考研数学二（定积分及应用）模拟试卷1（共116题）

考研数学二（定积分及应用）模拟试卷1（共4套）（共116题）考研数学二（定积分及应用）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，则()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1标准答案：B知识点解析：因为函数f(χ)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选B．2、曲线y＝χ(χ－1)(2－χ)与χ轴所围成的图形面积可表示为()．A、－∫02χ(χ－1)(2－χ)dχB、∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ－∫12χ(χ－1)(2－χ)dχC、－∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ＋∫12(χ－1)(2－χ)dχD、∫01χ(χ－1)(2－χ)dχ标准答案：C知识点解析：曲线y＝χ(χ－1)(2－χ)与χ轴的三个交点为χ＝0，χ＝1，χ＝2，当0＜χ＜1时，y＜0；当1＜χ＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为C的形式，选C．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、∫0＋∞χ5dχ＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析4、设f(χ)是以T为周期的连续函数，且F(χ)＝∫0χf(t)dt＋6χ也是以T为周期的连续函数，则b＝_______．标准答案：－f(t)dt．知识点解析：F(χ＋T)＝∫0χ＋Tf(t)dt＋b(χ＋T)＝∫0χf(t)dt＋bχ＋∫χχ＋Tf(t)dt＋bT＝F(χ)＋∫χχ＋Tf(t)dt＋bT＝F(χ)＋∫0Tf(t)dt＋bT，由F(χ＋T)＝F(χ)，得b＝－f(t)dt．5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、＝_______．标准答案：知识点解析：因为ln(χ＋)为奇函数，所以χ2ln(χ＋)为奇函数，所以原式＝2×．7、＝_______．标准答案：知识点解析：因为对[－a，a]上连续的函数f(χ)有∫-aaf(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ，所以8、＝_______．标准答案：知识点解析：因为＝1且＜1，所以广义积分收敛．9、＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)10、求∫-11(｜χ｜＋χ)e－｜χ｜dχ．标准答案：由定积分的奇偶性得知识点解析：暂无解析11、计算标准答案：知识点解析：暂无解析12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求∫-22(3χ＋1)max{2，χ2}dχ．标准答案：∫-22(3χ＋1)max{2，χ2}dχ＝∫-22max{2，χ2}dχ＝2∫02max{2，χ2}dχ，由max{2，χ2}＝得知识点解析：暂无解析15、求∫013χ2arcsinχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求∫-11(2＋sinχ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求*][ln(χ＋)＋sin2χ]cos2χdχ．标准答案：因为In(χ＋)为奇函数，所以知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(2)＝，f′(2)＝0，∫02f(χ)dχ＝1，求∫01χf〞(2χ)dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数f(χ)＝(2－t)e－tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(χ)为偶函数，所以只研究f(χ)在[0，＋∞)内的最大值与最小值即可．令f′(χ)＝2χ(2－χ2)＝0，得f(χ)的唯一驻点为χ＝，当χ∈(0，)时，f′(χ)＞0，当χ∈(，＋∞)时，f′(χ)＜0，注意到驻点的唯一性，则χ＝及χ＝－为函数f(χ)的最大值点，最大值为因为f(＋∞)＝f(－∞)＝∫0＋∞(2－t)e-tdt＝1及f(0)＝0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（定积分及应用）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh标准答案：A知识点解析：取[χ，χ＋dχ][0，h]，dF＝ρg×χ×a×dχ＝ρgaχdχ，则F＝ρg∫0haχdχ＝ρ∫0hahdh，选A．2、在曲线y＝(χ－1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕χ轴旋转一周所成的几何体的体积为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：过曲线y＝(χ－1)2上点(2，1)的法线方程为y＝－χ＋2，该法线与χ轴的交点为(4，0)，则由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域D绕χ轴旋转一周所得的几何体的体积为故选D．