考研数学二（常微分方程）模拟试卷2（共98题）

考研数学二（常微分方程）模拟试卷2（共4套）（共98题）考研数学二（常微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为()．A、(C1＋C2χ)e2χ－B、(C1＋C2χ)e-2χ－C、C1e-2χ＋C2e2χ－D、C1e-2χ＋C2e2χ－标准答案：D知识点解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y〞－4y＝0的通解为C1e－2χ＋C2e2χ，显然方程y〞－4y＝χ＋2有特解，选D．2、设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ中，令χ＝0，则y〞(0)＝2，于是，故选A．3、二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式为()．A、(aχ＋b)e－χB、χ2e－χC、χ2(aχ＋b)e－χD、χ(aχ＋b)e－χ标准答案：D知识点解析：方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特征方程为λ2－2λ－3＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝3，故方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式为χ(aχ＋b)e－χ，选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、微分方程χy′＝＋y的通解为_______．标准答案：arcsin＝ln｜χ｜＋C知识点解析：暂无解析5、设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．标准答案：－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)．知识点解析：显然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程为λ2＋λ－12＝0，特征值为λ1＝－4，λ2＝3．因为χ2＋3χ＋2为特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一个特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝－12χ2－34χ－19，且通解为y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)．6、以y＝C1e-2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．标准答案：y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ知识点解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y〞＋y′－2y＝Q(χ)，把y＝cosχ代入原方程，得Q(χ)＝－sinχ－3cosχ，所求微分方程为y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ．7、设y〞－3y′＋ay＝－5e-χ的特解形式为Aχe-χ，则其通解为_______．标准答案：y＝C1e－χ＋C2e－4χ＋χe－χ知识点解析：因为方程有特解Aχe－χ，所以－1为特征值，即(－1)2－3×(－1)＋a＝0，则推出a＝－4，所以特征方程为λ2＝－3λ－4＝0λ1＝－1，λ2＝4，齐次方程y〞－3y′＋ay＝0的通解为y＝C1e－χ＋C2e4χ，再把Aχe－χ代入原方程得A＝1，原方程的通解为y＝C1e－χ＋C2e－4χ＋χe－χ．8、设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χ(χt)]dt＝1，则f(χ)＝_______．标准答案：e－χ知识点解析：由∫11[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1得∫01f(χ)dt＋∫01f(χt)d(χt)＝1，整理得f(χ)＋∫0χf(u)du＝1，两边对χ求导得f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－χ，因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e－χ．9、设y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且有y(1)＝1，则∫02y(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：由△y＝＋o(△χ)得函数y＝y(χ)可微且y′＝，积分得因为y(1)＝1，所以C＝0，于是y(χ)＝，故三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数．(1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．标准答案：代入原方程得y〞－y＝sinχ，特征方程为r2－1＝0，特征根为r1,2＝±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*＝acosχ＋bsinχ，代入方程得a＝0，b＝－，故y*＝－sinχ，于是方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－χ－sinχ，由初始条件得C1＝1，C2＝－1，满足初始条件的特解为y＝eχ－e－χ－sinχ．知识点解析：暂无解析11、设函数f(χ，y)可微，＝－f(χ，y)，f(0，)＝1，且＝ecoty，求f(χ，y)．标准答案：解得f(0，y)＝Csiny．由f(0，)＝1，得C＝1，即f(0，y)＝siny．又由＝－f(χ，y)，得lnf(χ，y)＝－χ＋lnφ(y)，即f(χ，y)＝φ(y)e－χ，由f(0，y)＝siny，得Pφ(y)＝siny，所以f(χ，y)＝e－3siny．知识点解析：暂无解析12、设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)；(2)f(χ)的极值．标准答案：(1)由题设知π∫1af2(χ)dχ＝[a2－f(a)－f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)＝2af(a)＋a2，令，即f(a)＝，由f(1)＝，得c＝－1，所以f(χ)＝．(2)因为f′(χ)＝，令f′(χ)＝0，得χ＝，又因为f〞()＜0，所以为极大值．知识点解析：暂无解析13、设函数f(χ)满足χf′(χ)－2f(χ)＝－χ，且由曲线y＝f(χ)，χ＝1及χ轴(χ≥0)所围成的平面图形为D．若D绕χ轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(χ)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线χ＝1所围成的平面图形的面积．标准答案：(1)由χf′(χ)－2f(χ)＝－χf(χ)＝χ＋cχ2．设平面图形D绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则因为V〞(c)＝＞0，所以c＝－为V(c)的最小值点，且曲线方程为fχ)＝χ－χ2．(2)f′(χ)＝1－χ，f′(0)＝1，曲线f(χ)＝χ－χ2在原点处的切线方程为y＝χ，则A＝知识点解析：暂无解析14、位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．标准答案：因为p(2)＝0，所以C1＝0，故y′＝P＝±，进一步解得，因为y(0)＝2，所以C2＝0，故曲线方程为y＝＋2．知识点解析：暂无解析15、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：曲线在点(χ，y)处的切线方程为y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则Y＝y－χy′，切线与y轴的交点为(0，y－χy′)，南题χ2得χ2y′2，＝4，解得y′＝±，变量分离得dy＝±dχ，积分得y＝＋C因为曲线经过点(2，0)，所以C＝0，故曲线为y＝知识点解析：暂无解析16、设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．标准答案：对曲线L1，由题意得＝2，解得y＝χ(2χ＋C1)，因为曲线L1过点(1，1)，所以C1＝－1，故L1：y＝2χ2－χ．对曲线L1，由题意得(χy)＝2，解得y＝，因为曲线L2过点(1，1)，所以C2＝－1，故L2：y＝2－．