析28、计算标准答案:知识点解析:暂无解析考研数学二(定积分及应用)模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)1、矩形闸门宽a米,高h米,垂直放在水中,上边与水面相齐,闸门压力为().A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh标准答案:A知识点解析:取[χ,χ+dχ][0,h],dF=ρg×χ×a×dχ=ρgaχdχ,则F=ρg∫0haχdχ=ρ∫0hahdh,选A.2、在曲线y=(χ-1)2上的点(2,1)处作曲线的法线,由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域为D(y>0),则区域D绕χ轴旋转一周所成的几何体的体积为().A、B、C、D、标准答案:D知识点解析:过曲线y=(χ-1)2上点(2,1)的法线方程为y=-χ+2,该法线与χ轴的交点为(4,0),则由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域D绕χ轴旋转一周所得的几何体的体积为故选D.二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)3、=_______.标准答案:知识点解析:4、=_______.标准答案:1知识点解析:5、=_______.标准答案:知识点解析:6、设f(χ)连续,则∫0χχf(χ-t)dt=_______.标准答案:∫0χf(u)du+χf(χ)知识点解析:∫0χχf(χ-t)dt=-χ∫0χf(χ-t)d(χ-t)=-χ∫χ0f(u)du=χ∫χ0f(u)du,则χf(χ-t)dt=[χ∫0χf(u)du]=∫0χf(u)du+χf(χ).7、曲线y=χ4(χ≥0)与χ轴围成的区域面积为_______.标准答案:知识点解析:暂无解析8、=_______.标准答案:知识点解析:9、∫01arctanχdχ=_______.标准答案:知识点解析:暂无解析三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)10、设C1,C2是任意两条过原点的曲线,曲线C介于C1,C2之间,如果过C上任意一点P引平行于χ轴和y轴的直线,得两块阴影所示区域A,B有相等的面积,设C的方程是y=χ2,C1的方程是y=χ2,求曲线C2的方程.标准答案:由题设C:y=χ2,C1:y=χ2,令C2:χ=f(y),P点坐标为(χ,y),则所以,因为P∈C,所以有∫0yf(y)dy=即,两边对χ求导,得2χ.f(χ2)=χ2,即f(χ2)=χ.从而C2的方程为χ=f(y)=,即y=χ2.知识点解析:暂无解析11、设曲线y=a+χ-χ3,其中a<0.当χ>0时,该曲线在χ轴下方与y轴、χ轴所围成图形的面积和在χ轴上方与χ轴所围成图形的面积相等,求a.标准答案:设曲线y=a+χ-χ3与χ轴正半轴的交点横坐标为α,β(α<β),由条件得-∫0α(a+χ-χ3)dχ=∫αβ(a+χ-χ3)dχ,移项得∫0α(a+χ-χ3)dχ+∫αβ(a+χ-χ3)dχ=∫0β(a+χ-χ3)dχ=0β(4a+2β-β3)=0,因为β>0,所以4a+2β-β3=0.又因为(β,0)为曲线y=a+χ-χ3与χ轴的交点,所以有α+β-β3=0,从而有β-3aa-3a+27a3=0知识点解析:暂无解析12、曲线y=(χ-1)(χ-2)和χ轴围成平面图形,求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积.标准答案:取[χ,χ+dχ][1,2],dv=2πχ|(χ-11)(χ-2)|dχ=-2πχ(χ-1)(χ-2)dχ,知识点解析:暂无解析13、设平面图形D由χ2+y2≤2χ与y≥χ围成,求图形D绕直线χ=2旋转一周所成的旋转体的体积.标准答案:取[χ,χ+dχ][0,1],则dv=2π(2-χ)(-χ,)dχ,知识点解析:暂无解析14、求曲线y=3-|χ2-1|与χ轴围成的封闭图形绕y=3旋转所得的旋转体的体积.标准答案:取[χ,χ+dχ][0,1],dv1=π[32-(1-χ2)2]dχ=π(8+2χ2-χ4)dχ,V1=∫01dv1=π∫01(8+2χ2-χ4)dχ,[χ,χ+dχ][1,2],dv2=π[32-(χ2-1)2]dχ=π[(8+2χ2-χ4)dχ,V2=∫12dv=π∫12(8+2χ2-χ4)dχ,则所求体积为V=2(V1+V2)=2π∫02(8+2χ2-χ4)dχ=.知识点解析:暂无解析15、求由曲线y=4-χ2与χ轴围成的部分绕直线χ=3旋转一周所成的几何体的体积.