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、＝_______．标准答案：知识点解析：4、＝_______．标准答案：1知识点解析：5、＝_______．标准答案：知识点解析：6、设f(χ)连续，则∫0χχf(χ－t)dt＝_______．标准答案：∫0χf(u)du＋χf(χ)知识点解析：∫0χχf(χ－t)dt＝－χ∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ∫χ0f(u)du＝χ∫χ0f(u)du，则χf(χ－t)dt＝[χ∫0χf(u)du]＝∫0χf(u)du＋χf(χ)．7、曲线y＝χ4(χ≥0)与χ轴围成的区域面积为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析8、＝_______．标准答案：知识点解析：9、∫01arctanχdχ＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于χ轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y＝χ2，C1的方程是y＝χ2，求曲线C2的方程．标准答案：由题设C：y＝χ2，C1：y＝χ2，令C2：χ＝f(y)，P点坐标为(χ，y)，则所以，因为P∈C，所以有∫0yf(y)dy＝即，两边对χ求导，得2χ.f(χ2)＝χ2，即f(χ2)＝χ．从而C2的方程为χ＝f(y)＝，即y＝χ2．知识点解析：暂无解析11、设曲线y＝a＋χ－χ3，其中a＜0．当χ＞0时，该曲线在χ轴下方与y轴、χ轴所围成图形的面积和在χ轴上方与χ轴所围成图形的面积相等，求a．标准答案：设曲线y＝a＋χ－χ3与χ轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得－∫0α(a＋χ－χ3)dχ＝∫αβ(a＋χ－χ3)dχ，移项得∫0α(a＋χ－χ3)dχ＋∫αβ(a＋χ－χ3)dχ＝∫0β(a＋χ－χ3)dχ＝0β(4a＋2β－β3)＝0，因为β＞0，所以4a＋2β－β3＝0．又因为(β，0)为曲线y＝a＋χ－χ3与χ轴的交点，所以有α＋β－β3＝0，从而有β－3aa－3a＋27a3＝0知识点解析：暂无解析12、曲线y＝(χ－1)(χ－2)和χ轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][1，2]，dv＝2πχ｜(χ－11)(χ－2)｜dχ＝－2πχ(χ－1)(χ－2)dχ，知识点解析：暂无解析13、设平面图形D由χ2＋y2≤2χ与y≥χ围成，求图形D绕直线χ＝2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，则dv＝2π(2－χ)(－χ，)dχ，知识点解析：暂无解析14、求曲线y＝3－｜χ2－1｜与χ轴围成的封闭图形绕y＝3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][0，1]，dv1＝π[32－(1－χ2)2]dχ＝π(8＋2χ2－χ4)dχ，V1＝∫01dv1＝π∫01(8＋2χ2－χ4)dχ，[χ，χ＋dχ][1，2]，dv2＝π[32－(χ2－1)2]dχ＝π[(8＋2χ2－χ4)dχ，V2＝∫12dv＝π∫12(8＋2χ2－χ4)dχ，则所求体积为V＝2(V1＋V2)＝2π∫02(8＋2χ2－χ4)dχ＝．知识点解析：暂无解析15、求由曲线y＝4－χ2与χ轴围成的部分绕直线χ＝3旋转一周所成的几何体的体积．标准答案：取[y，y＋dy][0，4]，则知识点解析：暂无解析16、曲线y＝χ2(χ≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与χ轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕χ轴旋转一周所成立体的体积．标准答案：设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为y－a2＝2a(χ－a)，即y＝2aχ－a2，由题意得S＝，解得a＝1，则切线方程为y＝2χ－1，旋转体的体积为知识点解析：暂无解析17、求摆线L：(a＞0)的第一拱绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设曲线＝1(0＜a＜4)与χ轴、y轴所围成的图形绕χ轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．标准答案：曲线与χ轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b＝4－a．曲线可化为y＝，对任意的[χ，χ＋dχ][0，a]，dV2＝2πχ.ydχ＝2πχ.dχ，于是V2＝，根据对称性，有V1＝ab2．于是V(a)＝V1(a)＋V2(a)＝a(4－a)令V′(a)＝(4－2a)＝0a＝2，又V〞(2)＜0，所以a＝2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)＝π．