第二章：善于用四大数学思想武装自己

第二章高：善于用四大数学思想武装自己

知识可分成两类，一类是陈述性知识，一类是程序性知识.陈述性知识是知识的事实，

如定义、定理、公式、法则等，对它们的学习主要是理解和记忆；程序性知识是怎样认知的

知识，主要表现为数学思想和数学方法，相比陈述性知识而言，它是“活知识”，能实现知识

的迁移和转换，是创造性思维的基础.通常认为，“数学方法”就是为解决问题而采用的手段、

步骤或程序，属于过程性的知识；而“数学思想”则是数学的基本观点，是对数学的概念、原

理、方法，法则本质的认识，对于解题，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识、方

法间的联系，调节解题，它是解题的指导思想，属于策略性知识由于数学思想常常表现为数

学方法的形式，所以通常把二者统称为“数学思想方法”数学思想是数学方法的概括和提炼,

思想比方法有更高的层次；数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与操作化的特点。

在数学学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，我们必须将自己置身

于解题的更高境界.高中数学学习的更高境界主要就是指运用数学思想武装自己，并有效地

指导解题.《考试大纲》中指出，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，

它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符

号来记录和描述，那么数学思想则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对

数学问题的认识、处理和解决

中学数学中主要的数学思想有：函数与方程的思想，分类讨论思想，数形结合思想，化

归与转化思想，在解决问题的过程中把变量之间的联系用函数关系反映出来，便形成了函数

思想，把一系列字母或待求的量通过列方程解方程求值，就是方程的思想，方程是从算术方

法到代数方法的一种质的飞跃；对于不同性质的同题用不同的方法或不同的知识加以解决，

便有了分类讨论的思想；把代数问题与几何向中的"形''结合起来，或借助于数的精确性来阐

明形，或利用“形”的几何直观性来表示数，这就是数形结合的思想把复杂的问题转化为简单

的问题，把一般的问题转化为特殊的间题，把尚未解决的问题转化为已解决的间题，把抽象

的问题转化为具体的问题等，便形成了转化的思想。

数学思想方法与数学基本方法常常在学习，掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们

又直接对知识的形成起指导作用。因此在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的

梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步自觉地，灵活地将其运用于所需要解决的问题

当中。

2.1函数与方程的思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，方程思想，是

从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方

程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，方程是从算

术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决

问题的目的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过揭示问题的数学特征，建立函数关

系型的数学模型，从而进行研究.它体现了“联系和变化"”的辩证唯物主义观点.运用函数

与方程思想解题时，往往需要将字母看作变量，将代数式看作函数，利用函数的性质做工具

进行分析，或者将一个等式看作某一个未知数的方程，或者构造一个函数把表面上不是函数

的问题化归为函数问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式，哪里有等式哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方

