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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)2.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()A. B.1 C. D.23.已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则()A.2 B.2 C.4 D.64.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.5.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.6.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-137.已知函数,,若对任意的总有恒成立,记的最小值为,则最大值为()A.1 B. C. D.8.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.9.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.11.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④12.已知复数z,则复数z的虚部为()A. B. C.i D.i二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设双曲线的左焦点为,过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于,两点若,则的离心率为________.14.直线过圆的圆心,则的最小值是_____.15.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.16.在四棱锥中,底面为正方形,面分别是棱的中点,过的平面交棱于点,则四边形面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?18.(12分)已知椭圆的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.(I)求椭圆C的方程;(II)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线交于点Q,且,求点P的坐标.19.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.20.(12分)如图,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分别为,,的中点,以为折痕将折起,使点到达点位置(平面).(1)若为直线上任意一点,证明:MH∥平面;(2)若直线与直线所成角为,求二面角的余弦值.21.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点在上,点在上,求的最小值以及此时的直角坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.2.B【解析】
先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.3.C【解析】
根据列方程,由此求得的值,进而求得.【详解】由于,所以,即,解得.所以所以.故选:C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,考查向量模的求法,属于基础题.4.C【解析】
先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.5.C【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.6.B【解析】
由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.7.C【解析】
对任意的总有恒成立,因为,对恒成立,可得,令,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立,对恒成立,令,可得令,得当,当,,故令,得当时,当,当时,故选:C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题,解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.8.B【解析】
根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.9.D【解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.10.C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.11.D【解析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.【详解】,,,当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;,,故,函数关于对称,故④正确;根据图像知:①③不正确;故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.12.B【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】,则复数z的虚部为.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设直线的方程为,与联立得到A点坐标,由得,,代入可得,即得解.【详解】由题意,直线的方程为,与联立得,,由得,,从而,即,从而离心率.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.14.【解析】
直线mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)经过圆x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圆心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,当且仅当m=n时取等号.∴则的最小值是4.故答案为:4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.15.【解析】
试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.考点:几何体的体积的计算.16.【解析】
设是中点,由于分别是棱的中点,所以,所以,所以四边形是平行四边形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四边形是矩形.而.从而.故答案为:.【点睛】本小题主要考查空间平面图形面积的计算,考查线面垂直的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2)当时,AC与平面PCD所成的角为.【解析】
(1)连接交于,由相似三角形可得,结合得出,故而平面;(2)过作,可证平面,根据计算,得出的大小,再计算的长.【详解】(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F为垂足,连接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC与平面PCD所成的角,,,,,,时,AC与平面PCD所成的角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定与线面角的计算,属于中档题.18.(I).(II)【解析】
(I)写出坐标,利用直线与直线垂直,得到.求出点的坐标代入,可得到的一个关系式,由此求得和的值,进而求得椭圆方程.(II)设出点的坐标,由此写出直线的方程,从而求得点的坐标,代入,化简可求得点的坐标.【详解】(I)∵椭圆的左焦点,上顶点,直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率,即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得:∴∴椭圆的方程为.(II)设由(I)易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是:由得:又点P在椭圆上,故∴∴∴或(舍)∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查两直线垂直的条件,考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中,首先阅读清楚题意,题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的,向量的数量积对应的坐标都有哪一些,应该怎么得到,这些在读题的时候需要分析清楚.19.(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)依题意在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由参变分类可得,令,利用导数研究的单调性、极值,从而得到参数的取值范围;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:,即:,只需证:,设,即证:,再分别证明,即可;【详解】解:(Ⅰ)由题意可知,,在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由可得,,令,则,令,可得,当时,,所以在上单调递减,且当时,单调递增;当时,单调递减;所以是的极大值也是最大值,又当,当大于0趋向与0,要使在有两个根,则,所以的取值范围为;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:即:,只需证:设,即证:要证,只需证:令,则在上为增函数,即成立;要证,只需证明:令,则在上为减函数,,即成立成立,所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式,属于难题;20.(1)见解析(2)【解析】
(1)根据中位线证明平面平面,即可证明MH∥平面;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连接,∵,,分别为,,的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)连接,在和中,由余弦定理可得,,由与互补,,,可解得,于是,∴,,∵,直线与直线所成角为,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵为中点,,∴平面,如图所示,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,∴,即.令,则,,可得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,∴,∴二面角的余弦值为.
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