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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx=sinωx+π6+A.16,13 B.12.已知函数,若,则a的取值范围为()A. B. C. D.3.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.5.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.6.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强7.设,集合,则()A. B. C. D.8.已知复数满足,则()A. B.2 C.4 D.39.已知向量,,若,则()A. B. C.-8 D.810.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像11.已知集合,则的值域为()A. B. C. D.12.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.33二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)14.已知实数,且由的最大值是_________15.在的展开式中的系数为,则_______.16.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在直角坐标系中,曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.(1)求动点的轨迹的方程;(2)若点是圆上一动点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线斜率的取值范围.19.(12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面积为,周长为8,求b.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.21.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
将fx整理为3sinωx+π3,根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时,又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得:ω∈本题正确选项:A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题,关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限,从而得到关于参数的不等式.2.C【解析】
求出函数定义域,在定义域内确定函数的单调性,利用单调性解不等式.【详解】由得,在时,是增函数,是增函数,是增函数,∴是增函数,∴由得,解得.故选:C.【点睛】本题考查函数的单调性,考查解函数不等式,解题关键是确定函数的单调性,解题时可先确定函数定义域,在定义域内求解.3.C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).4.D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.5.A【解析】
先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.6.D【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为,乙的六大素养整体水平均得分为,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.7.B【解析】
先化简集合A,再求.【详解】由得:,所以,因此,故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.8.A【解析】
由复数除法求出,再由模的定义计算出模.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题.9.B【解析】
先求出向量,的坐标,然后由可求出参数的值.【详解】由向量,,则,,又,则,解得.故选:B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算,属于基础题.10.B【解析】
化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.11.A【解析】
先求出集合,化简=,令,得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由,得,,令,,,所以得,在上递增,在上递减,,所以,即的值域为故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法,换元法要注意新变量的范围,属于中档题12.C【解析】
依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
的展开式的通项为,取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.14.【解析】
将其转化为几何意义,然后根据最值的条件求出最大值【详解】由化简得,又实数,图形为圆,如图:,可得,则由几何意义得,则,为求最大值则当过点或点时取最小值,可得所以的最大值是【点睛】本题考查了二元最值问题,将其转化为几何意义,得到圆的方程及斜率问题,对要求的二元二次表达式进行化简,然后求出最值问题,本题有一定难度。15.2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.16.3000【解析】
根据正态曲线的对称性求出,进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解:全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,则,该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为:.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:(Ⅰ)取中点,连结、,∵,,∴四边形是平行四边形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵为的中点,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,,设面的法向量,则,取,得,同理,得平面的法向量,设二面角的平面角为,则,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.18.(1);(2)【解析】
(1)设,根据题意可得点的轨迹方程满足的等式,化简即可求得动点的轨迹的方程;(2)设出切线的斜率分别为,切点,,点,则可得过点的拋物线的切线方程为,联立抛物线方程并化简,由相切时可得两条切线斜率关系;由抛物线方程求得导函数,并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出,可求得,结合点满足的方程可得的取值范围,即可求得的范围.【详解】(1)设点,∵点到直线的距离等于,∴,化简得,∴动点的轨迹的方程为.(2)由题意可知,的斜率都存在,分别设为,切点,,设点,过点的拋物线的切线方程为,联立,化简可得,∴,即,∴,.由,求得导函数,∴,,,∴,因为点满足,由圆的性质可得,∴,即直线斜率的取值范围为.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法,直线与抛物线相切的性质及应用,导函数的几何意义及应用,点和圆位置关系求参数的取值范围,属于中档题.19.(1);(2)【解析】
(1)通过正弦定理和内角和定理化简,再通过二倍角公式即可求出;(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出b的表达式后即可求出b的值.【详解】(1)由三角形内角和定理及诱导公式,得,结合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由题设,得,从而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【点睛】本题综合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面积公式,属于基础题.20.(Ⅰ)极大值为:,无极小值;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数的极值;(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明,即证,令,根据函数的单调性证明即可.【详解】(Ⅰ)的定义域为且令,得;令,得在上单调递增,在上单调递减函数的极大值为,无极小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上单调递增,在上单调递减且,则要证,即证,即证,即证即证由于,即,即证令则恒成立在递增在恒成立【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,考查运算求解能力及化归与转化思想,关键是能够构造出合适的函数,将问题转化为函数最值的求解问题,属于难题.21.(1);(2)见解析.【解析】
(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.【详解】(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.∴曲线的方程为;(2)证明:设直线方程为,,则,设,由得,①,则,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【点睛】本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物
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