知识点解析：暂无解析19、设一抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c＝0，又曲线过点(1，2)，所以a＋b＝2，b＝2－a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与χ轴的两个交点为0，－，所以令S′(a)＝0，得a＝－4，从而b＝－6，所以当a＝－4，b＝6，c＝0时，抛物线与χ轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析20、设直线y＝kχ与曲线y＝所围平面图形为D1，它们与直线χ＝1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕χ轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求此时的D1＋D2．标准答案：(1)由方程组得直线与曲线交点为因为V〞(k)＞0，所以函数V(k)当k＝时取最小值，且最小值为(2)因为S(k)＝所以此时S＝知识点解析：暂无解析21、求摆线(0≤t≤2π)的长度．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设曲线y＝，过原点作切线，求此曲线、切线及χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的表面积．标准答案：设切点为(a，)，则过原点的切线方程为y＝，将(a，)代入切线方程，得a＝2，＝1，故切线方程为y＝χ，由曲线y＝在区间[1，2]上的一段绕χ轴一周所得旋转面的面积为切线y＝χ在区间[0，2]上一段绕χ轴一周所得旋转曲面面积为所求旋转曲面的表面积为S＝S1＋S2＝知识点解析：暂无解析23、一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．标准答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，χ轴铅直向下，取[χ，χ＋dχ][0，2R]，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，dω＝(2R－χ)×π[R2－(R－χ)2]×1×gdχ＝πχ(2R－χ)2gdχ，W＝∫02Rdω＝g．知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝χe2χ＋2∫01f(χ)dχ，求∫01f(χ)dχ．标准答案：令A＝∫01f(χ)dχ，f(χ)＝χe2χ＋2∫01f(χ)dχ两边积分得A＝∫01χe2χdχ＋2A，解得A＝∫01f(χ)dχ＝∫01χe2χdχ＝知识点解析：暂无解析25、讨论反常积分的敛散性，若收敛计算其值．标准答案：因为且α＝＜1，又因为且α＝＜1，所以收敛．于是＝2arcsinχ｜01＝π．知识点解析：暂无解析26、设f(χ)＝，求∫01f(χ)dχ．标准答案：∫01f(χ)dχ＝χf(χ)｜01－∫01χf′(χ)dχ知识点解析：暂无解析27、求曲线L：(a＞0)所围成的平面区域的面积．标准答案：令L：(0≤t≤2π)，第一卦限的面积为所求的面积为A＝4A1＝．知识点解析：暂无解析28、设L：(0≤t≤2π)．(1)求曲线L与χ轴所围成平面区域D的面积．(2)求区域D绕χ轴旋转一周所成几何体的体积．标准答案：(1)所求的面积为A＝∫02πaydχ＝∫02πa(1－cost).a(1－cost)dt＝a2∫02π(1－cost)2dt(2)所求体积为V＝π∫02πay2dχ＝π∫02πa2(1－cost)2.a(1－cost)dt＝2πa3∫02π＝16πa3∫0πsin6tdt＝＝5π2a3．知识点解析：暂无解析29、求曲线y＝与χ轴所围成的平面区域绕y轴旋转而成的几何体的体积．标准答案：取[χ，χ＋dχ][0，2]，则dV＝2πχ.y.dχ＝2πχ.dχ，所求的体积为知识点解析：暂无解析考研数学二（定积分及应用）模拟试卷第3套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2所围成的区域面积可表示为()．A、2cos2θdθB、4cos2θdθC、2D、(cosθ)2dθ标准答案：A知识点解析：双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2的极坐标形式为r2＝cos2θ，再根据对称性，有A＝4×cos2θdθ，选A．2、设f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且g(χ)＜f(χ)＜m，则由曲线y＝g(χ)，y＝f(χ)及直线χ＝a，χ＝b所围成的平面区域绕直线y＝m旋转一周所得旋转体体积为()．A、π∫ab[2m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχB、π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχC、π∫ab[m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχD、π∫ab[m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ标准答案：B知识点解析：由元素法的思想，对[χ，χ＋dχ][a，b]，dv＝{π[m－g(χ)]2－π[m－f(χ)]2)dχ＝π[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，则V＝∫abdv＝π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＝＋∫01χf(χ)dχ，则f(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：令∫01χf(χ)dχ＝k，则两边积分得∫01χf(χ)dχ＝＋∫01kχdχ，即k＝，所以k＝2(－1)，从而f(χ)＝．