考研数学（数学一）模拟试卷6（共225题）

考研数学（数学一）模拟试卷6（共9套）（共225题）考研数学（数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．2、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、不连续B、连续但不可偏导C、可偏导但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：3、点M(2，1，—1)到直线L：的距离为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：显然M0(1，0，1)为直线L上一点，直线L的方向向量为4、设幂级数()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性不能确定标准答案：A知识点解析：令3x+1=t，则级数的收敛半径R≥2，因为1＜R，所以当t=1时，级数绝对收敛，应选(A)．5、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A2～B2，则A～B2B、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C、若A，B的特征值相同，则A～BD、若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化标准答案：D知识点解析：由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩阵P1，使得P1—1AP1=B，即A=P1BP1—1；6、设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．A、向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B、向量组(Ⅰ)线性相关C、向量组(Ⅱ)线性相关D、向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n即向量组(Ⅲ)线性相关，应选(D)．7、设P(A｜B)=P(B｜A)=，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：8、设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数，且F(x)=∫—∞xf(t)dt，则对任意常数a＞0，P{｜X｜＞a)为()．A、2—2F(a)B、1一F(a)C、2F(a)D、2F(a)一1标准答案：A知识点解析：P{｜X｜＞a}=1一P{｜X｜≤a}=1一P{一a≤X≤a}=1一F(a)+F(一a)，而F(—a)=∫—∞—af(x)dx∫+∞a(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1一∫—∞af(t)dt=1一F(a)，所以P{｜X｜＞a}=2—2F(a)，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、=___________．标准答案：2ln2知识点解析：10、设y=y(x)由=___________．标准答案：知识点解析：11、微分方程yy"=y2y’+y’2满足y(0)=1，y’(0)=2的特解为___________．标准答案：=x—ln2知识点解析：12、设A，B为三阶矩阵，A～B，λ=一l，λ=1为矩阵A的两个特征值，又｜B—1｜==___________．标准答案：知识点解析：因为｜B—1｜=，所以｜B｜=3，义因为A～B，所以A，B有相同的特征值，设A的另一个特征值为λ3，由｜A｜=｜B｜=λ1λ2λ3，得λ3=一3，因为A一3E的特征值为一4，一2，一6，所以｜A一3E｜=一48．13、设总体X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为___________．标准答案：t(1)知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、计算二重积分｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x，y≤1}．标准答案：令D1={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0)，D2=D／D1，知识点解析：暂无解析15、设f(x)∈c[a，b]且f(x)为单调增函数，若f(a)＜0，∫abf(x)dx＞0，证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．标准答案：(Ⅰ)由积分中值定理，∫abf(x)dx=f(c)(b一a)＞0，其中c∈[a，b]，显然f(c)＞0且c∈(a，b]．因为f(a)f(c)＜0，所以由零点定理，存在x0∈(a，c)，使得f(x0)=0．再由f(x)单调增加得，当x∈[a，x0)时，f(x)＜0；当x∈(x0，b]时，f(x)＞0．令F(x)=∫axf(t)dt，显然F(x0)＜0，F(b)＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=0．(Ⅱ)令φ(x)=ex∫axf(t)dt，φ(a)=φ(ξ)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，ξ)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e—x[f(x)一∫axf(t)dt]且e—x≠0，故∫aηf(x)dx=f(η)．知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)=(x一6)(y+8)，求函数f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数g(x，y)，并求g(x，y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤25}上的最大值与最小值．标准答案：函数f(x，y)的梯度为gradf(x，y)={y+8，x一6}，=gradf．(cosα，cosβ)=gradf．e=｜gradf｜cosθ，其中e为射线对应的单位向量，θ为梯度与射线的夹角，则g(x，y)=｜gradf｜=．令H(x，y)=(x一6)2+(y+8)2，当x2+y2＜25时，因为在x2+y2＜25内无解，所以H(x，y)的最大值与最小值在区域D的边界上取到．当x2+y2=25，令F(x，y，λ)=(x一6)2+(y+8)2+λ(x2+y2一25)，由因为H(3，一4)=25，H(一3，4)=225，所以g(x，y)在区域D上的最大值和最小值分别为15和5．知识点解析：暂无解析17、求曲面积分xdydz+xzdzdx，其中，∑：x2+y2+z2=1(z≥0)取上侧．标准答案：令∑：z=0(x2+y2≤1)，取下侧，则知识点解析：暂无解析18、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状．若它在进人大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多少时间?标准答案：设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，知识点解析：暂无解析19、设A=，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．标准答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即知识点解析：暂无解析20、设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．标准答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，｜A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2—x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析21、设(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=(Ⅰ)求常数k；(Ⅱ)求X的边缘密度；(Ⅲ)求当X=x(0≤x≤)下Y的条件密度函数fY｜X(y｜x)．