标准答案:取[y,y+dy][0,4],则知识点解析:暂无解析16、曲线y=χ2(χ≥0)上某点处作切线,使该曲线、切线与χ轴所围成的面积为,求切点坐标、切线方程,并求此图形绕χ轴旋转一周所成立体的体积.标准答案:设切点坐标为(a,a2)(a>0),则切线方程为y-a2=2a(χ-a),即y=2aχ-a2,由题意得S=,解得a=1,则切线方程为y=2χ-1,旋转体的体积为知识点解析:暂无解析17、求摆线L:(a>0)的第一拱绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积.标准答案:知识点解析:暂无解析18、设曲线=1(0<a<4)与χ轴、y轴所围成的图形绕χ轴旋转所得立体体积为V1(a),绕y轴旋转所得立体体积为V2(a),问a为何值时,V1(a)+V2(a)最大,并求最大值.标准答案:曲线与χ轴和y轴的交点坐标分别为(a,0),(0,b),其中b=4-a.曲线可化为y=,对任意的[χ,χ+dχ][0,a],dV2=2πχ.ydχ=2πχ.dχ,于是V2=,根据对称性,有V1=ab2.于是V(a)=V1(a)+V2(a)=a(4-a)令V′(a)=(4-2a)=0a=2,又V〞(2)<0,所以a=2时,两体积之和最大,且最大值为V(2)=π.知识点解析:暂无解析19、设一抛物线y=aχ2+bχ+c过点(0,0)与(1,2),且a<0,确定a,b,c,使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小.标准答案:因为曲线过原点,所以c=0,又曲线过点(1,2),所以a+b=2,b=2-a.因为a<0,所以b>0,抛物线与χ轴的两个交点为0,-,所以令S′(a)=0,得a=-4,从而b=-6,所以当a=-4,b=6,c=0时,抛物线与χ轴所围成的面积最小.知识点解析:暂无解析20、设直线y=kχ与曲线y=所围平面图形为D1,它们与直线χ=1围成平面图形为D2.(1)求k,使得D1与D2分别绕χ轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小,并求最小值;(2)求此时的D1+D2.标准答案:(1)由方程组得直线与曲线交点为因为V〞(k)>0,所以函数V(k)当k=时取最小值,且最小值为(2)因为S(k)=所以此时S=知识点解析:暂无解析21、求摆线(0≤t≤2π)的长度.标准答案:知识点解析:暂无解析22、设曲线y=,过原点作切线,求此曲线、切线及χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的表面积.标准答案:设切点为(a,),则过原点的切线方程为y=,将(a,)代入切线方程,得a=2,=1,故切线方程为y=χ,由曲线y=在区间[1,2]上的一段绕χ轴一周所得旋转面的面积为切线y=χ在区间[0,2]上一段绕χ轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为S=S1+S2=知识点解析:暂无解析23、一半径为R的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为1,求将球从水中取出所做的功.标准答案:以球顶部与水面相切的点为坐标原点,χ轴铅直向下,取[χ,χ+dχ][0,2R],由于球的密度与水的密度相同,所以水面以下不做功,dω=(2R-χ)×π[R2-(R-χ)2]×1×gdχ=πχ(2R-χ)2gdχ,W=∫02Rdω=g.知识点解析:暂无解析24、设f(χ)=χe2χ+2∫01f(χ)dχ,求∫01f(χ)dχ.标准答案:令A=∫01f(χ)dχ,f(χ)=χe2χ+2∫01f(χ)dχ两边积分得A=∫01χe2χdχ+2A,解得A=∫01f(χ)dχ=∫01χe2χdχ=知识点解析:暂无解析25、讨论反常积分的敛散性,若收敛计算其值.标准答案:因为且α=<1,又因为且α=<1,所以收敛.于是=2arcsinχ|01=π.知识点解析:暂无解析26、设f(χ)=,求∫01f(χ)dχ.标准答案:∫01f(χ)dχ=χf(χ)|01-∫01χf′(χ)dχ知识点解析:暂无解析27、求曲线L:(a>0)所围成的平面区域的面积.标准答案:令L:(0≤t≤2π),第一卦限的面积为所求的面积为A=4A1=.知识点解析:暂无解析28、设L:(0≤t≤2π).(1)求曲线L与χ轴所围成平面区域D的面积.(2)求区域D绕χ轴旋转一周所成几何体的体积.