4、设f(χ)∈C[i，＋∞)，广义积分，∫1＋∞f(χ)dχ收敛，且满足f(χ)＝f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：令∫1＋∞f(χ)dχ＝A，则由f(χ)＝f(χ)dχ，得A＝解得A＝，所以f(χ)＝5、设f(χ)＝，则＝_______．标准答案：e-1－1知识点解析：6、设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝1，f(2)＝3，f′(2)＝5，则∫01χf〞(2χ)dχ＝_______．标准答案：2知识点解析：7、设f(χ)＝则∫-15f(χ－1)dχ＝_______．标准答案：＋ln3知识点解析：∫-15f(χ－1)dχ＝∫-15f(χ－1)d(χ－1)＝∫-24f(χ)dχ＝∫-20f(χ)dχ＋∫04f(χ)dχ8、＝_______(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：9、＝_______．标准答案：3知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、计算标准答案：χ＝1为被积函数的无穷间断点，则知识点解析：暂无解析11、设f(χ)在[a，b]上连续，且f(χ)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．标准答案：令g(φ)＝∫aχf(t)dt－∫χbf(t)dt，因为f(χ)在[a，b]上连续，且f(χ)＞0，所以g(a)＝－∫abf(t)dt＜0，g(b)＝∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)＝0，即∫aξf(χ)dχ＝∫ξbf(χ)dχ．知识点解析：暂无解析12、设f(χ)在[a，b]上连续，证明：∫abf(χ)dχ＝∫abf(a＋b－χ)dχ．标准答案：∫abf(χ)dχ∫abf(a＋b－t)(－dχ)＝∫abf(a＋b－t)dt＝∫abf(a＋b－χ)dχ知识点解析：暂无解析13、设f(χ)为连续函数，证明：(1)∫0πχf(sinχ)dχ＝f(sinχ)dχ＝πf(sinχ)dχ；(2)∫02π(｜sinχ｜)dχ＝4f(sinχ)dχ．标准答案：(1)令I＝∫0πχf(sinχ)dχ，则I＝∫0πχf(sinχ)dχ∫π0(π－t)f(sint)(－dt)＝∫0π(π－t)f(sint)dt＝∫0π(π－χ)f(sinχ)dχ＝π∫0πf(sinχ)dχ－∫0πχf(sinχ)dχ＝π∫0πf(sinχ)dχ－I，则I＝(2)∫02πf(｜sinχ｜)dχ＝∫-ππf(｜sinχ｜)dχ＝2∫0πf(｜sinχ｜)dχ＝2∫0πf(sinχ)dχ＝4f(sinχ)dχ．知识点解析：暂无解析14、证明：sinnχcosnχdχ＝2-nsinnχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(χ)连续，证明：∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χf(t)(χ－t)dt．标准答案：因为＝∫0χf(u)du，所以∫0χ[∫0tf(u)du]dt－∫0χf(t)(χ－t)dt≡C0，取χ＝0得C0＝0，故∫0χ[∫0tf(u)du]dt＝∫0χf(t)(t－t)dt．知识点解析：暂无解析16、设f(χ)连续且关于χ＝T对称，a＜T＜b．证明：∫abf(χ)dχ＝2∫Tbf(χ)dχ＋∫a2T-bf(χ)dχ．标准答案：由f(χ)关于χ＝T对称得f(T＋χ)＝f(T－χ)，于是∫T25-bf(χ)dχ∫Tbf(2T－u)(－du)＝－∫Tbf[T－(u－T)]du＝－∫Tbf[T＋(u－T)]du＝－∫Tbf(χ)dχ得∫Tbf(χ)dχ＋∫T2T+bf(χ)dχ＝0，故∫abf(χ)dχ＝∫abf(χ)dχ＋∫Tbf(χ)dχ＋∫T2T-bf(χ)dχ＝∫aTf(χ)dχ＋∫Tbf(χ)＋∫Tbf(χ)dχ＋∫T2T-bf(χ)dχ＝2∫Tbf(χ)dχ＋∫a2T-bf(χ)dχ知识点解析：暂无解析17、设f(a)＝f(b)＝0，∫abf2(χ)dχ＝1，f′(χ)∈C[a，b]．(1)求∫abχf(χ)f′(χ)dχ；(2)证明：∫abf′2(χ)dχ∫abχ2f2(χ)dχ≥．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．标准答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由积分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(χ)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ22f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析19、设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξ(χ)dχ．标准答案：令φ(χ)＝∫aχf(t)dt∫bχg(t)dt，显然φ(χ)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f(χ)∫bχg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(χ)dχ＋g(ξ)∫aξf(χ)dχ＝0，即f(ξ)∫ξbg(χ)dχ＝g(ξ)∫aξf(χ)dχ．