由2χ2－χ－2＝得两条曲线的交点为(，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为知识点解析：暂无解析17、用变量代换χ＝sint将方程(1－χ2)－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：代入原方程得－4y＝0．－4y＝0的通解为y＝C1－2t＋C2e2t，故原方程的通解为y＝C1e－2arcsinχ＋C2e2arcsinχ．知识点解析：暂无解析18、用变量代换χ＝lnt将方程＋e2χy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：代入原方程得＋y＝0．＋y＝0的通解为y＝C1cost＋C2sint，故原方程的通解为y＝C1coseχ＋C2sineχ．知识点解析：暂无解析19、设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程，并求函数y(χ)的极值．标准答案：因为曲线是上凸的，所以y〞＜0，由题设得令y′＝p，y〞＝，则有＝－(1＋p2)arctanp＝C1－χ．因为曲线y＝y(χ)在点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，所以P｜χ＝0＝1，从而y′＝tan(－χ)，积分得y＝ln｜cos(－χ)｜＋C2．因为曲线过点(0，1)，所以C2＝1＋，所求曲线为y＝lncos(－χ)＋1＋，χ∈()．因为cos(－χ)≤1，所以当χ＝时函数取得极大值1＋．知识点解析：暂无解析20、飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．标准答案：(1)设t时刻导弹的位置为M(χ，y)，根据题意得，两边对χ求导数得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为(2)令，则故轨迹方程为y＝．知识点解析：暂无解析21、细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，则有＝kS，S(0)＝100，S(24)＝400，所以S＝，S(12)＝100eln2＝200．知识点解析：暂无解析22、某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t＋dt]，排入湖中污染物A的含量为，流出湖的污染物A的含量为，则在此时间元素内污染物A的改变量为，解得m＝又由m(0)＝5m0，得C＝－，于是m＝，令m＝m0，得t＝6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析23、在t＝0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为，m1(t)，m2(t)，在时间[t，t＋dt]内有dm1＝－×2×dt，即＝0，且满足初始条件，m1(0)＝150，解得m1(t)＝；在时间[t，t＋dt]内有，且满足初始条件m2(0)＝150．知识点解析：暂无解析24、某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．标准答案：输入率为2500卡／天，输出率为(1200＋16w)，其中w为体重，根据题意得，ω(0)＝ω0，由，得w(t)＝，代入初始条件得C＝w0－，于是w(t)＝．知识点解析：暂无解析25、一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?标准答案：设链条的线密度为ρ，取χ轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂χ(t)m，则下垂那段的长度为(10＋χ)m，另一段长度为(8－χ)m，此时链条受到的重力为(10＋χ)ρg－(8－χ)ρg＝2(χ＋1)ρg．链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F＝ma得，且χ(0)＝0，χ′(0)＝0，解得χ(t)＝，当链条滑过整个钉子时，χ＝8，知识点解析：暂无解析26、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?标准答案：由题意得F＝k，因为当t＝10时，v＝50，F＝39．2，所以k＝196，从而F＝196，又因为F＝m，所以，分离变量得vdv＝196tdt，所以v2＝98t2＋C，由v｜t＝10＝50，得C＝－8550，于是知识点解析：暂无解析27、设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．标准答案：根据题意得∫0χf(t)dt＝，所以分离变量得＝±dχ，积分得lnC(y＋)＝±χ，或者C(y＋)＝e±χ，由y(0)＝1，得C＝1，所以y＋＝e±χ，解得y＝＝chχ．知识点解析：暂无解析28、设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．标准答案：因为χ∫01f(tχ)dt＝∫0χf(u)du，所以f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0可化为f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2∫0χf(t)dt＋e－χ＝0，两边对χ求导得f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ，由λ2＋3λ＋2＝0得λ1＝－1，λ2＝－2，则方程f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝0的通解为C1e－χ＋C2e－2χ．令f〞(χ)＋3f′(χ)＋2f(χ)＝e－χ的一个特解为y0＝aχe－χ，代入得a＝1，则原方程的通解为f(χ)＝C1e－χ＋C2e－2χ＋χe－χ．由f(0)＝1，f′(0)＝－1得C1＝0，C2＝1，故原方程的解为f(χ)＝e－2χ＋χe－χ．知识点解析：暂无解析29、早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)＝a(t－T)，又b×H(t)×△s＝c×△t，且S(12)＝0，S(14)＝2，S(16)＝3，知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：原方程可化为其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(C)=π∫01(x+Cx2)2=令V’(C)=，得。故是唯一的极值点，则为最小值点，所以。故选C。2、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2—y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D。3、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C2sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。标准答案：D知识点解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1，λ=±2i，所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0。故选D。4、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0，特征根为λ1=1，λ2=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、微分方程的通解是______。标准答案：y=Cxe—x(x≠0)知识点解析：原方程等价为两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜一x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe—x(x≠0)。6、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______。标准答案：知识点解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，代入初始条件得c=2，故所求特解为xy=2，即。7、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=______。标准答案：(x+C)cosx知识点解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知y=e—∫tanxdx(∫cosx·e∫tanxdx+C)=(x+C)cosx。8、微分方程y’+y=e—xcosx满足条件y(0)=0的特解为______。