标准答案:(1)所求的面积为A=∫02πaydχ=∫02πa(1-cost).a(1-cost)dt=a2∫02π(1-cost)2dt(2)所求体积为V=π∫02πay2dχ=π∫02πa2(1-cost)2.a(1-cost)dt=2πa3∫02π=16πa3∫0πsin6tdt==5π2a3.知识点解析:暂无解析29、求曲线y=与χ轴所围成的平面区域绕y轴旋转而成的几何体的体积.标准答案:取[χ,χ+dχ][0,2],则dV=2πχ.y.dχ=2πχ.dχ,所求的体积为知识点解析:暂无解析考研数学二(定积分及应用)模拟试卷第3套一、选择题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)1、双纽线(χ2+y2)2=χ2-y2所围成的区域面积可表示为().A、2cos2θdθB、4cos2θdθC、2D、(cosθ)2dθ标准答案:A知识点解析:双纽线(χ2+y2)2=χ2-y2的极坐标形式为r2=cos2θ,再根据对称性,有A=4×cos2θdθ,选A.2、设f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且g(χ)<f(χ)<m,则由曲线y=g(χ),y=f(χ)及直线χ=a,χ=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为().A、π∫ab[2m-f(χ)+g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχB、π∫ab[2m-f(χ)-g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχC、π∫ab[m-f(χ)+g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχD、π∫ab[m-f(χ)-g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχ标准答案:B知识点解析:由元素法的思想,对[χ,χ+dχ][a,b],dv={π[m-g(χ)]2-π[m-f(χ)]2)dχ=π[2m-f(χ)-g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχ,则V=∫abdv=π∫ab[2m-f(χ)-g(χ)][f(χ)-g(χ)]dχ,选B.二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)3、设f(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)=+∫01χf(χ)dχ,则f(χ)=_______.标准答案:知识点解析:令∫01χf(χ)dχ=k,则两边积分得∫01χf(χ)dχ=+∫01kχdχ,即k=,所以k=2(-1),从而f(χ)=.4、设f(χ)∈C[i,+∞),广义积分,∫1+∞f(χ)dχ收敛,且满足f(χ)=f(χ)dχ,则f(χ)=_______.标准答案:知识点解析:令∫1+∞f(χ)dχ=A,则由f(χ)=f(χ)dχ,得A=解得A=,所以f(χ)=5、设f(χ)=,则=_______.标准答案:e-1-1知识点解析:6、设f(χ)二阶连续可导,且f(0)=1,f(2)=3,f′(2)=5,则∫01χf〞(2χ)dχ=_______.标准答案:2知识点解析:7、设f(χ)=则∫-15f(χ-1)dχ=_______.标准答案:+ln3知识点解析:∫-15f(χ-1)dχ=∫-15f(χ-1)d(χ-1)=∫-24f(χ)dχ=∫-20f(χ)dχ+∫04f(χ)dχ8、=_______(其中a为常数).标准答案:知识点解析:9、=_______.标准答案:3知识点解析:三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)10、计算标准答案:χ=1为被积函数的无穷间断点,则知识点解析:暂无解析11、设f(χ)在[a,b]上连续,且f(χ)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫aξf(χ)dχ=∫ξbf(χ)dχ.标准答案:令g(φ)=∫aχf(t)dt-∫χbf(t)dt,因为f(χ)在[a,b]上连续,且f(χ)>0,所以g(a)=-∫abf(t)dt<0,g(b)=∫abf(t)dt>0,由零点定理,存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即∫aξf(χ)dχ=∫ξbf(χ)dχ.