知识点解析：暂无解析20、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．标准答案：令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因为F(0)＝F(χ)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因为sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0．设χ1是f(χ)在(0，π)内唯一的零点，则当χ∈(0，π)且χ≠χ1时，有sin(χ－χ1)f(χ)恒正或恒负，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0．而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾，所以f(χ)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)(0，π)，使得f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f′(χ)｜≤2．证明：｜∫02f(χ)dχ｜≤2．标准答案：由微分中值定理得f(χ)－f(0)＝f′(ξ1)χ，其中0＜ξ1＜χ，f(χ)－f(2)＝f′(ξ1)(χ－2)，其中χ＜ξ2＜2，于是从而｜∫02f(χ)dχ｜≤∫02｜f(χ)｜dχ＝∫01｜f(χ)｜dχ＋∫12｜f(χ)｜dχ≤∫012χdχ＋∫122－2(2－χ)dχ＝2．知识点解析：暂无解析22、设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫f(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．标准答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ0＝，由泰勒公式得F(a)＝F(χ0)＋F′(χ0)(a－χ0)＋(a－χ0)2＋(a－χ0)3，ξ1∈(a，χ0)，F(b)＝F(χ0)＋F′(χ0)(b－χ0)＋(b－χ0)2＋(b－χ0)3，ξ2∈(χ0，b)两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ0)(b－a)＋[F″′(ξ1)＋F″′(ξ2)]，即因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f〞(ξ)＝[f〞(ξ1)＋f〞(ξ2)]，从而知识点解析：暂无解析23、求曲线y＝cosχ()与χ轴围成的区域绕χ轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：Vχ取[χ，χ＋dχ][0，]，dVy＝2πχcosχdχ，故Vy＝知识点解析：暂无解析24、求曲线y＝χ2－2χ、y＝0、χ＝1、χ＝3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．标准答案：区域面积为知识点解析：暂无解析25、设L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e－χ、χ轴、y轴及χ＝a(a＞0)所围成平面区域绕χ轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)＝V(a)，求c．标准答案：(1)V(a)＝π∫0ae2χdχ＝(1－e-2a)．(2)由V(c)＝(1－e-2c)，解得c＝ln2．知识点解析：暂无解析26、设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数．(1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，证明(1)中的c是唯一的．标准答案：(1)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt＝－∫1cf(t)dt，即证明S1(c)＝S2(c)，或cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0．令φ(χ)＝χ∫1χf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ′(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命题得证．(2)令h(χ)＝χf(χ)－∫χ1f(t)dt，因为h′(χ)＝2f(χ)＋χf′(χ)＞0，所以h(χ)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．知识点解析：暂无解析27、求圆χ2＋y2＝2y内位于抛物线y＝χ2上方部分的面积．标准答案：由所围成的面积为知识点解析：暂无解析28、求双纽线(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)所围成的面积．标准答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令则双纽线的极坐标形式为r2＝a2cos2θ(0≤θ≤)，第一卦限的面积为所求面积为A＝4A1＝a2知识点解析：暂无解析29、抛物线y2＝2χ把圆χ2＋y2＝8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．