2021-2022学年新教材高中数学单元素养检测四第五章三角函数含解析新人教A版必修第一册

单元素养检测（四）

（第五章）

（120分钟150分）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的）

57r2n2n

1.设a=sin—,b=cos—,c=tan—,贝！J()

777

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

57r27r27r

【解析】选D.因为a=sin—=sin—,b=cos—,

777

・271

asin~y27rn

所以a>0,b>0,且一二---JTi=tan->tan-=1,

bcos——74

7

2n

所以c=tan—>1,1>a>b>0,所以b<a<c.

7

2.若f（x）=cosx-sinx在［0,a］上是单调递减的，则a的最大值是（）

nn3

A.—B.-C.-nD.n

424

【解析】选C.由题意，f（x）=cosx-sinx

nitn7T3元

当x—e一，即x£一一一时,

42，2J44」

y=sin（%-单调递增,

n37rn3n

在一一—上单调递减，所以x£一一—是f（x）在原点附

44J44」

近的单调递减区间，结合条件得[0,a]u—

44.

33

所以0<a<-n,即a的最大值为一口.

44

3.已知角a的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(-3,4),则sina+cosa=

)

11

A.1B.-1C.—D.-

55

44

【解析】选D.由题得sina=・一,

25

j(-3)+42

33

cosa——

J(-3)2+425

1

所以sina+cosa二一.

5

【补偿训练】

将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos^2%-的图象?

【解析】y=sin2x=cos(,2%)=cos2x-

在y=cos(2%-彳中以x-a代x,

71

有y二cos二cos2x-2a-^.

2.

7T7TTT

根据题意，有2x-2a--=2x—-,得a-—.

248

n71/o7r\

所以将y=sin2x的图象向左平移一个单位长度可得到函数厂cos2%一一的图象.

84

4.已知函数y=sin(3x+9)(3>0,(P<的部分图象如图所示，则()

TCn

A.o=l,(p~~B.3=1,(j)~一

66

n7T

C.3二2,卬二一D.3=2,(0---------

66

TTTTTT

【解析】选D.T二冗，所以3=2,由五点作图法知2X一卜①二一，cp--一.

326

C

5.已知关于x的方程x12-xcosAcosB+2sin2-=0的两根之和等于两根之积的一半,则AABC一定

2

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【解析】选B.设已知方程的两根分别为xi,X2,根据根与系数的关系得：xi+x2=cosAcos

C

B,xiX2=2sin"2一二l-cosC,

2

1

因为Xi+X2=—X1X2,所以2cosAcosB=1-cosC,

2

因为A+B+C=n,

所以cosC=-cos(A+B)

=-cosAcosB+sinAsinB,

所以cosAcosB+sinAsinB=1,

即cos(A-B)二1,所以A-B=O,即A=B,

所以4ABC为等腰三角形.

6.(2020天津高一检测)已知函数f(x)=Asin(wx+(p)(A>0,>0,\(p\<^)是奇函数,将y=f(x)

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若

g(x)的最小正周期为2Jt,且g(”则

)

A.-2B.-V2C.V2D.2

【解析】选C.因为f(x)为奇函数，

所以f(0)=Asin0=0,0二kn(k£Z),

因为|W|<n,所以k=0,(p=0;

1

又g(x)=Asin-cox,

2n

所以T="j~-2n,

—26L)

所以3二2,又g

2x,f(^)=V2.

所以A=2,所以f(x)=2sin

,n\n

(3%+晶)(3＞。)的图象向右平移4个单位长度后，与函数

y=tan(tc)%+-

的图象重合，则3的最小值为()

1111

A..B.-C.一D.-

6432

【解析】选D.

、向右平移］•个单位长度

n\________?________,

y=tan((i)X+

4

y二tan3卜一1

+-二tan

4」

nnn

所以----3+kn=一

466

1

所以co=6k+-(k£Z),

2

1

又因为3>0,所以3mirFJ

2

8.设函数f(x)=sin'x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()

A.与b有关,且与c有关B.与b有关，但与c无关

C.与b无关,且与c无关D.与b无关，但与c有关

【解析】选B.f(x)=si/x+bsinx+c

cos2x1

二-------f-bsinx+c+-,

22

cos2x1

其中当b=o时,

f(x)的最小正周期为n；

当b=#0时,f(x)的最小正周期为2n.

c对千(x)的最小正周期无影响，

所以f(x)的周期与b有关但与C无关.

【拓展延伸】三角函数的周期公式

27r

y=Asin(3x+卬)，A>0,3>0,T二—

3

27r

y=Acos(3x+0),A>0,a>0,T=—

3

n

y=IAsin(3x+0)|,A>0,w>0,T=一

o)

n

y=IAcos(3x+0)I,A>0,w>0,T=一

o)

27r

y=IAsin(3x+8)+b|,A>0,3>0,b¥0,T=—

3

2n

y-1Acos(3x+@)+b|,A>0,co>0,bWO,T=—

o)

n

y=Atan(3x+0),A>0,3>0,T=一

3

71

y=Acot(3x+0),A>0,3>0,T=一

o)

n

y=Atan(3x+w),A>0,3>0,T=一

o)

n

y=IAcot(3x+@)I,A>0,3>0,T=一

3

【补偿训练】

71

下列函数中,最小正周期为n,且图象关于直线x二一对称的是)

3

A.y=sin2x+^

B.y=sin(2%+

C.y=sin(2%-g

D.y=sin

rIC

【解析】选D.y=sin2x+最小正周期为n,

nrn7t\1

x—时sin2X---t1---F-#=±1；

33672

n

y=sin(2XH---最小正周期为n

3

n/c711

但x二一时sinl2X-H---)二0/土1；

3k337

y=sin2x-^最小正周期为n

71

但x=-1时sin2X-*±1;

33

y二s।n最小正周期为n

（2、勺

nZnn\

x二一时sinlo2X———

3k367

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分）

9.若函数f（x）=sin3x（3>0）在区间（0,早）上单调递增，且f（T）O,则3的可能

值是（）

1337

A.-B.-C.-D.—

25410

（oc,小2rr上\单调递增，所以27rn

【解析】选CD.因为函数f（x）二sin3x（s>0）在区间

3

3W-.

4

2JT571

+

又0V~~~&A—37T，得3一7T＞—n,3＞2一.

244233

23

所以一＜3W-.

34

10.下列关于函数y=2cos2^%-：）-1的叙述正确的是（

)

A.最小正周期为兀，奇函数

B.最小正周期为偶函数

C.最小值为-3,最大值为1

D.最小值为-1,最大值为1

n2n

【解析】选AD.因为y=2cos2(%--)-l=cos(2x--|=sin2x为奇函数,T=—=n,最小值为

42

-1,最大值为1.

11.（2020•海口高一检测）设a,B是同一个钝角三角形的两个锐角（QWB）,下列四个不等

式中正确的是（）

A.tanatanB<1

B.sina+sinB<v2

C.cosQ+cosB>1

1

D.—tan(Q+B)<tan-------

22

nn

［解析］选ABC.设0<a<B〈一且a+B<一,

22

n

所以0<B<一"a,

2

所以0<tanB<tan(&一a)二cota,

所以tanatanB<tanacota=1,A正确；

sinB<sina,

所以sina+sinB<sina+cosa=V^sin(a+1),

n

因为a+B<一且a<p,

2

TC

所以0<a<一,

4

TCTC71

所以一<a一<-

442

所以1<^2sin(a+-

所以sina+sinB</^,B正确;

cos3>cos^~~0C『sina,

=V^sin(a+1)>1,C正确;

所以cosa+cosB>cosa+sina

如a+6

1tan———

-tan(a+3)=------

21-tari2-----

2

na+6n

因为0<a+B<一，贝I0<----<-,

224

a+0

所以0<tan----<1,

2

2a+6

所以0<tan—"—<1,

2

?a+B

所以0<1-tan----<1,

2

所以

2

t,anQ+6

-ra+0

所以，：-----石皮tan：一

1-tan2-----2

2

即二tan(a+^?)>tan———

,D错误.

12.关于函数f（xhZcos'-cos\2x+的描述正确的是（）

A.其图象可由y=V2sin2x的图象向左平成个单位长度得到

民£6）在（0,B）上单调递增

。£a）在［0,C］有2个零点

D.f(x)在一B，0上的最小值为-尤

2X+§-l=cos2x+sin2x

【解析】选A、C>D.f(x)=2cos"x-cos

V^sin(2%+

由yc/2sin2x的图象向左平移三个单位长度,

8

得到y二J^sin2

((%+力)伤《2%+9

所以选项A正确;

71TCn

令2kn—W2x+-W2kn+-,kGZ,

242

得其增区间为kn~—,kn+-,kez,

88J

f(x)在(0,上单调递增，在717t\

—,上单调递减,

所以选项B不正确;

nknn

令f(x)=0,贝I2x+—kn,k£-----,k£Z,x£[0,n],

428

37r77r7T八n37rn

所以x取--,--，所以选项C正确；x£*一,0,2x+-e2%+：卜

88244'4.

-1,同

f(x)G[一"，1],所以选项D正确.

三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

满足tan(a+i)=3tana+1,则tan2a的值为.

13.若锐角a

1+tQna

【解析】由题意可知:--------=3tanQ+1,

1-tana

1、

则tana二一或tana=0(舍去),

3

2X；

2tana3

:

贝tan2a=-------=

l-tan^a呜274

3

答案:一

4

14.已知函数f(x)=2sin(3%+尹)(

3〉0,00p7T

的部分图象如图所示,其中f(o)=i,|MNk|,则f(l)=

n_

【解析】因为f(0)=2sin0=1,0£—,7T,

57r

所以9二—.

6

\MN\=J22+G'43?

所以函数f(x)=2sin("+汾

所以f(l)=2sin-^"^7.

答案:T

cos40°+sinSO°(l+V3tanlO°)

15.------------：~/」--------

sin70Vl+cos40

.COS100+\55勿10°

cos400+sin50°

C0510°

［解析］原式二----------------

sm70°•V2COS200

2cos(60°-10°)

cos40°+sm50°

COSIO•=V2.

sin70Q•V2COS200

答案:企

nn

16.若一＜x＜一,则函数y=tan2x•tanx的最大值为.

42

nn

【解析】令tanx=t,因为一<x〈一所以t>l,

42

2tar^x2t42

3

所以y=tan2xtanx-11

l-tan^x1-t2

22

-8-

4

答案：-8

【补偿训练】

（R/）5九\

如图，函数y=2sin3x（4<X<三）与函数尸2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形

的面积是.

【解析】函数y=2sin3x（，<X<誓）图象的对称轴为直线x--,由函数图象的对称性,

利用面积“割补法”，得函数y=2sin3x（：<X<干）图象与函数y=2的图象围成封闭图

(71n\47r

形的面积是S=4X(一—一)=—.

\26/3

四、解答题（本大题共6个小题，共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知0<a<—,sina二一.

25

⑴求tana的值.（2）求cos2a+sin（Q+））的值.

n43

【解析】（1）因为0<a<一,sina二一，得cosa二一,

255

4

所以tana二一.

3

（2）cos2a+sin^—+（Z^=1-2sin2a+cosa

3238

"125+5-25

18.（12分）己知函数f（x）=sin3x（3>0）.

n

⑴当3=1时，写出由kf（X）的图象向右平移一个单位长度后得到的图象所对应的函数解析

6

式.

（2）若y=f（x）图象过点（早，0）,且在区间（0,

上单调递增,求3的值.

【解析】（1）由已知，所求函数解析式为

f（x）=sin（%—&）.

⑵由y=f（x）的图象过（半，0）点，

27r2n

得sin—co=O,所以—3二kn,卜£乙

33

3*

即3二一k,k£Z.又3>0,所以k£N.

2

3347r

当k=1时，3二一,f(x)=sin-x,其周期为—,

223

此时f(x)在(0,上单调递增;

27r2n4TT

当k22时，323,f(x)=sinu)x的周期为—^-―<—,

333

此时f(x)在(0,上不单调递增.所以3二

19.(12分)已知函数f(x)=sin'x—cos'x+zV^sinxcosx+1,

(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心.

(2)求函数f(x)在［0,可上的单调增区间.

【解题指南】(D利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简，然后利用正

弦函数的周期公式和对称中心公式可得答案；(2)先利用正弦函数的单调性写出函数f(x)在R

上得单调增区间，再由xe［0,兀］，对k取值,即可求得函数在［0,五］上的单调增区间.

【解析】⑴f(x)=sin'x-cos'x+2v3sinxcosx+1

二(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+v3sin2x+1

2%一沙

=V3sin2x-cos2x+1=2sin

2n

所以该函数的最小正周期T二一=n；

2

itkTt

令2x—一=kn,贝Ix=-n+——,

6212

k.71.\

—7TH----,1IkGZ.

(212J

7TTTTT

(2)令2kn—W2x—W2kn+—,k£Z,

262

71n

则kn一一WxWkn+-,k£Z.

63

7Tn

兀

当k=0时，由0<X<7T，解得OWxW［；

5nj.4TT

当k=1时，由OO,

,0<x<n

57r

解得一WxWn.所以，函数在［0,n］上的单调增区间是0,-7T,7T.

6状

20.(12分)已知函数f(x)=sin(&—％)sinx--V3COS2X.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值.

n2n

(2)讨论f(x)在一，—上的单调性.

L63」

2

【解析】(l)f(x)=sin(3-%)sinx-^3cosx=cosxsin1+cos2x)

1V32%竹

二一sin2x---cos2x-

22

2_V3

因此千(x)的最小正周期为n,最大值为----.

2

n27r71

⑵当x£一,—时，0W2x—Wn,从而

L63J3

71TCTt57r

当0W2x--W-,即一WxW—时,f(x)单调递增,

32612

nn57r2n

当一W2x--Wn,即—WxW—B寸,f(x)单调递减.

23123

n57r

综上可知，f(x)在一，一上单调递增;

1612」

57r2n~\

在—,—上单调递减.

1123J

21.(12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象

71

上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移一个单位长度.

2

(1)求函数f(X)的解析式,并求其图象的对称轴方程.

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在［0,2n)内有两个不同的解a,0.

①求实数m的取值范围;

2m2

②证明：cos(a-P)-——1.

【解析】方法一：(1)将晨x)=cosX的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

71n

得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移一个单位长度后得到y=2cos(%一一)的

22

TC

图象，故f(x)=2sinx.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kn+—(k£Z).

2

(2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx

sinx+y=cosx

V5sin(x+^sin(p=仁,cos(p

m

依题意,sin6+0)=7=在［0,2n)内有两个不同的解a,0,当且仅当

VS

故m的取值范围是(-V5,V5).

②证明：因为a,B是方程J弓sin(x+w)=m在［0,2n)内的两个不同的解.

mm

所以sin(Q+S)sin(B+9)二

V5V5

当