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设随机变量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ2，令求：(Ⅰ)D(Y)，D(Z)：(Ⅱ)ρYZ．标准答案：(Ⅰ)因为X1，X2，…，Xm+n相互独立，所以D(Y)=(Xm—k)=nσ2．(Ⅱ)Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm—1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n一m)σ2，则ρYZ=．知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、曲线y＝＋ln(1＋eχ)的渐近线条数为()A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：D知识点解析：首先，χ＝0和χ＝1是两个明显的间断点，且y＝∞，y＝∞，所以χ＝0和χ＝1是两条垂直渐近线；其次，y＝＋∞，y＝0，所以沿χ→＋∞方向没有水平渐近线，沿χ→∞方向有一条水平渐近线y＝0。最后，所以沿着χ→∞方向有一条斜渐近线y＝χ，沿着χ→－∞方向，由于有一条水平渐近线，因此没有斜渐近线。综上所述，曲线共有4条渐近线，故选D。2、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则()A、函数∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt必是奇函数。B、函数∫0χt2[f(t)－f(－t)]dt必是奇函数。C、函数∫0χ[f(t)]3dt必是奇函数。D、函数∫0χf(t3)dt必是奇函数。标准答案：A知识点解析：令F(χ)＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]，由题设知F(χ)是(－∞，＋∞)上的连续函数，且F(－χ)＝(－χ)2[f(－χ)＋f(χ)]＝χ2[f(χ)＋f(－χ)]＝F(χ)，即F(χ)是偶函数，于是对任意的χ∈(－∞，＋∞)，G(χ)＝∫0χt2[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χf(t)dt，满足G(－χ)＝∫0－χF(t)dt∫0χF(－u)(－du)＝－∫F(－u)du＝－F(u)du＝－G(χ)，即G(χ)是奇函数，故选项A正确。3、若y＝χeχ＋χ是微分方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c的解，则()A、a＝1，b＝1，c＝1。B、a＝1，b＝1，c＝－2。C、a＝－3，b＝－3，c＝0。D、a＝－3，b＝1，c＝1。标准答案：B知识点解析：由于y＝χeχ＋χ是微分方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c的解，则χeχ是对应齐次方程的解，其特征方程r2－2r＋a＝0有二重根r1＝r2＝1，则a＝1；χ是非齐次方程的解，将y＝χ代入方程y〞－2y′＋ay＝bχ＋c知b＝1，c＝－2。故选B。4、设有命题①若正项级数un满足＜1，则级数un收敛。②若正项级数un收敛≤1。③若＝1，则级数an和bn同敛散。④若数列{an}收敛，则级数(an+1－an)收敛。以上四个命题中正确的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：A知识点解析：④是正确的，因为级数(an+1－an)的部分和数列为Sn＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an+1－an)＝an+1－a1，因数列{an}收敛，an＝0，Sn存在，级数(an+1－an)收敛。①不正确。例如，满足＜1，但是并不收敛。②不正确。正项级数un收敛，但极限不一定存在，如是收敛的，事实上，但是不存在。③不正确。例如容易验证＝1，但级数bn收敛，而是发散的。故选A。5、设矩阵Am×n经过若干次初等行变换后得到B，现有4个结论，其中正确的是()①A的行向量均可由B的行向量线性表示；②A的列向量均可由B的列向量线性表示；③的行向量均可由A的行向量线性表示；④B的列向量均可由A的列向量线性表示。A、①、②B、①、③C、②、③D、③、④标准答案：B知识点解析：由A经初等行变换得到B知，有初等矩阵P1，P2，…，Ps使得Ps…P2P1A＝B。记P＝Ps…P2P1，则P＝=(pij)m×m是可逆矩阵，将A，B均按行向量分块有这表明pi1α1＋pi2α2＋…＋pimαm＝βi(i＝1，2，…，m)，故B的行向量均可由A的行向量线性表出，因P＝(Pij)m×m是可逆矩阵，所以两边同乘P-1得故A的行向量均可由B的行向量线性表出。故选B。6、已知线性方程组Aχ＝kβ1＋β2有解，其中则k＝()A、1B、－1C、2D、－2标准答案：D知识点解析：将Aχ＝kβ1＋β2的增广矩阵作初等行变换，Aχ＝kβ1＋β2有解r(A)＝r(A，kβ1＋β2)，得k＝－2，故选D。7、假设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X10是来自总体X的简单随机样本，Y2＝，则()A、X2～χ2(1)B、Y2～χ2(10)。C、～t(10)D、～F(10,1)标准答案：C知识点解析：由总体X～N(0，σ2)可知Xi～N(0，σ2)，故～N(0，1)，且相互独立，由χ2分布，F分布，t分布的典型模型可知，选项A，B不成立。事实上，～χ2(1)，故A不成立；～χ2(10)，故(B)不成立；，故D不成立；而所以C成立。故选C。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、＝_______。标准答案：知识点解析：9、设(χ，y，z)＝eχ＋y2z，其中z＝z(χ，y)是由方程χ＋y＋z＋χyz＝0所确定的隐函数，则f′χ(0，1，－1)＝_______。标准答案：1知识点解析：根据f(χ，y，z)＝eχ＋y2z可知，f′χ(χ，y，z)＝eχ＋y2z′χ，等式χ＋y＋z＋χyz＝0两边对χ求偏导可得1＋z′χ＋yz＋χyz′χ＝0，令χ＝O，y＝1，z＝－1得z′χ＝0。则f′χ(0，1，－1)＝e0＝1。10、函数f(χ，y，z)＝χ2＋y2＋z2在点(1，－1，0)处沿球面χ2＋y2＋z2＝2在该点的外法线方向的方向导数＝_______。标准答案：知识点解析：球面χ2＋y2＋z2＝2在(1，－1，0)点的外法线向量为n＝(1，－1，0)。其方向余弦为所以11、设y＝y(χ)由方程χ＝确定，则＝_______。标准答案：－2π知识点解析：已知χ＝，将χ＝0代入得y＝1，再将所给方程两边对χ求导，得1－sin2[(y－χ)].(y′－1)。于是y′＝csc2[(y－χ)]＋1。从而将χ＝0，y＝1代入得y′｜χ＝0＝3，y〞｜χ＝0＝－2π。12、已知α＝(α，1，1)T是矩阵A＝的逆矩阵的特征向量，那么a＝_______。标准答案：－1知识点解析：设α是矩阵A-1属于特征值λ0的特征向量，由定义A-1α＝λ0α，知α＝λ0A.α，即解得λ0＝－，a＝－1。13、设随机变量X和Y相互独立，且D(X)＝4D(Y)，则随机变量2X＋3Y，与2X－3Y，的相关系数为_______。标准答案：0．28知识点解析：记Z1＝2X＋3Y，Z2＝2X－3Y，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、求极限标准答案：根据等价无穷小替换公式，知识点解析：暂无解析15、设z＝，其中f(u)具有二阶连续导数f(0)＝f′(0)＝0，且求f(u)。标准答案：z＝，其中f(u)具有二阶连续导数，代入方程即f〞(u)－f(u)＝u。求解该二阶微分方程可得，f(u)＝C1e-u＋C2eu－u，将f(0)＝f′(0)＝0代入上式，可解得C1＝，C2＝，故f(u)＝－u。知识点解析：暂无解析16、证明不等式3χ＜tanχ＋2sinχ，χ∈(0，)标准答案：设f(χ)＝tanχ＋2sinχ－3χ，χ∈(0，)，则f(χ)＝sec2χ＋2cosχ－3，f〞(χ)＝2sec2χtanχ－2sinχ＝2sinχ(sec3χ－1)，由于当χ∈(0，)时sinχ＞0，sec3χ－＞0，则f〞(χ)＞0，函数f(χ)＝sec2χ＋2cosχ－3为增函数，且f′(0)＝0，因此χ∈(0，)时，f′(χ)＝sec2＋2cosχ－3＞0，进一步得函数f(χ)为增函数，由于f(0)＝0，因此f(χ)＝tanχ＋2sinχ－3χ＞f(0)＝0，χ∈(0，)，即不等式3χ＜tanχ＋2sinχ，χ∈(0，)成立。知识点解析：暂无解析17、计算曲线积分，其中L为从点(－2，0)到(2，0)的下半圆。标准答案：可知，因此积分与路径无关。