知识点解析:暂无解析12、设f(χ)在[a,b]上连续,证明:∫abf(χ)dχ=∫abf(a+b-χ)dχ.标准答案:∫abf(χ)dχ∫abf(a+b-t)(-dχ)=∫abf(a+b-t)dt=∫abf(a+b-χ)dχ知识点解析:暂无解析13、设f(χ)为连续函数,证明:(1)∫0πχf(sinχ)dχ=f(sinχ)dχ=πf(sinχ)dχ;(2)∫02π(|sinχ|)dχ=4f(sinχ)dχ.标准答案:(1)令I=∫0πχf(sinχ)dχ,则I=∫0πχf(sinχ)dχ∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-χ)f(sinχ)dχ=π∫0πf(sinχ)dχ-∫0πχf(sinχ)dχ=π∫0πf(sinχ)dχ-I,则I=(2)∫02πf(|sinχ|)dχ=∫-ππf(|sinχ|)dχ=2∫0πf(|sinχ|)dχ=2∫0πf(sinχ)dχ=4f(sinχ)dχ.知识点解析:暂无解析14、证明:sinnχcosnχdχ=2-nsinnχdχ.标准答案:知识点解析:暂无解析15、设f(χ)连续,证明:∫0χ[∫0tf(u)du]dt=∫0χf(t)(χ-t)dt.标准答案:因为=∫0χf(u)du,所以∫0χ[∫0tf(u)du]dt-∫0χf(t)(χ-t)dt≡C0,取χ=0得C0=0,故∫0χ[∫0tf(u)du]dt=∫0χf(t)(t-t)dt.知识点解析:暂无解析16、设f(χ)连续且关于χ=T对称,a<T<b.证明:∫abf(χ)dχ=2∫Tbf(χ)dχ+∫a2T-bf(χ)dχ.标准答案:由f(χ)关于χ=T对称得f(T+χ)=f(T-χ),于是∫T25-bf(χ)dχ∫Tbf(2T-u)(-du)=-∫Tbf[T-(u-T)]du=-∫Tbf[T+(u-T)]du=-∫Tbf(χ)dχ得∫Tbf(χ)dχ+∫T2T+bf(χ)dχ=0,故∫abf(χ)dχ=∫abf(χ)dχ+∫Tbf(χ)dχ+∫T2T-bf(χ)dχ=∫aTf(χ)dχ+∫Tbf(χ)+∫Tbf(χ)dχ+∫T2T-bf(χ)dχ=2∫Tbf(χ)dχ+∫a2T-bf(χ)dχ知识点解析:暂无解析17、设f(a)=f(b)=0,∫abf2(χ)dχ=1,f′(χ)∈C[a,b].(1)求∫abχf(χ)f′(χ)dχ;(2)证明:∫abf′2(χ)dχ∫abχ2f2(χ)dχ≥.标准答案:知识点解析:暂无解析18、设f(χ)在区间[0,1]上可导,f(1)=2χ2f(χ)dχ.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.标准答案:令φ(χ)=χ2f(χ),由积分中值定理得f(1)=2χ2f(χ)dχ=c2f(c),其中c∈[0,],即φ(c)=φ(1),显然φ(χ)在区间[0,1]上可导,由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1)(0,1),使得φ′(ξ)=0.而φ′(χ)=2χf(χ)+χ22f′(χ),所以2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf′(ξ)=0.知识点解析:暂无解析19、设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ=g(ξ)∫aξ(χ)dχ.标准答案:令φ(χ)=∫aχf(t)dt∫bχg(t)dt,显然φ(χ)在[a,b]上可导,又φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0,而φ′(χ)=f(χ)∫bχg(t)dt+g(χ)∫aχf(t)dt,所以f(ξ)∫bξg(χ)dχ+g(ξ)∫aξf(χ)dχ=0,即f(ξ)∫ξbg(χ)dχ=g(ξ)∫aξf(χ)dχ.知识点解析:暂无解析20、设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(χ)cosχdχ=∫0πf(χ)sinχdχ=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=0.标准答案:令F(χ)=∫0χf(t)sintdt,因为F(0)=F(χ)=0,所以存在χ1∈(0,π),使得F′(χ1)=0,即f(χ1)sinχ1=0,又因为sinχ1≠0,所以f(χ1)=0.设χ1是f(χ)在(0,π)内唯一的零点,则当χ∈(0,π)且χ≠χ1时,有sin(χ-χ1)f(χ)恒正或恒负,于是∫0πsin(χ-χ1)f(χ)dχ≠0.