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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.的展开式中的项的系数为()A.120 B.80 C.60 D.402.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②5.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()A. B. C. D.7.已知,则()A. B. C. D.8.复数的共轭复数为()A. B. C. D.9.已知函数,,若成立,则的最小值为()A.0 B.4 C. D.10.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.的共轭复数 D.11.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.12.两圆和相外切,且,则的最大值为()A. B.9 C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.14.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.15.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.16.若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点.(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求直线和圆的普通方程;(2)已知直线上一点,若直线与圆交于不同两点,求的取值范围.19.(12分)设函数.(1)解不等式;(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.20.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.21.(12分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
化简得到,再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选:【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.2.B【解析】
设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.3.C【解析】
设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.4.C【解析】
①举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确;②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.5.B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.6.C【解析】试题分析:通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知,只有选项C是符合要求的.考点:三视图7.C【解析】
利用诱导公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【详解】由可得,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三角函数的符号.8.D【解析】
直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.9.A【解析】
令,进而求得,再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上减,在上增,所以,所以的最小值为0.故选:A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用,考查了转化的数学思想,恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键,属于中档题.10.D【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为,,,所以的周期为4,故,故的虚部为2,A错误;在复平面内对应的点为,在第二象限,B错误;的共轭复数为,C错误;,D正确.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.11.B【解析】
根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值.【详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B.【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.12.A【解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.【详解】因为两圆和相外切所以,即当时,取最大值故选:A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.考点:几何体的体积的计算.14.【解析】
分别求得甲、乙被录取的概率,根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率;乙被录取的概率;只有一人被录取的概率.故答案为:.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题,属于基础题.15.【解析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、、依次成等比数列,则,即,,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.16.【解析】
函数的定义域为,求出导函数,利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线,解得,,联立解得的值.【详解】解:函数的定义域为,,,设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,∴,解得,.由,可得.联立,解得.故答案为:.【点睛】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1).(2)【解析】
(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解,再求点到直线的距离即可算出三角形面积.【详解】解:(1)曲线,即.∴.曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为,即,∴直线的直角坐标方程为.(2)设,,∴,解得.又,∴(舍去).∴.点到直线的距离为,∴的面积为.【点睛】此题考查参数方程,极坐标,直角坐标之间相互转化,注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标,属于较易题目.18.(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消参数可得直线的普通方程,由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离,因此有,,直接由韦达定理可得,注意到直线与圆相交,因此判别式>0,这样可得满足的不等关系,由此可求得的取值范围.详解:(1)直线的参数方程为,普通方程为,将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为,(2)解:直线的参数方程为代入圆的方程为可得:(*),且由题意,,.因为方程(*)有两个不同的实根,所以,即,又,所以.因为,所以所以.点睛:(1)参数方程化为普通方程,一般用消参数法,而消参法有两种选择:一是代入法,二是用公式;(2)极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式;(3)过的直线的参数方程为(为参数)中参数具有几何意义:直线上任一点对应参数,则.19.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)采用零点分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值,然后利用基本不等式及其变形完成证明.【详解】(1)当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得当时,不等式为,解得∴原不等式的解集为(2)当且仅当即时取等号,∴,∴∵,∴,∴(当且仅当时取“”)同理可得,∴∴(当且仅当时取“”)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式,难度一般.(1)常见的绝对值不等式解法:零点分段法、图象法、几何意义法;(2)利用基本不等式完成证明时,注意说明取等号的条件.20.(1)66.5(2)属于【解析】
(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.(1);(2).【解析】
(1)求导得到有两个不相等实根,令,计算函数单调区间得到值域,得到答案.(2),是方程的两根,故,化简得到,设函数,讨论范围,计算最值得到答案.【详解】(1)由题可知有两个不相等的实根,即:有两个不相等实根,令,,,,;,,故在上单增,在上单减,∴.又,时,;时,,∴,即.(2)由(1)知,,是方程的两根,∴,则因为在单减,∴,又,∴即,两边取对数,并整理得:对恒成立,设,,,当
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