故选取路径L′：4χ2＋y2＝16，方向由点(－2，0)到点(2，0)，则将曲线L′改写为参数方程为χ＝2cost，y＝4sint，t：π→0，则∫L′χdy＝ydχ＝∫π08(cos2t＋sin2t)dt＝－8π，故知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域与和函数。标准答案：＝1，故该级数的收敛半径为r＝1，收敛区间为(－1，1)，χ＝±1时，该级数变为常数项级数显然，(－1)n2发散，条件收敛，故发散，则收敛域为(－1，1)。记S1(χ)＝(－1)n2χ2n，则逐项求导可得，令χ＝0，可得C＝0，故S2(χ)＝，χ≠0；χ＝0时，S2(0)＝0。故故原级数的和函数为知识点解析：暂无解析19、已知线性方程组有无穷多解，求a，b的值并求其通解。标准答案：由题设可知线性方程组的系数矩阵为A＝，增广矩阵为对增广矩阵作初等行变换方程有无穷多解，则r(A)＝r(A，b)≤3，所以a＝2，b＝－3。下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。从而原方程组可化为齐次线性方程组所对应的基础解系为ξ＝(－14，4，9，1)T，特解为η*＝(－4，0，3，0)T，从而通解为z＝η*＋Kξ，k为任意常数。知识点解析：暂无解析20、设二次型χTAχ＝aχ12＋2χ22－χ32＋8χ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，实对称矩阵A满足AB＝O，其中B＝(Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准型，并写出所作的正交变换；(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。标准答案：(Ⅰ)二次型对应的实对称矩阵为A＝，因为AB＝O，所以下面求A的特征值A的特征值为0，6，－6。当λ＝0时，求解线性方程组(OE－A)χ＝0，解得α1＝(1，0，1)T；当λ＝6时，求解线性方程组(6E－A)χ＝0，解得α2＝(－1，－2，1)T；当λ＝－6时，求解线性方程组(－6E－A)χ＝0，解得α3＝(－1，1，1)T。下面将α1，α2，α3单位化则二次型在正交变换χ＝Qy的标准形为f＝6y22－6y32其中(Ⅱ)矩阵A与B不合同。因为r(A)＝2，r(B)＝1，由合同的必要条件可知矩阵A与B不合同。知识点解析：暂无解析21、已知随机变量X的概率密度为fX(χ)＝a。(Ⅰ)求a；(Ⅱ)令Y＝max{X，X2}，试求Y的概率密度函数。标准答案：(Ⅰ)根据∫－∞＋∞adχ＝1可得a＝1，解得a＝。(Ⅱ)当y＜0时，FY(y)＝0，当y≥0时，FY(y)＝P{Y≤y}＝P{max(X，X2)≤y}＝P{X≤y，X2≤y}＝P{X≤y}∩P{}＝从而y的概率密度函数为知识点解析：暂无解析22、设总体的概率密度为f(χ；θ)＝X1，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量与最太似然估计量。标准答案：矩估计量：由已知可得则可得θ＝，即θ的矩估计量为。最大似然估计量：设样本X1，…Xn的取值为χ1，…，χn，则对应的似然函数为L(χ1，…，χn；θ)＝取对数得lnL＝(ln2＋lnχi－ln3－2lnθ)关于θ求导得＜0，则L随着0的增大而减小，即θ取最小值时，L取得最大，因为0＜χi＜2θ(i＝1，2，…，n)＜θ＜χi(i＝1，2，…，n)，所以θ的最大似然估计量为max知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=，则f(x)有()．A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点，一个跳跃间断点D、一个可去间断点，一个无穷间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0，x=1为f(x)的间断点．由f(1一0)≠f(1+0)，得x=1为f(x)的跳跃间断点，应选(C)．2、若f"(x)在(0，2)上连续，，则()．A、点(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点B、f(1)是函数y=f(x)的极小值C、f(1)是函数y=f(x)的极大值D、点(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数y=f(x)的极值标准答案：C知识点解析：由＞0，当x∈(1一δ，1)时，f’(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f’(x)＜0，从而x=1为f(x)的极大值点；由＜0，从而f"(x)＜0，即(1，f(1))不是y=f(x)的拐点，应选(C)．3、下列反常积分收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、设正项级数发散，令Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，｜A｜=a，｜B｜=b，则等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．6、设A=(α1，α2，α3，α4)为四阶方阵，且α1，α2，α3，α4为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，一4，0)T，则方程组A*X=0的基础解系为()．A、α1，α2，α3B、α1，α3，α1+α3C、α1，α3，α4D、α1+α2，α2+2α4，α4标准答案：D知识点解析：由r(A)=3得r(A*)=1，则A*X=0的基础解系由三个线性无关的解向量构成．由α1一4α3=0得α1，α3成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，应选(D)．7、设X～N(1，4)，Y～N(3，16)，P{Y=aX+b}=1，且ρXY=一1，则()．A、a=2，b=5B、a=一2，b=一5C、a=一2，b一5D、a=2，b=一5标准答案：C知识点解析：由E(Y)=aE(X)+b得a+b=3，再由D(Y)=a2D(X)得4a2=16，因为ρXY=一1，所以a＜0，于是a=一2，b=5，应选(C)．8、设X，Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，下列结论正确的是()．A、X+Y～E(2λ)B、X—Y～E(2λ)C、min{X，Y)～E(2λ)D、max{X，Y)～E(2λ)标准答案：C知识点解析：因为X～E(λ)，Y～E(λ)，所以FX(x)=令Z=min{X，Y}，则FZ(z)=P{Z≤z}=1一P{Z＞z}=1一P{X＞z，Y＞z}=1一P{X＞z)P{Y＞z}=1一[1一P{X≤z}]．[1一P{Y≤z}]=1一[1一FX(z)]．[1一Fy(z)]当z＜0时，FZ(z)=0；当z≥0时，FZ(z)=1一e—2λz．于是FZ(z)=即Z～E(2λ)，选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、微分方程x2y"+3xy’+y=0有极值y(1)=2的特解y(x)，则y(x)=___________．标准答案：知识点解析：10、+∫0tdx∫xtsin(xy)2dy=___________．标准答案：知识点解析：交换积分次序得∫0tdx∫xtsin(xy)dy=∫0tdy∫0ysin(xy)dx11、设π为过直线L：且与平面x一2y+z一3=0垂直的平面，则点M(3，一4，5)到平面π的距离为___________．标准答案：知识点解析：过直线L：的平面束为(2x—z一4)+λ(2y+3z+2)=0，即2x+2λy+(3λ一1)z+2λ一4=0，由{2，2λ，3λ—1}．{1，一2，1}=0得λ=1，从而π：x+y+z一1=0，于是d=．12、设∑：x2+y2+z2=4取内侧，又函数u=u(x，y，z)满足=___________．标准答案：知识点解析：13、设α1=为三维空间的两组不同的基，令β=β1+2β2—3β3，则β在基α1，α2，α3下的坐标为___________．标准答案：(—4，—2，2)知识点解析：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q，可得Q=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)=，β=β1+2β2—3β3=(β1，β2，β3)(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)Q(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)=一4α1—2α2+2α3，则α在基α1，α2，α3下的坐标为(一4，一2，2)．