标准答案：y=e—xsinx知识点解析：原方程的通解为y=e—∫ldx(∫e—xcosx·e∫ldxdx+C)=e—x(∫cosxdx+C)=e—x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e—xsinx。9、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y｜x=1=的特解为______。标准答案：知识点解析：原方程变形为由一阶线性微分方程通解公式得由得C=1，因此所求的解为10、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x。11、微分方程y’’一y’+=0的通解为______。标准答案：知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=。因此齐次方程的通解为。12、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为______。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为λ2一2λ+2=0，解得其特征根为λ1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。13、若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=______。标准答案：x(1一ex)+2知识点解析：由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有y’’1+ay’1+by1=(1+a+b)ex=0=>1+a+b=0，y’’2+ay’2+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=0=>2+a=0，从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。设特解y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即Ax+(一2A+B)=x所以特解为y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解为y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。标准答案：齐次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。即对应齐次方程的通解为y=C1e2x+C2ex。设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex，则有(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex，(y*)’’=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解为y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。知识点解析：暂无解析设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。15、将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；标准答案：由反函数的求导公式知，于是有代入原微分方程得y’’—y=sinx。知识点解析：暂无解析16、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的特解。标准答案：方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e—x。设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx．代入方程(*)，求得A=0，，故y*=sinx，因此y’’一y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e—x—。由y(0)=0，y’(0)=，得C1=1，C2=一1。故所求初值问题的特解为y=ex—e—x一。知识点解析：暂无解析17、设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e—2xf(x，x)，有y’(x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]，由f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v可得f’1(x，x)+f’2(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解为y(x)=e—2x(∫sin2x·e2xdx+C)，由分部积分公式，可得∫sin2x·e2xdx=(sin2x一cos2x)e2x，所以y(x)=(sin2x一cos2x)+C—2x。知识点解析：暂无解析18、设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv。求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e—2xf(x，x)，两边对x求导有y’=一2e—2xf(x，x)+e—2xf’1(x，x)+e—2xf’2(x，x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]=一2y+e—2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]。已知f’u(u，v)+f’v(u，v)=uv，即f’1(u，v)+f’2(u，v)=uv，则f’1(x，x)+f’2(x，x)=x2。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e—2x。由一阶线性微分方程的通解公式得y=e∫2dx(∫x2e—2xe∫2dxdx+C)=e—2x(∫x2dx+C)=e—2x(C为任意常数)。知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。标准答案：由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2，即当0≤x＜π时，y’’+y+x=0，得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得y｜x=0=π，y’｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知识点解析：暂无解析20、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。标准答案：曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为令x=0，则它与y轴的交点为。由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被x轴平分，由中点公式得，即2ydy+xdx=0，上式两端积分得(C为任意常数)，代入初始条件得故曲线y=f(x)的方程为即x2+2y2=1。知识点解析：暂无解析在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。21、求L的方程；标准答案：设曲线L的方程为y=f(x)，则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中，Q(x)=ax，代入通解公式得=x(ax+C)=ax2+Cx，又f(1)=0，所以C=一a。故曲线L的方程为y=ax2一ax(x≠0)。知识点解析：暂无解析22、当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。标准答案：L与直线y=ax(a＞0)所围成的平面图形如图所示。所以D=∫02[ax一(ax2一ax)]dx=a∫02(2x—x2)dx=，故a=2。知识点解析：暂无解析设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点。23、试求曲线L的方程；标准答案：设曲线L过点p(x，y)的切线方程为Y一y=y’(X一x)，令X=0，则Y=一xy’+y，即它在y轴上的截距为一xy’+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为。故由题设条件得即得此为一阶齐次微分方程，令y=ux，则代入上式，方程变为两端同时积分得=一lnx+C，即把代入上式，得由题设曲线经过点，解得，故所求方程为知识点解析：暂无解析24、求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。