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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,,则()A. B. C. D.2.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()A.64 B.32 C.2 D.43.若,满足约束条件,则的取值范围为()A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.5.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.6.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.7.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.8.如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. B. C. D.9.函数的图象大致为A. B. C. D.10.已知集合,,则()A. B.C.或 D.11.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.12.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.14.已知向量,,若,则________.15.设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则______________.16.如图,在体积为V的圆柱中,以线段上的点O为项点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为,,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,点为边的中点,且,求的面积.18.(12分)如图,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,若存在求出的长,若不存在说明理由.19.(12分)已知椭圆()经过点,离心率为,、、为椭圆上不同的三点,且满足,为坐标原点.(1)若直线、的斜率都存在,求证:为定值;(2)求的取值范围.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.21.(12分)设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx.(1)讨论函数f(x)在[−π,π]上的单调性;(2)证明:函数f(x)在R上有且仅有两个零点.22.(10分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.2.A【解析】
根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,,故,,.故选:.【点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.3.B【解析】
根据约束条件作出可行域,找到使直线的截距取最值得点,相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域,如图所示:由图可知,当直线经过点时,取得最小值-5;经过点时,取得最大值5,故.故选:B【点睛】本题考查根据线性规划求范围,属于基础题.4.D【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.5.A【解析】
将双曲线方程化为标准方程为,其渐近线方程为,化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得,则其渐近线方程为,整理得.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用.6.B【解析】
试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.7.D【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.8.B【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积.【详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题.9.D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.10.D【解析】
首先求出集合,再根据补集的定义计算可得;【详解】解:∵,解得∴,∴.故选:D【点睛】本题考查补集的概念及运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.11.A【解析】
根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.12.D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,利用数形结合思想能求出结果.【详解】解:直线,点,,直线上存在点满足,的轨迹方程是.如图,直线与圆有公共点,圆心到直线的距离:,解得.实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,属于中档题.14.10【解析】
根据垂直得到,代入计算得到答案.【详解】,则,解得,故,故.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,向量模,意在考查学生的计算能力.15.【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得,,即故答案为16.【解析】
根据圆柱的体积为,以及圆锥的体积公式,计算即得.【详解】由题得,,得.故答案为:【点睛】本题主要考查圆锥体的体积,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)线段上是存在一点,,使直线与平面所成的角正弦值为.【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面;(Ⅱ)取中点,连结,,推导出平面,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值;(Ⅲ)假设在线段上是存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,设.利用向量法能求出结果.【详解】(Ⅰ)证明:取中点,连结、,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点,,四边形是平行四边形,,平面,平面,平面.(Ⅱ)解:取中点,连结,,在四棱柱中,平面平面,是边长为2的等边三角形,,,,点为的中点,平面,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,1,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,设平面的法向量,,,则,取,得,,,设平面的法向量,,,则,取,得,设二面角的平面角为,则.二面角的余弦值为.(Ⅲ)解:假设在线段上是存在一点,使直线与平面所成的角正弦值为,设.则,,,,,,平面的法向量,,解得,线段上是存在一点,,使直线与平面所成的角正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)首先根据题中条件求出椭圆方程,设、、点坐标,根据利用坐标表示出即可得证;(2)设直线方程,再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出,即可求出范围.【详解】(1)依题有,所以椭圆方程为.设,,,由为的重心,;又因为,,,,(2)当的斜率不存在时:,,,代入椭圆得,,,当的斜率存在时:设直线为,这里,由,,根据韦达定理有,,,故,代入椭圆方程有,又因为,综上,的范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解,三角形重心的坐标关系,直线与椭圆所交弦长,属于一般题.20.(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,变形为或或,解集为或.(Ⅱ)当时,,由此可知在单调递减,在单调递增,当时,同样得到在单调递减,在单调递增,所以,存在满足不等式,只需,即,解得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.见解析【解析】
(1)f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[−π,π]得x=1或或.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x1f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间,上单调递减,在区间,上单调递增.(2)由(1)得极大值为f(1)=−4;极小值为f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(−π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一个零点.显然x∈(π,2π)时,−4xsinx>1,x2−4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)时,f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上没有零点.因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x
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