14、设X～N(1，4)，Y～B(3，)且X，Y相互独立，则P{XY+1＞X+Y}=___________．标准答案：知识点解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X一1)(Y一1)＞0}=P{X＞1，y＞1}｜{P{X＜1，y＜1}=P{X＞1}P{y＞1}+P(X＜1}P{y＜1}三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(x，y)在(2，一2)处可微，满足f(sin(xy)+2cosx，xy一2cosy)=1+x2+2y+o(x2+y2)，这里o(x2+y2)表示比x2+y2为高阶无穷小((x，y)→(0，0)时)，试求曲面z=f(x，y)在点(2，一2，f(2，一2))处的切平面．标准答案：因为f(x，y)在(2，一2)处可微，所以f(x，y)在(2，一2)处连续取(x，y)=(0，0)得f(2，一2)=1．因为f(x，y)在(2，一2)处可微，所以f(x，y)在(2，一2)处可偏导，令y=0得f(2cosx，一2)=1+x2+o(x2)，故曲面∑：z=f(x，y)在点(2，一2，1)处的法向量为n={1，一1，1}，切平面方程为π：(x一2)一(y+2)+(z一1)=0，即π：x—y+z一5=0．知识点解析：暂无解析16、设f(x)=1+x(0≤x≤1)．(Ⅰ)将f(x)展开成余弦级数，并求；(Ⅱ)将f(x)展开成正弦级数．标准答案：(Ⅰ)将f(x)进行偶延拓和周期延拓，则a0=2∫01f(x)dx=2∫01(1+x)dx=3，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2∫01cosnπxdx(Ⅱ)将f(x)进行奇延拓和周期延拓，则an=0(n=0，1，2，…)，bn=2∫01f(x)sinnπxdx=2∫01(1+x)sinnπxdx知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0≤a＜b≤)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：令g(x)=一cosx，g’(x)=sinx≠0(a＜x＜b)，知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[1，+∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f’(1)=1，且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足=0，求f(x)在[1，+∞)的最大值．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(x2—1)dxdy，其中三为曲面z=1一x2一y2(z≥)的上侧．标准答案：补充∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下侧，知识点解析：暂无解析20、a，b取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解?有无穷多个解时，求出其通解．标准答案：当a=1，b=一1时，方程组有无穷多个解，通解为X=k1(1，一2，1，0)T+k2(1，一2，0，1)T+(一1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)知识点解析：暂无解析21、设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．(Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．标准答案：(Ⅰ)由Aα1=α1得(A—E)α1=0，由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1，由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2．令k1α1+k2α2+k3α3=0，1)两边左乘以(A—E)得k2α1+k3α2=0，2)两边再左乘(A—E)得k3α1=0，由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k1=0，再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关．(2)令P=(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α1+α3)得AP==B，由｜λE一A｜=｜λE一B｜=(λ一1)3=0得A的特征值为λ=λ=λ=1，E—B=，因为r(E—B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．知识点解析：暂无解析22、有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有4个红球1个白球，第二个盒子里有3个红球2个白球，第三个盒子里有2个红球3个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出3个球，以X表示红球数．(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)求所取到的红球不少于2个的概率．标准答案：(Ⅰ)令Ak={所取为第尼个盒子)(k=1，2，3)，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，由全概率公式得知识点解析：暂无解析23、设总体X的密度函数为f(x；θ)=(一∞＜x＜+∞)，其中θ＞0为未知参数，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量．标准答案：E(X)=0，知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0确定的函数y＝y(x)()A、没有驻点．B、有唯一驻点，但不是极值点．C、有唯一驻点为极小值点．D、有唯一驻点为极大值点．标准答案：C知识点解析：由2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0两边对x求导，得(6y2－4y＋2x＋1)y＇＋2y－2x＝0．令y＇＝0，得y＝x．与原方程联立，得x(2x2－x＋1)＝0，有唯一解x＝0．在x＝0处对应y＝0，在点(0，0)处，y＇的系数所以由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0确定的函数y＝y(x)有唯一驻点x＝0(对应y＝0再求y＂，有(6y2－4y＋2x＋1)y＂＋(12yy＇－4y＇＋2)y＇＋2y＇－2＝0．以x＝0，y＝0，y＇＝0代人，得y＂－2＝0，即y＂＝2＞0．所以x＝0处对应的y＝y(x)为极小值．选(C)．2、设数列{an)单调增加且有上界，θ为常数，则级数()A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与θ有关．标准答案：C知识点解析：由于数列{an}单调增加且有上界，故且an≤a，则(收敛)，另一方面，｜((an－aa＋1)sinnθ｜≤｜an－an＋1｜＝an＋1－an，而已证收敛，所以由比较判别法，知绝对收敛，选(C)．3、A、等于0．B、等于1．C、等于－1．D、不存在．标准答案：B知识点解析：因为所以4、设f(x)连续且，，则F＂(x)＋F(x)＝()A、f(x)sinx．B、f(x)cosx．C、f(x)(sinx＋cosx)．D、f(x)．标准答案：D知识点解析：作积分变量代换x－t＝u，再用三角公式，有所以F＂(x)＋F(x)＝f(x)．5、设n阶行列式D中有一行元素及其余子式均为a(a≠0)，k是正整数，则()A、n＝2k，D＝0．B、n＝2k＋1，D＝0．C、n＝2k，D＝a2．D、n＝2k＋1，D＝－a2．标准答案：A知识点解析：不失一般性，设n阶行列式中第1行元素及其余子式均为a(a≠0)．按第1行展开，得D＝a11A11＋a12A12＋…＋a1nA1n＝a11M11＋a12(－M12)＋…＋a1n(－1)n－1M1n＝a2－a2＋a2＋…＋(－1)n＋1a2．当n＝2k时，D＝a2－a2＋a2－…－a2＝0；当n＝2k＋1时，D＝a2－a2＋a2－…＋(a2＝a2．