标准答案：由上题知曲线的方程为则y’一2x，点P(x，y)=，所以在点P处的切线方程为Y一(一x2)=一2x(X一x)，分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为此切线与两坐标轴围成的三角形面积为由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2—S0，求最值点时与S0无关，而令S’(x)=0，得。当时，S’(x)＜0；当时，S’(x)＞0。根据极值存在的第一充分条件知，是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。故选C。2、设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由已知条件可得由λy1+λy2仍是该方程的解，得(λy’1+μy’2)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1。由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy’1一μy’2)+p(x)(λy1一μy1)=(λ一μ)q(x)，则λ一μ=0。综上所述。故选A。3、具有特解y1=e—x，y2=2xex，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0。故选B。4、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。标准答案：B知识点解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2。故选B。5、微分方程y’’一λ2y=eλx+e—λx(λ＞0)的特解形式为()A、a(eλx+e—λx)。B、ax(eλx+e—λx)。C、x(aeλx+be—λx)。D、x2(aeλx+be—λx)。标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1，2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe—λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx+be—λx)。故选C。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为______。标准答案：知识点解析：将已知微分方程变形整理得，则有两边积分可得因此7、微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=______。标准答案：xe1—x知识点解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有所以原方程可化为，u｜x=1=1。解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1—x，因此原方程的解为y=xe1—x。8、微分方程xy’+2y=sinx满足条件y｜x=π=的特解为______。标准答案：知识点解析：将已知方程变形整理得根据通解公式得由得C=0，因此9、微分方程(y+x2e—x)dx一xdy=0的通解是y=______。标准答案：x(一e—x+C)知识点解析：微分方程(y+x2e—x)dx一xdy=0，可变形为所以其通解为10、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0满足条件y｜x=1的特解为______。标准答案：x=y2知识点解析：对原微分方程变形可得，即此方程为一阶线性微分方程，所以又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解为______。标准答案：知识点解析：令p=y’，则原方程化为其通解为p=Cx—3。因此y=∫Cx—3dx=12、微分方程y’’一4y=e2x的通解为______。标准答案：y=C1e—2x+(C2+)e2x知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解为y1=C1e—2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出。故所求通解为y=C1e—2x+(C2+)e2x。13、微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为______。标准答案：y=一3ex+3e2x一2xex知识点解析：y’’一3y’+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的两个特征根分别是λ1=1，λ2=2。因此对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x。又因为x=1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为y*=Axex，则(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，将以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex。由所给题设条件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、求微分方程(x2一1)dy+(2xy—cosx)dx=0满足y(0)=1的解。标准答案：整理微分方程(x2一1)dy+(2xy一cosx)dx=0，得先解对应的齐次方程解得ln｜y｜=一ln｜x2一1｜+C，即有将上式代入原微分方程得到故C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为又因为y(0)=1，代入上式得到c=一1，则原微分方程的解为。知识点解析：暂无解析已知函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex。15、求f(x)的表达式；标准答案：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为λ2+λ一2=0，特征根为λ1=1，λ2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e—2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e—2x=2ex，因此C1=1，C2=0。所以f(x)的表达式为f(x)=ex。知识点解析：暂无解析16、求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。标准答案：曲线方程为y=ex2∫0xe—t2dt，则y’=1+2xex2∫0xe—t2dt=2x+2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt，令y’’=0得x=0。下面证明x=0是y’’=0唯一的解，当x＞0时，2x＞0，2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt＞0，可知y’’＞0；当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe—t2dt＜0，可知y’’＜0。可知x=0是y’’=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt唯一的拐点。知识点解析：暂无解析17、求微分方程y’’(x+y2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解。标准答案：因本题不含y，所以可设y’=p，于是y’’=p’，因此原方程变为p’(x+p2)=p，从而有，解之得x=p(p+C)。将p(1)=1代入x=p(p+C)得C=0。于是x=p2，所以，从而结合y(1)=1得。故。知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。18、求导数f’(x)；标准答案：由题设知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得(x+1)f’(x)=一(x+2)f’(x)，即有两边积分，得ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有知识点解析：暂无解析19、证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。标准答案：由上题中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e—x，则φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e—x=，当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e—x。