而∫0πsin(χ-χ1)f(χ)dχ=cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ-sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ=0,矛盾,所以f(χ)在(0,π)内至少有两个零点.不妨设f(χ1)=f(χ2)=0,χ1,χ2∈(0,π)且χ1<χ2,由罗尔中值定理,存在ξ∈(χ1,χ2)(0,π),使得f′(ξ)=0.知识点解析:暂无解析21、设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f′(χ)|≤2.证明:|∫02f(χ)dχ|≤2.标准答案:由微分中值定理得f(χ)-f(0)=f′(ξ1)χ,其中0<ξ1<χ,f(χ)-f(2)=f′(ξ1)(χ-2),其中χ<ξ2<2,于是从而|∫02f(χ)dχ|≤∫02|f(χ)|dχ=∫01|f(χ)|dχ+∫12|f(χ)|dχ≤∫012χdχ+∫122-2(2-χ)dχ=2.知识点解析:暂无解析22、设f(χ)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫f(χ)dχ=(b-a)ff〞(ξ).标准答案:令F(χ)=∫aχf(t)dt,则F(χ)在[a,b]上三阶连续可导,取χ0=,由泰勒公式得F(a)=F(χ0)+F′(χ0)(a-χ0)+(a-χ0)2+(a-χ0)3,ξ1∈(a,χ0),F(b)=F(χ0)+F′(χ0)(b-χ0)+(b-χ0)2+(b-χ0)3,ξ2∈(χ0,b)两式相减得F(b)-F(a)=F′(χ0)(b-a)+[F″′(ξ1)+F″′(ξ2)],即因为f〞(χ)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ1,ξ2](a,b),使得f〞(ξ)=[f〞(ξ1)+f〞(ξ2)],从而知识点解析:暂无解析23、求曲线y=cosχ()与χ轴围成的区域绕χ轴、y轴形成的几何体体积.标准答案:Vχ取[χ,χ+dχ][0,],dVy=2πχcosχdχ,故Vy=知识点解析:暂无解析24、求曲线y=χ2-2χ、y=0、χ=1、χ=3所围成区域的面积S,并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.标准答案:区域面积为知识点解析:暂无解析25、设L:y=e-χ(χ≥0).(1)求由y=e-χ、χ轴、y轴及χ=a(a>0)所围成平面区域绕χ轴一周而得的旋转体的体积V(a).(2)设V(c)=V(a),求c.标准答案:(1)V(a)=π∫0ae2χdχ=(1-e-2a).(2)由V(c)=(1-e-2c),解得c=ln2.知识点解析:暂无解析26、设y=f(χ)为区间[0,1]上的非负连续函数.(1)证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形的面积;(2)设f(χ)在(0,1)内可导,且f′(χ)>-,证明(1)中的c是唯一的.标准答案:(1)S1(c)=cf(c),S2(c)=∫c1f(t)dt=-∫1cf(t)dt,即证明S1(c)=S2(c),或cf(c)+∫1cf(t)dt=0.令φ(χ)=χ∫1χf(t)dt,φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得φ′(c)=0,即cf(c)+∫1cf(t)dt=0,所以S1(c)=S2(c),命题得证.(2)令h(χ)=χf(χ)-∫χ1f(t)dt,因为h′(χ)=2f(χ)+χf′(χ)>0,所以h(χ)在[0,1]上为单调函数,所以(1)中的c是唯一的.知识点解析:暂无解析27、求圆χ2+y2=2y内位于抛物线y=χ2上方部分的面积.标准答案:由所围成的面积为知识点解析:暂无解析28、求双纽线(χ2+y2)2=a2(χ2-y2)所围成的面积.标准答案:根据对称性,所求面积为第一卦限面积的4倍,令则双纽线的极坐标形式为r2=a2cos2θ(0≤θ≤),第一卦限的面积为所求面积为A=4A1=a2知识点解析:暂无解析29、抛物线y2=2χ把圆χ2+y2=8分成两个部分,求左右两个部分的面积之比.标准答案:设左边的面积为S1,右边的面积为S2,知识点解析:暂无解析考研数学二(定积分及应用)模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题,每题1.0分,共3分。)1、设M=cos4χdχ,N=(sin3χ+cos4χ)dχ,P=(χ2sin3χ-cos4χ)dχ,则有().A、N<P<MB、M<P<NC、N<M<PD、P<M<N标准答案:D知识点解析:M=cos4χdχ=0,N=(sin3χ+cos4χ)dχ=cos4χdχ>0,P=(χ2sin3χ-cos4χ)dχ=cos4χdχ<0,P<M<N,选D.2、设f(χ)=F(χ)=∫0χf(t)dt(χ∈[0,2]),则().A、B、C、D、标准答案:B知识点解析:当0≤χ≤1时,F(χ)=∫0χt2dt=;当1<χ≤2时,F(χ)=∫0χf(t)dt=∫01tdt+∫1χ(2-t)dt=,故选B.3、下列广义积分发散的是().A、B、C、D、标准答案:A知识点解析:暂无解析二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)4、=_______.标准答案:(2ln2-1)知识点解析:5、∫0χχsin(χ-t)2dt=_______.标准答案:2sinχ2+2χ2cosχ2知识点解析:∫0χχsin(χ-t)2dt=χ∫0χsin(χ-t)2dtχ∫χ0sinu2(-du)=χ∫0χsinu2du,原式=(χ∫0χsin2du)〞=(∫0χsin2du+χsinχ2)′=2sinχ2+2χ2cosχ2.6、=_______.标准答案:知识点解析:7、=_______.标准答案:知识点解析:8、∫02π|sin|dχ=_______.标准答案:4π知识点解析:∫02πχ|sinχ|dχ=∫0πχ|sinχ|dχ+∫π2πχ|sinχ|dχ,而∫0πχ|sinχ|dχ=∫0πχsinχdχ=∫0πsinχdχ=π,∫π2πχ|sinχ|dχ∫0π(π+t)|sint|dt=π∫0πsintdt+∫0πtsintdt=2π+π=3π.故∫02π|sinχ|=4π.9、=_______.标准答案:知识点解析:10、=_______.标准答案:-1知识点解析:三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)11、当χ≥0时,f(χ)=χ,设g(χ)=当χ≥0时,求∫0χf(t)g(χ-t)dt.标准答案:∫0χf(t)g(χ-t)dt∫χ0f(χ-u)g(u)(-du)=∫0χf(χ-u)g(u)du,(1)当0≤χ≤时,∫0χf(t)g(χ-t)dt=∫0χ(χ-u)sinudu=-χ-sinχ;(2)当χ>时,∫0χf(t)g(χ-t)dt=(χ-u)sinudu=χ-1,于是∫0χ£)g(χ-t)dt=知识点解析:暂无解析12、φ(χ)=∫sinχcos2χln(1+t2)dt,求φ′(χ).标准答案:φ′(χ)=-2ln(1+cos2χ)sin2χ-ln(1+sin2χ)cosχ知识点解析:暂无解析13、设φ(χ)=∫0χ(χ-t)2f(t)dt,求φ″′(χ),其中f(χ)为连续函数.标准答案:φ(χ)=χ2∫0χf(t)dt-2χ∫0χtf(t)dt+∫0χt2f(t)dt,φ′(χ)=2χ∫0χf(t)dt+χ2f(χ)-2∫0χtf(t)dt-2χ2f(χ)+χ2f(χ)=2χ∫0χf(t)dt-2∫0χtf(t)dt,φ〞(χ)=2∫0χf(t)dt+2χf(χ)-2χf(χ)=2∫0χf(t)dt,φ″′(χ)=2f(χ).知识点解析:暂无解析14、设φ(χ)=∫abln(χ2+t)dt,求φ′(χ),其中a>0,b>0.标准答案:φ(χ)=∫abln(χ+t)d(χ+t)=lndu,φ′(χ)=2χln(χ2+b)-2χln(χ2+a)=2χln(χ2+a)=2χln知识点解析:暂无解析15、设f(χ)连续,且F(χ)=∫0χ(χ-2t)f(t)dt.证明:(1)若f(χ)是偶函数,则F(χ)为偶函数;(2)若f(χ)单调不增,则F(χ)单调不减.标准答案:(1)设f(-χ)=f(χ),因为F(-χ)=∫0-χ(-χ-2t)f(t)dt(-χ+2u)f(-u)(-du)=∫0χ(χ-2u)f(u)du=F(χ),所以F(χ)为偶函数.(2)F(χ)=∫0χ(χ-2t)f(t)dt=χ∫0χf(t)dt-2∫0χtf(t)dt,F′(χ)=∫0χf(t)dt-χf(χ)=χ[f(ξ)-f(χ)],其中ξ介于0与χ之间,当χ<0时,χ≤ξ≤0,因为f(χ)单调不增,所以F′(χ)≥0,当χ≥0时,0≤ξ≤χ,因为f(χ)单调不增,所以F′(χ)≥0,从而F(χ)单调不减.知识点解析:暂无解析16、设f(χ)=≤0,求∫02f(χ-
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