标准答案：设左边的面积为S1，右边的面积为S2，知识点解析：暂无解析考研数学二（定积分及应用）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设M＝cos4χdχ，N＝(sin3χ＋cos4χ)dχ，P＝(χ2sin3χ－cos4χ)dχ，则有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：M＝cos4χdχ＝0，N＝(sin3χ＋cos4χ)dχ＝cos4χdχ＞0，P＝(χ2sin3χ－cos4χ)dχ＝cos4χdχ＜0，P＜M＜N，选D．2、设f(χ)＝F(χ)＝∫0χf(t)dt(χ∈[0，2])，则()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：当0≤χ≤1时，F(χ)＝∫0χt2dt＝；当1＜χ≤2时，F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫01tdt＋∫1χ(2－t)dt＝，故选B．3、下列广义积分发散的是()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、＝_______．标准答案：(2ln2－1)知识点解析：5、∫0χχsin(χ－t)2dt＝_______．标准答案：2sinχ2＋2χ2cosχ2知识点解析：∫0χχsin(χ－t)2dt＝χ∫0χsin(χ－t)2dtχ∫χ0sinu2(－du)＝χ∫0χsinu2du，原式＝(χ∫0χsin2du)〞＝(∫0χsin2du＋χsinχ2)′＝2sinχ2＋2χ2cosχ2．6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、∫02π｜sin｜dχ＝_______．标准答案：4π知识点解析：∫02πχ｜sinχ｜dχ＝∫0πχ｜sinχ｜dχ＋∫π2πχ｜sinχ｜dχ，而∫0πχ｜sinχ｜dχ＝∫0πχsinχdχ＝∫0πsinχdχ＝π，∫π2πχ｜sinχ｜dχ∫0π(π＋t)｜sint｜dt＝π∫0πsintdt＋∫0πtsintdt＝2π＋π＝3π．故∫02π｜sinχ｜＝4π．9、＝_______．标准答案：知识点解析：10、＝_______．标准答案：－1知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)11、当χ≥0时，f(χ)＝χ，设g(χ)＝当χ≥0时，求∫0χf(t)g(χ－t)dt．标准答案：∫0χf(t)g(χ－t)dt∫χ0f(χ－u)g(u)(－du)＝∫0χf(χ－u)g(u)du，(1)当0≤χ≤时，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝∫0χ(χ－u)sinudu＝－χ－sinχ；(2)当χ＞时，∫0χf(t)g(χ－t)dt＝(χ－u)sinudu＝χ－1，于是∫0χ￡)g(χ－t)dt＝知识点解析：暂无解析12、φ(χ)＝∫sinχcos2χln(1＋t2)dt，求φ′(χ)．标准答案：φ′(χ)＝－2ln(1＋cos2χ)sin2χ－ln(1＋sin2χ)cosχ知识点解析：暂无解析13、设φ(χ)＝∫0χ(χ－t)2f(t)dt，求φ″′(χ)，其中f(χ)为连续函数．标准答案：φ(χ)＝χ2∫0χf(t)dt－2χ∫0χtf(t)dt＋∫0χt2f(t)dt，φ′(χ)＝2χ∫0χf(t)dt＋χ2f(χ)－2∫0χtf(t)dt－2χ2f(χ)＋χ2f(χ)＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt，φ〞(χ)＝2∫0χf(t)dt＋2χf(χ)－2χf(χ)＝2∫0χf(t)dt，φ″′(χ)＝2f(χ)．知识点解析：暂无解析14、设φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)dt，求φ′(χ)，其中a＞0，b＞0．标准答案：φ(χ)＝∫abln(χ＋t)d(χ＋t)＝lndu，φ′(χ)＝2χln(χ2＋b)－2χln(χ2＋a)＝2χln(χ2＋a)＝2χln知识点解析：暂无解析15、设f(χ)连续，且F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt．证明：(1)若f(χ)是偶函数，则F(χ)为偶函数；(2)若f(χ)单调不增，则F(χ)单调不减．标准答案：(1)设f(－χ)＝f(χ)，因为F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt(－χ＋2u)f(－u)(－du)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝F(χ)，所以F(χ)为偶函数．(2)F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt＝χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt，F′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，其中ξ介于0与χ之间，当χ＜0时，χ≤ξ≤0，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0，当χ≥0时，0≤ξ≤χ，因为f(χ)单调不增，所以F′(χ)≥0，从而F(χ)单调不减．知识点解析：暂无解析16、设f(χ)＝≤0，求∫02f(χ－