综上所述，当x≥0时，不等式e—x≤f(x)≤1成立。知识点解析：暂无解析20、设f(x)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tsinsds，求f(t)。标准答案：因f(t)连续，因此∫0tf(s)sinsds可导，从而f(t)可导，于是f(t)=cos2t+∫01f(s)sinsds，所以利用公式f(t)=e∫sintdt(∫—2sin2t·e∫sintdt+C)，由f(0)=1得C=e。因此，f(t)=e1—cost+4(cost一1)。知识点解析：暂无解析21、用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解。标准答案：代入原方程，得解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+，将y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故满足条件的特解为。知识点解析：暂无解析22、利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。标准答案：由，得y’=u’secx+usecxtanx，y’’=u’’secx+2u’secxtanx+u(sectan2x+sec3x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得u’’+4u=ex。(*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为u*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)*+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得A=，因此u*(x)=ex。故(*)的通解为u(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1，C2为任意常数)。所以，原微分方程的通解为知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)一y2(x)]。标准答案：D知识点解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。2、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。标准答案：C知识点解析：方程y’’+P(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。3、函数y=C1ex+C2e－2x+xex满足的一个微分方程是()A、y’’一y’一2y=3xex。B、y’’一y’一2y=3ex。C、y’’+y’一2y=3xex。D、y’’+y’一2y=3ex。标准答案：D知识点解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0，故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选D。4、微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C、y*=ax2+bx+c+Asinx。D、y*=ax2+bx+c+Acosx。标准答案：A知识点解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、微分方程xy’=yln的通解为_________。标准答案：y=x．eCx＋1知识点解析：令y=xμ，代入原方程，则有xμ’+μ=μlnμ,即，两边求积分，即得ln｜lnμ一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx＋1，C为任意常数。6、微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_________。标准答案：tany=C(ex一1)3知识点解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解为tany=C(ex一1)3。7、微分方程满足y｜x=1=1的特解为_________。标准答案：y=，x＞e－1知识点解析：令μ=，则原方程变为，分离变量得即，将y｜x=1=1代入上式得C=e。故满足条件的方程的特解为ex=，x＞e－1。8、微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的特解为_________。标准答案：y=知识点解析：原方程可等价为y’+y=lnx，于是通解为9、微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是_________。标准答案：x=y2+y知识点解析：将x看作未知函数，则=y。上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则x==elny(∫y．e－lnydy+C)=y(∫dy+C)=y(y+C)，将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。10、设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。标准答案：y’’一2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为(λ—λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程为y’’一2y’+2y=0。11、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________。标准答案：y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)知识点解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0。解得λ1，2==一1±2i。则原方程的通解为y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)。12、二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=_________。标准答案：y=C1eX+C2e3x一2e2x知识点解析：特征方程为λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。则对应齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x。设非齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=一2。故通解为y=C1ex+C2e3x—2e2x。13、三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=________。标准答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx知识点解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)14、求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)满足初始条件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。标准答案：令y’=p，则y’’=，将之代入原方程，得一ap2=0，分离变量并积分=∫adx，由此得=ax+C1，由x=0，y’=0，y’=p=一1，得C1=1，即由x=0，y=0，得C2=0，所以y=ln(ax+1)。知识点解析：暂无解析已知函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)一2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex。15、求f(x)的表达式；标准答案：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为λ2+λ一2=0，特征根为λ1=1，λ2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e－2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e－2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f(x)的表达式为f(x)=ex。知识点解析：暂无解析16、求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt