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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.2.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°3.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.5.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.6.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.7.设集合,,则().A. B.C. D.8.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.59.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.+110.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()A., B.存在点,使得平面平面C.平面 D.三棱锥的体积为定值11.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或012.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为______.14.已知函数对于都有,且周期为2,当时,,则________________________.15.设全集,,,则______.16.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在某社区举行的2020迎春晚会上,张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏,每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次,每个人击中鼓则得积分100分,没有击中鼓则扣积分50分,最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为,王慧每次击中鼓的概率为;每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响,假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.(1)若家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少?(2)张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.18.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.19.(12分)已知数列满足,,其前n项和为.(1)通过计算,,,猜想并证明数列的通项公式;(2)设数列满足,,,若数列是单调递减数列,求常数t的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数),直线经过点且倾斜角为.(1)求曲线的极坐标方程和直线的参数方程;(2)已知直线与曲线交于,满足为的中点,求.21.(12分)某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.(i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围.可能用到的参考数据:取,.22.(10分)某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)试说明,当越小时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.2.C【解析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.3.D【解析】
建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.4.D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.5.D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.6.D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.7.D【解析】
根据题意,求出集合A,进而求出集合和,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意,则故选:D【点睛】此题考查集合的交并集运算,属于简单题目,8.B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【详解】解:由,所以,,,故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.9.B【解析】
以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,可求出点,则,整理计算可得离心率.【详解】解:以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,取第一象限的解得,即,则,整理得,则(舍去),,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.10.B【解析】
根据平行的传递性判断A;根据面面平行的定义判断B;根据线面垂直的判定定理判断C;由三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,判断D.【详解】在A中,因为分别是中点,所以,故A正确;在B中,由于直线与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故B错误;在C中,由平面几何得,根据线面垂直的性质得出,结合线面垂直的判定定理得出平面,故C正确;在D中,三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,即三棱锥的体积为定值,故D正确;故选:B【点睛】本题主要考查了判断面面平行,线面垂直等,属于中档题.11.C【解析】
求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.12.B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【详解】如图:此四棱锥的高为,底面是长为,宽为2的矩形,所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断.14.【解析】
利用,且周期为2,可得,得.【详解】∵,且周期为2,∴,又当时,,∴,故答案为:【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15.【解析】
先求出集合,,然后根据交集、补集的定义求解即可.【详解】解:,或;∴;∴.故答案为:.【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于基础题.16.【解析】
由三角函数图象相位变换后表达函数解析式,再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式,进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则所以,当函数最大,最大值为故答案为:【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式,还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)详见解析【解析】
(1)要积分超过分,则需两人共击中次,或者击中次,由此利用相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根据相互独立事件概率计算公式,计算出分布列并求得数学期望.【详解】(1)由题意,当家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,所以要想领取一台全自动洗衣机,则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”,事件为“王慧第次击中”,,由事件的独立性和互斥性可得(张明和王慧家庭至少击中三次鼓),所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.(2)的所有可能的取值为-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列为-200-50100250400∴(分)【点睛】本小题考查概率,分布列,数学期望等概率与统计的基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数据处理,应用意识.18.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论,,三种情况得到单调区间.(Ⅱ)设,要证,即证,,设,根据函数单调性得到证明.【详解】(Ⅰ),令,,(1)当,即时,,,在上单调递增;(2)当,即时,设的两根为(),,①若,,时,,所以在和上单调递增,时,,所以在上单调递减,②若,,时,,所以在上单调递减,时,,所以在上单调递增.综上,当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)不妨设,要证,即证,即证,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在单调递增,所以,因为,所以,所以.【点睛】本题考查了函数单调性,证明不等式,意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.19.(1),证明见解析;(2)【解析】
(1)首先利用赋值法求出的值,进一步利用定义求出数列的通项公式;(2)首先利用叠乘法求出数列的通项公式,进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围.【详解】(1)数列满足,,其前项和为.所以,,则,,,所以猜想得:.证明:由于,所以,则:(常数),所以数列是首项为1,公差为的等差数列.所以,整理得.(2)数列满足,,所以,则,所以.则,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,叠乘法的应用,函数的单调性在数列中的应用,基本不等式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于中档题型.20.(1),;(2).【解析】
(1)由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程,由此可求曲线的极坐标方程;直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可;(2)将直线的参数方程,代入曲线的普通方程,整理得,利用韦达定理,根据为的中点,解出即可.【详解】(1)由(为参数)消去参数,可得,即,已知曲线的普通方程为,,,,即,曲线的极坐标方程为,直线经过点,且倾斜角为,直线的参数方程:(为参数,).(2)设对应的参数分别为,.将直线
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