故应选(A)．【注】注意余子式和代数余子式的区别(看清题目)，且Mij＝(－1)i＋jAij或Aij＝(－1)i＋jMij6、设A＝是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是()A、ad－bc＜0．B、b，c同号．C、b＝c．D、b，c异号．标准答案：D知识点解析：对(C)，当b＝c时，A是实对称矩阵，所以A～Λ，故(C)是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．对(A)，当ad－bc＜0时，由(*)式可知，(a＋d)2－4(ad－bc)＞0．因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(A)是充分条件．对(B)，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a－d)2＋4bc＞0．因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(B)是充分条件．对(D)，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a－d)2＋4bc＝0时，会有二重特征值．例：则λ1＝λ2＝0，但r(0E－A)＝1，线性无关的特征向量只有一个，所以A不能相似于对角矩阵，故应选(D)．7、设X1，X2，…，X9。是来自正态总体N(1，σ2)的简单随机样本，为其样本均值，S2为其样本方差．记统计量，若P{－2＜T＜0}＝0．3，则P{T＞2}＝()A、0．1．B、0．2．C、0．3．D、0．4．标准答案：B知识点解析：由单个正态总体的抽样分布，知式中，n＝9．又t分布的概率密度关于y轴对称，则P{0＜T＜2}＝P{－2＜T＜0}＝0．3，故P{T＞2}＝P{T≥2)＝P{T＞0}－P{0＜T＜2}＝0．5－0．3＝0．2．8、设连续型随机变量X，Y相互独立，其概率密度和分布函数分别为f(x)，F(x)和g(x)，G(x)．若对任意x，有F(x)≤G(x)．则()A、P{x≤y}＝1／2．B、P{x≤y}≥1／2．C、P{x≤y}≤1／2．D、P{x≤y}＝1．标准答案：C知识点解析：由联合概率密度及分布函数性质，得由对任意x，有F(x)≤G(x)，从而二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y＝y(x)是由方程y3＋xy＋y＋x2＝0及y(0)＝0所确定，则＝___________．标准答案：知识点解析：另一方面，由y3＋xy＋y＋x2＝0及y(0)＝0有3y2y＇(x)＋xy＇(x)＋y＋y＇(x)＋2x＝0，所以式①又是“”型．再对式①用洛必达法则，由10、空间曲线，在xOy平面上的投影在x≥0处围成的区域记为D，则＝___________．标准答案：160π＋256知识点解析：由两式相减，得x2＋y2－8z＝0,即，于是得投影曲线方程为，化简即得(x2＋y2)2＝32(x2－y2)．化成极坐标，上述方程成为r2＝32cos2θ．则【注】本题考查求投影曲线方程的方法，利用奇偶性，对称性化简二重积分，利用华里士公式化简三角函数的定积分。11、设S为球面x2＋y2＋z2＝R2被锥面截下的小的那部分，并设其中A，B，R均为正常数且A≠B，则第一型曲面积分＝___________．标准答案：知识点解析：球面与锥面的交线在xOy平面上的投影曲线的方程为(A＋1)x2＋(B＋1)y2＝R2，则相应的投影区域为D＝{(x，y)｜(A＋1)x2＋(B＋1)y2≤R2}．球面(上部)方程为，则其中SD为投影区域D的面积．由于D是个椭圆，故L26，所以12、设，则____________．标准答案：1－2ln2知识点解析：13、直线L1：与L2：相交于一点，则a＝_________．标准答案：0知识点解析：将直线L1的标准方程(点向式方程)改为交面式方程L1和L2相交于一点四个平面交于一点方程组L31有唯一解．对作初等行变换，得故a＝0时，．方程组有唯一解，即两直线相交于一点．14、设随机变量X的分布函数为Φ[2(x＋1)]，Φ(x)为标准正态分布的分布函数。则EX＋E(X2)＝__________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设有向曲面S：z＝X2＋y2，x≥0，z≤1，法向量与z轴正向夹角为锐角．求第二型曲面积分标准答案：令D1＝{(y，z)｜y2≤z≤1)，D2＝{(z，x)｜x2≤z≤1，x≥0)，则知识点解析：暂无解析16、设z＝z(x，y)具有二阶连续偏导数，试确定常数a与b，使得经变换μ＝x＋ay,v＝x＋by，可将z关于x，y的方程。化为z关于u，v的方程，并求出其解z＝z(x＋ay，x＋by)．标准答案：z与x，y的复合关系为，于是代入所给方程，得按题意，应取1－4a＋3a2＝0，1－4b＋3b2＝0，2－4(a＋b)＋6ab≠0．解得，其中φ(v)为v的任意的可微函数．于是，其中φ(u)为u的任意的可微函数，Φ(v)为φ(v)的一个原函数．由于Φ与φ的任意性，所以两组解其实是一样的．知识点解析：暂无解析17、(Ⅰ)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy—Schwarz)命名的下述不等式：设f(x)与g(x)在闭区间[a，b]上连续，则有(Ⅱ)证明下述不等式：设f(x)在闭区间[0，1]上连续，则有标准答案：(Ⅰ)令有φ(a)＝0及所以当z≥a时，φ(x)≤0．令x＝b，得证毕．(Ⅱ)令a＝0，b＝1，g(x)＝1，代入(Ⅰ)中已证的不等式，有即证毕．知识点解析：暂无解析18、设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn＝l(n＝2，3，…)．(Ⅰ)证明方程fn(x)＝0在区间[0，＋∞)内存在唯一的实根，记为xn；(Ⅱ)求(Ⅰ)中的{xn}的极限值标准答案：(Ⅰ)由fn(0)＝－1＜0，fn(1)＝n－1＞0，n＝2，3，…，所以fn(x)＝0在区间(0，1)内存在实根，记为xn．以下证在区间(0，＋∞)内至多存在一个实根．事实上，f＇n(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1>0，z∈(0，＋∞)．所以在区间(0，＋∞)内fn(x)＝0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以fn(x)＝0在区间(0，＋∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为xn(n＝2，3，…)．(Ⅱ)欲求，先证其存在，为此，证{xn}单调减少．0＝fn(xn)－fn＋1(xn＋1)＝(xn＋xn2＋…＋xnn)－(xn＋1＋xn＋12＋…＋xn＋1n＋xn＋1n＋1)．＝(xn－xn＋1)[1＋(xn＋xn＋1)＋…＋(xnn－1＋xnn－2xn＋1＋…＋xn－1n－1)]－xn＋1n＋1．由于[]内为正，等号左边为0，所以xn－xn＋1＞0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{xn)关于n严格单调减少，且有下界(因xn＞0)．所以另一方面，由xn＜x2＜1(n＞2)，所以0＜xnn＜x2n．但0＜x2＜1，由夹逼定理知．由．两边取极限，得，知识点解析：暂无解析19、设F(u，v)具有连续的一阶偏导数，且F＇u与F＇v不同时为零．(Ⅰ)求曲面上任意一点(x0，y0，z0)(z0≠c)处的切平面方程；(Ⅱ)证明不论(Ⅰ)中的点(x0，y0，z0)如何，只要z0≠c，这些平面都经过同一个定点，并求出此定点．标准答案：(Ⅰ)将x＝x0，y＝y0，z＝z0代入，由于F＇u与F＇v不同时为零，所以得到非零的法向量，从而得到点(x0，y0，z0)处的切平面方程为其中下标0表示F＇u，F＇v中的x，y，z分别均用x0，y0，z0。代替．解毕．(Ⅱ)下面证明此切平面方程，无论点(x0，y0，z0)如何，只要z0≠c，该方程表示的平面总经过点(a，b，c)．即用x＝a，y＝b，z＝C代入①式，①式成为0＝0．验证如下：证毕．知识点解析：暂无解析20、设A，B是n阶矩阵．(Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB＝A，必有B＝E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB＝A；(Ⅱ)设A＝，求所有的B，使得AB＝A．标准答案：(Ⅰ)当A是可逆矩阵时，若AB＝A，两端右乘A－1，必有B＝E；当A不可逆时，有B≠E，使得AB＝A．因A不可逆时Ax＝0有非零解，设Aξi＝0(i＝1，2，…，n)，合并得A(ξ1，ξ2，…，ξn)＝O，令((ξ1，ξ2，…，ξn)＝B－E，即B＝(ξ1，ξ2，…，ξn)＋E≠E，则A(B－E)＝O，得AB＝A，其中B－E≠O，B≠E．(Ⅱ)，则，其中k，l是任意常数．，k，l是任意常数，即时，使得AB＝A的所有的B(因A(B－E)＝0，故有AB＝A)．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶正定矩阵，X是n维列向量，E是n阶单位矩阵，记(Ⅰ)计算PW；(Ⅱ)写出二次型f＝｜W｜的矩阵表达式，并讨论f的正定性．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因，故f的矩阵表达式为由A是正定矩阵知，｜A｜＞0，且A的特征值λi＞0(i＝1，2，…，n)，A*的特征值为(i＝1，2，…，n)．所以A*也是正定矩阵，故当n为偶数时，f＝(－1)nxTA*＝xTA*x是正定二次型；当n为奇数时，f＝(－1)nxTA*x＝－xTA*x是负定二次型．知识点解析：暂无解析22、设二维随机变量(X，Y)～f(x，y)＝求：(Ⅰ)条件概率；(Ⅱ)Z＝X＋Y的概率密度fZ(z)．标准答案：(Ⅰ)由(Ⅱ)法一分布函数法．Z的分界点为0，2．如图所示，设z的分布函数为FZ(z)，当z＜0时，FZ(z)＝0；当z≥2时，FZ(z)＝1；当0≤z＜2时，法二公式法．由联合概率密度表达式知，当｜z－x｜≤x，0＜x＜1，即0＜z＜2，时，f(x，z－x)＝l，从而知识点解析：暂无解析23、设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率；(Ⅱ)λ的最大似然估计量．标准答案：(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，则一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}＝F(T0)＝1－eλT0，故在时间T0未失效的概率为P{T＞T0}＝1－F(T0)＝e－λT0．(Ⅱ)考虑事件A＝{试验直至时间T0为止，有k只器件失效，n－k只未失效}的概率．由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为L(λ)＝Ckn(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，这就是所求的似然函数．取对数得lnL(λ)＝lnCkn＋kln(1－e－λT0)＋(n－k)(－λT0)．令则ne－λT0＝n－k，解得λ的最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x2)一ln(1一x4)，β=∫0x2tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，α，β．C、α，γ，β．D、γ，β，α.标准答案：C知识点解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x→0时α=ln(1+x2)一1n(1一x4)～x2，因为ln(1+x2)~x2,ln(1一x4)～一x2=o(x2)β=∫0x2tantdt=一ln｜cost｜｜0x2=-lncosx2=一ln[cosx2一1+1]～1一cosx2～又由可知当x→0时，．这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α、γ、β的次序．故选项C正确．2、设函数f(x)在区间(一1，1)内二次可导，已知f(0)=0，f’(0)=1，且f’’(x)<0当x∈(一1，1)时成立，则A、当x∈(一1，0)时f(x)>x，而当x∈(0，1)时，f(x)B、当x∈(一l，0)时f(x)x．C、当x∈(一1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)>x．D、当x∈(一1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)标准答案：D知识点解析：由题设知，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=x，而曲线y=f(x)在区间(一1，1)内是凸弧．由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论D正确．3、下列二元函数在点(0，0)处可微的是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题中的这4个函数均有f(0，0)=0，且(B)，(C)，(D)中均有按可微定义，若f(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处可微，且即无穷小量(ρ→0)，其中(B)中的f(x，y)满足：因此，(B)中的f(x，y)在点(0，0)处可微．故选项B正确．4、下列三个命题①设anxn的收敛域为(一R，R)，则的收敛域为(一R，R)；②设幂级数anxn在x=一1条件收敛，则它的收敛半径R=1；③设幂级数anxn，bnxn的收敛半径分别为R1，R2，则(an+bn)xn的收敛半径R=min(R1，R2)中正确的个数是A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：B知识点解析：此类选择题必须逐一判断．关于命题①：对幂级数anxn逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化．如xn的收敛域为(一1，1)，但的收敛域是[一1，1)．关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确．记该幂级数的收敛半径为R．若R>1，由于anxn绝对收敛=>an(一1)n绝对收敛，与已知矛盾．若R<1，由anxn发散=>an(一1)n发散，也与已知矛盾．因此，R=1．关于命题③：当R1≠R2时，R=min(R1，R2)，于是要考察R1=R2的情形．设有级数，易求得它们的收敛半径均为R1=R2=1但的收敛半径为R=2．因此命题不正确．综上所述．选项B正确．5、设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组．则()正确.A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n一3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系．则它也是AX=0的基础解系.D、如果(A)=n一3，并且AX=0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．标准答案：D知识点解析：(A)缺少n—r(A)=3的条件．(B)缺少η1，η2，η3线性无关的条件．(C)例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．要说明(D)的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关．方法如下：设α1，α2，α3是AX=0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，则r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解．6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：(A)矩阵的3个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵．(C)矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3>3一(C)矩阵的秩．因此(C)不相似于对角矩阵．(B)矩阵的秩也为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2=3一(B)矩阵的秩．因此相似于对角矩阵．7、设随机变量X与Y，独立同分布，X~N(0，)，则D{X—Y}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：Z=X—Y，则Z～N(0，1)E｜X—Y｜=E｜Z｜=∫-∞＋∞E｜X一Y｜2=E｜Z｜2=EZ2=DZ+(EZ)2=1+0=1．D(｜X—Y｜)=D｜Z｜=E｜Z｜2一(E｜Z｜)2=故选项C正确．8、设随机变量Xi～B(i，0．1)，i=1，2，…，15，且X1，X2，…，X15相互独立，根据切比雪夫不等式，则的值A、≥0．325．B、≤0．325．C、≥0．675．D、≤0．675．标准答案：A知识点解析：由题设知EXi=0．1i，DXi=0．09i，i=1，2，…，15，则于是由切比雪夫不等式，有故选项A正确．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线的全部渐近线方程是______．标准答案：x=0，y=x+知识点解析：只有间断点于是有垂直渐近线x=0．再求其中又或于是有斜渐近线10、设u=u(x，y)满足，则u(x，y)=______.标准答案：+c(y)e-x2，c(y)为y的任意函数．知识点解析：偏导数实质上是一元函数的导数．当y任意给定时就是一阶线性常微分方程两边乘e∫2xdx=ex2得(ex2u)=xex2，对x积分得ex2u=ex2+c(y)(c(y)为y的任意函数)u=+c(y)e-x2.11、设有摆线L：(一π≤θ≤π)，则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积A=______.标准答案：知识点解析：这是由参数方程给出的曲线．由于x’(θ)=1—cosθ，y’(θ)=sinθ，则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积12、设f(x)=(1+x+x2)esinx，则f’’(0)=______．标准答案：5．知识点解析：利用esinx=1+sinx+sin2x+o(x2)=1+x+x2+o(x2)（x→0)代入得f(x)=(1+x+x2)(1+x+x2+o(x2))=1+x+x2+x+x2+x2+o(x2)=1+2x+x2+o(x2)从而13、已知α1=(1，2，一1)T，α2=(1，一3，2)T，α3=(4，11，一6)T．矩阵A满足Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(一3，7)T，则A=______．标准答案：知识点解析：用条件可建立一个关于A的矩阵方程：用初等变换法解此矩阵方程：14、设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)．已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn(n＞4)是分别来自X和Y的简单随机样本，统计量服从自由度为N的t分布，则当时，k=______．标准答案：2．知识点解析：用t分布的典型模式来确定k的值．由于又～N(0，1)且相互独立，故由于U与V相互独立，根据t分布的典型模式知由题设知，三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、已知极限，求常数a，b，c．标准答案：用洛必达法则．由=>b+c=0①(否则I=∞，不合题意)．继续用洛必达法则=>=>3a一c=0②(否则I=∞，不合题意)．再用洛必达法则=>=>c=10．由①，②式=>b=一10，a=．知识点解析：暂无解析16、(I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升．(Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．(Ⅲ)设数列，求xn．标准答案：(I)对0＜x1＜x2＜+∞，在[x1，x2]上可用拉格朗日中值定理得，ξ∈(x1，x2)∈(0，+∞)使得f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1)＞0=>f(x2)＞f(x1)=>f(x)在(0，+∞)↑．(Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-ln(nx+1)(x>0)，考察=>g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=eg(x)在(0，+∞)↑．(Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对xn进行适当放大与缩小即由因此xn=1．知识点解析：暂无解析17、求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由=1=>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2一2)，解方程组由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=代入④得．因此得驻点P1(-1，-1，0)，P2(1，1，0)，计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为．知识点解析：暂无解析设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点A(0，一1)，y'(x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为一1．18、导出y=y(x)满足的积分、微分方程；标准答案：先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程Y—y(x)=y’(x)(X一x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距又弧段的长度为∫0x，按题意得这是y(x)满足的积分、微分方程．知识点解析：暂无解析19、导出y(x)满足的微分方程和初始条件；标准答案：两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：即又由条件及①式中令x=0得y(0)=一1，y’(0)=1．因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题问题①与②是等价的．知识点解析：暂无解析20、求曲线Γ的表达式．标准答案：下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得分离变量得由y=一l时p=1=>C’=0=>改写成将上面两式相减=>再积分得其中．则③就是所求曲线Γ的表达式．知识点解析：暂无解析21、设矩阵已知方程组AX=β有无穷多解，求a，b应该满足的条件．标准答案：AX=β有无穷多解，即r(A)=r(A，β)<4．｜A｜是一个范德蒙行列式，当a不是1，2，3时，其值非0，A可逆，r(A)=4，不符合条件．于是a必须取1，2或3．此时A的第4个列向量等于前3个列向量中的一个，而A的前3个列向量是线性无关的，则r(A)=3．而r(A，β)=矩阵的秩对此矩阵作初等行变换：于是r(A，β)=3的条件是b=12．知识点解析：暂无解析设22、求A的特征值．标准答案：｜λE—A｜=(λ一1+a)(λ—a)(λ一1一a)．于是A的特征值就是1—a，a，1+a．知识点解析：暂无解析23、a取什么值时，A可以相似对角化．标准答案：1—a，a，1+a中，a≠1+a，而1一a=a<=>a=1／2，1一a=1+a<=>a=0．于是当a≠0和1／2时，A的特征值1一a，a，1+a两两都不等，此时A可以相似对角化．如果a=0，则A的特征值为1，1，0．而r(A—E)=2，3一r(A—E)=1，于是对二重特征值1没有两个线性无关的特征向量，从而A不可相似对角化．如果a=1／2，则A的特征值．而于是对二重特征值没有两个线性无关的特征向量，从而A不可相似对角化．知识点解析：暂无解析24、有三封不同的信随机投入编号为1，2，3，4的四个信箱中，以X表示有信的最小信箱号码，以Y表示无信的最大信箱号码，求X，Y的联合概率分布．标准答案：X，Y的取值均为1，2，3，4，可利用古典概型求联合分布，也可以先分别求出X的分布与Y的分布，即边缘分布，再求联合分布．我们采取直接求联合分布．3封信投入4个信箱，共有43=64种投法．根据X，Y的含义，显然有P{X=1，Y=1}=P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=P{X=4，Y=4}=0，P{X=3，Y=1}=0，P{X=4，Y=1}=P{X=4，Y=2}=0，P{X=2，Y=1}=P{1号信箱无信，2，3，4号信箱均有信}=P{X=3，Y=2}=P{1，2号空，3，4号有信}=，P{X=4，Y=3}=P{4号有信，1，2，3号均空}=，P{X=3，Y=4}=P{3号有信，其他均空}=，P{X=2，Y=3}=P{2，4号有信，1，3号空}=，P{X=1，Y=2}=P{1，3，4有信，2号空}=，P{X=1，Y=3}=P{1，4有信，2，3号空}+P{1，2，4有信，3号空}=，同理可以计算出把以上各数填入表中(如右表)，表中的箭头表示我们的计算顺序．知识点解析：暂无解析25、设随机变量X1～N(0，1)，i=1，2且相互独立，令Y1=，Y2=X12+X22，试分别计算随机变量Y1与Y1的概率密度．标准答案：因X1与X2独立且同服从标准正态分布N(0，1)，故(X1，X2)的联合概率密度为f(x1，x2)=当y≤0时，P{Y1≤y}=0；当y>0时，FY1(y)=P{Y1≤y}==P{X12+X12≤y2}于是Y1的概率密度为f(x1，x2)=当y≤0时，FY2(y)=P{Y2≤y}=0；当y>0时，FY2(y)=P{Y2≤y}=P{P{x12+x22≤y}=于是Y2的概率密知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数f(x)连续，除个别点外二阶可导，其导函数y=f’(x)的图像如右图(1)，令函数y=f(x)的驻点的个数为p，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则A、p=q=r=3．B、p=3，q=r=2．C、p=3，q=2，r=3．D、p=3，q=2，r=1．标准答案：C知识点解析：设a，b，c，d，e各点如图，根据驻点，极值点，拐点的概念及判别法知：驻点是：x=a，c，e．因为x=a，c，e时，f’(x)=0．p=3．驻点中只有x=a，c是极值点，因为x=a，c两侧导数变号．x=e两侧导数均负，f(x)是单调下降的，x=e不是极值点．x=b是f(x)的连续而不可导点，x=b两侧的导数均正，x=b也不是f(x)的极值点．q=2．(x0，f(x0))为拐点的必要条件是：f’’(x0)=0或f’’(x0)不，即f’’(x0)时x=x0是f’(x)的驻点．x=d，e是f’(x)的驻点且这些点的两侧f’(x)的单调性相反即y=f(x)的图形的凹凸性相反，(d，f(d))，(e，f(e))是拐点．f’’(b)不，但x=b是f(x)的连续点，x=b两侧f’(x)的单调性相反，因而(b，f(b))也是拐点．r=3．综上分析，应选C．2、定积分∫01arctan的值等于A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：令则于是原式=故选项D正确．3、已知累次积分dθ∫0acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr,其中a>0为常数，则I可写成A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题．先将I表示成I=f(x,y)dσ．由D的极坐标表示，0≤r≤acosθ．即r2=x2+y2≤arcosθ=ax，可知D：如右图．若是先y后x的积分顺序，则D：0≤x≤a，于是故选项C正确．4、设要使得A正定，a应该满足的条件是A、a>2．B、a≥2．C、0＜a＜2．D、a<0．标准答案：C．知识点解析：用顺序主子式．A的3个顺序主子式为2，4一a2，2a一a2，它们都大于0的条件是0＜a＜2．5、n维向量组(I)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是A、r(I)=r(Ⅱ)，并且s=t．B、r(I)=r(Ⅱ)=n．C、r(I)=r(Ⅱ)，并且(I)可以用(Ⅱ)线性表示．D、(I)和(Ⅱ)都线性无关，并且s=t．标准答案：C知识点解析：(I)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(I)=r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)．(A)缺少条件r(I，Ⅱ)=r(I)．(B)是(I)与(Ⅱ)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数．(D)(I)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如(I)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，设β2=(0，0，0，1)．(I)和(Ⅱ)都无关，并且s=t=2，但是(I)和(Ⅱ)不等价．(C)(I)可以用(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅱ)=r(I，Ⅱ)．6、设事件A，B，C是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为Ω，则下列结论中一定成立的是A、是一个完备事件组．B、A，B，C两两独立．C、A∪B与独立．D、是两两对立事件．标准答案：C知识点解析：，而任何事件与概率为1的事件都独立，因此应选C．进一步分析，由于A∪B∪C=Ω，若C≠，则A∪B≠Ω，，即相容；若C=，则C=Ω，但A与B不能都是必然事件Ω，故不能都是不可能事件，即不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也不能两两对立，即选项(A)、(D)均不正确．其实，用文氏图判断(A)、(D)不正确，更是一目了然．又因A，B，C两两互不相容，于是有P(AB)=P(AC)=P(BC)=0，只要A，B，C中有两个事件的概率大于零，A，B，C就不可能两两独立．因此也不能选B．7、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X25是取自总体X的简单随机样本，为样本均值，若P{｜X一μ｜—μ｜<π}，则a=A、π.B、5π．C、D、25π．标准答案：B知识点解析：由于X～N(μ，σ2)，故有而依题意P{｜X一μ｜一μ｜<π}故选项B正确．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设则xn=______．标准答案：知识点解析：简单的放大、缩小法不能解决问题，再看xn是否是某函数在某区间上的一个积分和．这是在[0，1]上的一个积分和(将区间[0，1]n等分)．因此9、设曲线Γ的极坐标方程为r=eθ，则Γ在点处的法线的直角坐标方程是_____．标准答案：知识点解析：Γ的参数方程是点直角坐标是Γ在此点的切线的斜率为=>法线的斜率为1，因此Γ在点处的法线方程为10、已知函数y(x)可微(x>0)且满足方程(x>0)，则y(x)=______．标准答案：知识点解析：这是含变限积分的方程．先将原方程两边求导，转化为常微分方程得在原方程中令x=l得)，y(1)=1．于是原方程与初值问题等价．这是齐次方程，令分离变量得由y(1)=1得C=一1，代入11、设f(x，y)可微，f(x，x2)=1，f’(x，y)｜y=x2，则x≠0时f’y(x，x2)=______．标准答案：知识点解析：f(x，x2)是二元函数f(x，y)与一元函数x=x，y=x2复合而成的一元函数，由f(x，x2)=1及复合函数求导法得12、设实对称矩阵要使得A的正，负惯性指数分别为2，1，则a满足的条件是______.标准答案：a<0或>4．知识点解析：A的正，负惯性指数分别为2和1的充分必要条件是｜A｜<0(A的对角线元素有正数，不可能特征值都负)．求出｜A｜=一a2+4a，得答案．13、设随机变量X，Y独立同分布N(μ，σ2)，其联合密度函数f(x，y)在(2，2)处有驻点，且f(0，0)=，则(X，Y)服从的分布是______．标准答案：N(2，2；2，2；0)．知识点解析：由于X，Y独立同分布，故而f(x，y)在(2，2)处有驻点，可知μ=2．又即=2e2，得σ2=2．所以(X，Y)服从正态分布N(2，2；2，2；0)．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)设f(x)=∫0xdt+∫01|x2-t2|dt，x>0，14、求出积分f(x)的表达式；标准答案：由定积分的几何意义知(这是以原点为心，半径为x的圆在第一象限部分的面积)．再用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分：当0＜x＜1时∫01｜x2—t2｜dt=∫0x(x2—t2)dt+∫x1(t2—x2)dt当x≥l时∫01｜x2—t2｜dt=∫01(x2—t2)dt=x2-于是知识点解析：暂无解析15、求f(x)在(0，+∞)的最小值点．标准答案：为求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先求f’(x)．由=>f(x)在而在f(x)的最小值是．故f(x)在(0，+∞)的最小值点是知识点解析：暂无解析16、(I)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点．(Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F′x