程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式向意也与方程密切相关，面函数和多元方

程没有什么本质的区别，如函数y=/（x）,就可以看作是关于苍夕的二元方程

/（x）-y=O.可以说，函数的研究离不开方程.列方程解方程和研究方程的特性，都是应

用方程思想时需要重点考虑的

一般地，函数思想是通过构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：定义

域、值城、单调性奇偶性、同期性、最大值和最小值，图像变换等，要求我们熟练练的是一

次函数、二次函数、函数，指数、对数函数、三角西数的其体特性，在解题中，善于挖题目

中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关，对所给的问观

察、分析、判断比较深入、充分，全面时。才能产生由此及的联系，构造出函数原型，另外，

方程问题、不等式问题和某些代数问也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答

非函数问题。

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方i面面t一是借助有关初等函数的

性质，解有关求值，解（证明）不等式、解方程以及过论数的取值等问题：二是在同题的研

究中，通过建立函数关系成构中间函数，把所研究的题转化为讨论函数的有关性质，达到化

难为易，化繁为简的目的，函数是方程与与不等式的中介，他们既有区别又有联系，高考数

学试题既有考查函数方程思想的基本概念与基本性质的客视试题，又有从深层次上对于函数

与方程思想进行综合考察的主观性试题，解答问题时，没有函数，有时候需要构造函数，再

利用导数，探究函数的单调性，最值性，因此，函数的特色是，将问题放置与一个动态的环

境去考察，去处理。

2.1.1显化函数关系

在方程不等式最值数列圆锥曲线等数学问题当中,将原有隐含的函数关系显现处理,

从而充分运用函数知识或函数方法使得问题顺利获解。

例题1：设等差数列｛《,｝的前项和为5„,已知%=12,52>o,S”<0求E,邑…,£

中的最大项。

讲解:由.=12得到％=12-2d所以S12=144+42J>0

工=134+784=156+52”<0,

所以一35“=磔1+殁="d=gd”2+（12—gd）”，由d<0,S,是关于

〃的二次函数，知对称轴方程为〃=?5—1匕2又由—二24<1<—3,得一6<巳5—匕12〈上13,

2d72d2

所以当〃=6时S,最大

评注：数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公

式都具有隐含的函数关系，都可以看成n的函数.在解等差数列、等比数列问题时，有意识

地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法,

且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.当然，本题也可利用等差数列的性质，得

S[2=6（4+%）〉0,13=13%<0,从而得4>°，/<0，由此推测$6最大.

【例2】（2010年高考浙江卷第15题）设为实数，首项为q，公差为d的等差数

列｛4｝的前〃项和为S“，满足S5s6+15=0则d的取值范围是

讲解：本题考查等差数列的前〃项和公式及方程有根的判定，体现了函数与方程的思

想.由S5s6+15=0得（（5%+10d）（6q+15d）+15=0，即2a；+9aQ+l（）〃2+1=0.关

于为的一元二次方程有解，A=81屋-8（10建+1）20，解得44-2/或dN2五

【例3】（2008年高考江苏卷第13题）满足条件A8=2,AC=03C的三角形ABC

的面积的最大值是

讲解:可设8C=x,则AC=&x，根据面积公式得S1MBe由余弦定

理得cosB=『由上两式得S0=$1一（丁）2=产一（工一12）2由

4xV4xV16

Jlx+x>2

'r-得2夜-2<x<2V2+2

x+2>yJ2x

故当x=26时，S^BC的最大值为2J5

2.1.2转换函数关系

在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取

值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，

挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解.

1I.AX

【例4】已知函数/（x）=lgi+f，其中a为常数，若当xe（—8,1］时，/（%）

47--47+1

有意义，求实数。的取值范围.

讲解参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于4的不等式（组）

非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识〃与其他变元x的依

存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”.

1,nr.4*nIa

由------->0S.a2-a+l=（a--）2+->0,得l+2'+4'-a>0，故

a2-a+\24

ci>—（~+—）。当Xe（―oo』］时，y——-与丁=二都是减函数，因此，函数

4242

111133

y=一（不■+王）在（-°0』］上是增函数，所以—（W7+57）max=一>一］，故。的取值范

3

围是（一7+8）

4

评注发掘、提炼多元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客

换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的

表现。本题主客换位后，利用新建函数y=-（以■+9•）的单调性巧妙地求出实数a的取值

范围。此法也叫主元法。

［例5］已知抛物线V=4y的焦点为£A,8是抛物线上的两动点，且

AF=>0）过A6两点分别做抛物线的切线，设其交点为M

（1）证明FM.AB为定值

（2）设AA6M的面积为S,写出S=/（/l）的表达式，并求出S的最小值

讲解⑴证明：由已知条件，得FQl）,，〉。设4和%）,3（%,当）由府=2屈,

得（一%,1一%）=4（々,当一1）即《「一1„将①式两边平方并把

[1-^=2（^-1）②

X=：x；,%=；¥带入得多=42%，③解②③式得乂=%y2=y,且有

44A

°1,1

x,x2=-^=-4Ay2=-4抛物线方程为y=,求导得了=耳》所以过抛物线A,3上

两点的切线方程分别是＞=3西。一内）+乂,丁=3々（*一起）+%即

y=-xix--xf,y^-x2x--xl解出两条切线的交点M的坐标为

242•4•

/%+/光/,、/M+X,[、„

（———-,-±-=-）=（———=-,-1）,所以iq

242

FM•AB=（*广，-2）•（马—西，—Y）=g（E——2（；后一；x：）=0

所以而•而为定值，其值为0

/SABM中，FMrAB因而S=g48卜尸知

（2）由（1）知在

归昨『广［+("=\11.1.1,

\~X\+1工2+万%%2+4

=Jyi+%+；x(—4)+4:《+；+2=瓜,

因为|A8|,|FM|分别等于A.B到抛物线准线y=-1的距离，所以

\AB\=\AF\+\BF\=yt+y2+2=A+-+2=

A

于是>2知S24且当/l=l时S

取得最小值4

评注：在解析几何中考查三角形面积的最值问题是高考的重点和热点，，求解的关键

是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值，应视函数式的特点而定，本题运

用的方法是利用均值定理放缩。

2.1.3构造函数关系

在数学各分支形形色色的问题和综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联

想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获

解，这是函数思想解题的更高层次的体现，特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发

掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移。

【例6】设a==，比较出。的大小关系

334+1335+1

讲解如果比较。-匕与0或区与1的大小，即用做差法、做商法来解，会较繁杂，

b

不易判断，根据a力两数的结构特点可构造函数/=,则

3叫1

。=7(33),。=/(34),若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出。功的大小，

、3A+13x+1+3(3x+1+l)+212巾也।

/(x)=—：---=-----：-----------：-----=-H-----：----因为3*+'在R上单倜递增,

3A+I+13(3X+I+1)3(3A+,+1)33(3A+I+1)

23'+］

所以ci八在R上单调递减，由此得/(幻=上『-在上R单调递减，故

3(3+1)y+'+1

/(33)>/(34),即。>力

,7

［例7］求方程x2+2X+2-X=-的解

2

讲解显然x=l是方程的一个解，记/(x)=f+2'+27，易证/(x)是偶函数。下

7

面探讨了(X)在(0,+8)上的单调性，先考察在(0，+8)上(除去x=l外)/(%)=-是

否还有其他解。因为g(x)=Y在(0,+8)上是增函数，只需考察/?(》)=2'+2一，在

(0,+8)是否是增函数

任取Xt,x2e(0,+oo),且>内，则

〃(马)一力(西)=(2应+()_(2'+《)=(2*—2为)(1一/)因为x,+x2>0,所以

2As>20=1,因此得1一一—>0又/>王，所以2士>2为，即2*—2*>0,所以

2XI+X2

h(x2)-h(xl)>0,即h(x2)>力(王)因此〃(x)在(0,+8)上为增函数。

77

故/(x)=g(x)+/i(x)在(0,+8)上为增函数，而/⑴=联所以/(x)=］在(0,+oo)

上只有一解x=l又f(x)为偶函数，/(x)在(-8,0)上只有一解x=T

所以原方程的解集为

7

评注9+2*+2-*=—是超越方程，此类方程在中学阶段没有一般解法，通过构造函

2

数/(幻=/+2*+2-*,然后从函数性质的研究中得出结论这是本题的巧妙之处。

［例8］设数歹ij{a,,},{〃,}满足ax=a>0,an+i=^~an,且

2=ln(l+a“)+；a：,"eZ+

(1)证明二^<?<1

q+2bn

(2)记{4},{"}的前项和分别为4,纥证明2纥一《<4a

〃+］

讲解由q=Q>0,a〃+1=二一Q〃，知a〃>0(〃£Z),

2n

故">0(〃eZ+).去<1=2—a“>0,构造函数/(x)=ln(l+x)+；x2—x(xZ0)则其

Iv-2

导数/'(x)=」一+》—1=—=当x>0时/'(x)>0故/(x)在(0,+8)上为增函数。所

l+xX+1

以fM>/(0)=0,即2一%>0,所以*<1.^77<*=ln(l+%)-册<0。构造函

b〃。〃+2bn

1—x

数g(x)=ln(l+x)-x(xZ0)则导数为/(©=；——1=-7当x<0时g'(x)在

1+XX+1

(0,+oo)上为减函数，故g(x)<g(O)=O所以

1,1,\,an2

ln(l+a“)一a“<0,ln(l+a“)+”,<。“+不禽，即勿<a"+qa,；故7综上所

，，，匕1%十乙

述——<—<1

%+2bn

(2)由4=。，4川得4±L=_L.4L故数列是以幺=。为首项，以

2〃n+12n［nJ1

；为公比的等比数列，所以4=〃｛；]〃=券因为22一d=ln(l+a“)，由(1)

的结论有2"一片=21n(l+a“)<2a“所以2々一片〈券所以

2纥—Afj=2[ln(l+4)+ln(l+%)+…+ln(l+%)]<2(4+/+,,,+。〃)

用错位相减法得摄•+最+最•+…+券=2(1一节^)

〃+2

所以2纥-4<4a(l--)<4a

评注通过构造函数f(x)^ln(x+l)+^x2-x,证明不等式

x--x2<ln(x+l)<x(x>0),本题综合考查了函数、数列、不等式及导数的有关内容。

2

2.1.4转换方程形式

把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用

有关方程的解的定理(如韦达定理，判别式，实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方

程思想应用的又一方面

【例9】直线y=x—3与抛物线y2=4x交于A,8两点，过两点向抛物线的

准线作垂线，垂足分别为P,Q，求梯形APQ8的面积。

讲解直线y=x—3与抛物线>2=4X交于A3两点，过A8两点向抛物线的

=4x

准线作垂线，垂足分别为RQ,联立方程组得消元得/一101+9=0解得

X=1x—9

和<_6所以|AP|=10,怛。|=2,|尸。=8梯形APQB的面积为48.

[y=-2I、y

【例10］已知函数/(x)满足条件/(x)+2/d)=x,求/⑴

X

讲解用L代换条件中的X得yd)+2/(x)=L因此，/(X)与/d)满足方

XXXX

/(x)+2/d)=x①②X2-①得3/(x)=*解得/(》)=*

程组〈X

f(-)+2f(x)=-②x3x

XX

评注本例实际上是把/(幻,/(，)看作未知数，通过解方程组求得了(X),是方程思想

X

的具体应用。

21tana

【例11］已知sin(。+/)=—,sin(a—〃)=—,求--的值

35tan/?

解法一由已知条件及正弦的和(差)公式得

.2

sinacosB+cosasin/?=一

3137

I所以sinacos/?=—,cos«sinp--从而

sinacos/?-cosasinP~~

tana_sinacos_13

tanpcosasinP7

解法二令t"an丽a’因为si赢n(a3+£=)710

sin(a+0tana1

--------h1

sin(a+夕)_cosacos°_tana+tan/_tan'_x+1

且所以得到方程

sin(a-(3)sin(a-0tana-tanptanax-1

cosacosBtan(3

X+110tana13

—解这个方程得一-=x=—

x-l3tan/77

评注上述解法二运用了方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sinecos/?与

.八tana

cos6^sin/?(或--)的方程来求解，从而获得所求的三角表达式的值。

tan/?

【例12］已知函数/(x)=logG(3x-a),当点P(x,y)在函数y=f(x)图像上时，

点Q(3x()在函数y=g(x)图像上

(1)求y=g(x)的表达式

(2)若A(x+a，x),B(x,%),C(3+a,%)为函数y=/(x)图像上的三点，且满足

2%=X+%的实数%有且只有两个不同的值，求实数"的取值范围

讲解易求出y=g(x)的解析式，问题可转化为一元二次方程。(幻=0的根的分布

问题，利用图像可获解。

y=log君(3尤一a)]

（1）由题意，得，yn8(3%)=彳1086(3%-。),令"3%则，>a并

-=g(3x)2

、乙

且g(f)=glog。«-所以g(x)=glog占(x-a)(x>a)

（2）由8。）=/1080（工一。）（1>。），

于是2y2=y+%nlogo（x-a）=；logox+l，上式可化为

x>a

x>a

x>0n人（2。+3）»/=。问题等价于方程

(x-a)2=3x

（2a+3）x+/=0（x>a）有且仅有两个不等的实根。记

夕（元）=%2_（2a+3）》+/,则奴x）=0在（0,+8）上有两个不等实根的充要条件为

△>012a+9>0

3

\（p（d）>0n《-3a>0解得--<a<0

4

2a+32a+3>2a

-------->a'

2

评注本题利用图像法及根与系数关系也可获解，一般涉及一元二次方程的根的分布

问题，要结合二次函数的图像进行系统转化，并且要求具体问题具体分析，常见的一元二次

方程根的分布规律有：

设ax?+0x+c=0（a〉0）的两根为％,工2（工|《工2），设/（x）=⑪2+区+。

（1）若％<，<*2，则等价条件为/（P）<0

f(m)<0

一般地，若玉<〃?<〃<无2，则等价条件为，

、/(〃)<0

A>0

b

m<------<n

（2）若机<X]V%2<〃，则等价条件为'2a

/(加)>0

/(H)>0

A>0

特别地，若，则等价条件为1一二＜。

2a

J（P）＞0

A＞0

若，则等价条件为《一丁h〉〃

2a

f（p）＞o

（3）若二次方程在（九〃）上有且只有一根，则等价条件为/,（机）•/（"）＜（）

f(m)=0/(⑼>0

或，/(n)>0或，八〃)=0

bb

m<-----<nm<-----<n

2。、2a

2.1.5构造方程形式

分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，

这就是构造方程法，是应用方程思想解决问题非方程问题的极富创造力的一个方程。

【例13】已知同=2,忸卜0,且关于x的方程/+同x+M石=0有实根，求万与日

夹角的取值范围。

讲解已知同=2跖卜0,且关于%的方程/+同工+〃石=。有实根，则

-b1同21

同2—4〃石20,设土与5的夹角为氏一=-,所以设了与5的夹

同他躯之2

71

角为。的范围是-，^

【例14】已知xe4,2,求函数＞=叵三2的最小值

-2」x

讲解将原函数变形为丁炉-5%+2=0/€1,2,设=5%+2,该方

程有解的充要条件为

15

—<----<2

2-2/

⑴心/⑵解得血4呼，所以

40或（2）M=25-8y2>0

>05/（2）>0

•Vmin=6此时X=5或X=2

评注本例体现了函数与方程思想的相互转化，相互补充，提供了构造方程（或函数）

解题的又一途径，拓展了解题思维的空间，应用方程思想解题时，易误认为方程有两个实根,

而从判别式考虑，未注意到是在区间；,2上有实根，必须用区间上的根的原理解决，审

题时应注意两类情况的区别，不可混为一谈。

当然，本题也可利用配方法解：y=+—,其中，€《,2,根

・V晨4）8尤1_2」

据二次函数的性质可知，当x时，yxO

【例15】已知直线/：y=A：（x+l）与抛物线C：V=4x交于不同的两点,问：是

否存在上,使以为直径的圆过抛物线C的焦点产？

讲解显然产的坐标为（1,0）,设4%,凹）,8（工2，>2），则乂=%（玉+1），、2=%（々+1），

当左=0时/与。只有一个交点不合题意，因此，攵0（）将^=以工+1）代入/二以得

公尤2+2/2一2）%+公=0①，依题意，不,马是①的不想等的两个根。则

△=4（42一2）2-4-、％2〉0

2（2-k2}

—p—②以A3为直径的圆过产

xtx2=1

<=>AF±fiFok..=—1o%•%=_]

fA\rtirii

%1-1x2-1

XX

Ox1x2+M%—（玉+工2）+1=°=\2+攵2（玉+l）（x2+1）一（菁+%2）+l=0

O（1+公）石工2+（/-1）（工1+工2）+1+r=0③

把％+工2=/^,斗工2=1代入③中得4公一2=0,；乂=±*，经检验，

左=±也适合②式。综上所说，％=±立为所求。

22

评注“是否存在符合条件的Z”,按思路的自然流向应变为“关于左的方程是否有解”,

另外，解得Z=±迫后，必须经过②式的检验，就是说％=±也时，/与C要确实有两个

22

不同的交点。

2.1.6联用函数与方程思想

在解综合题时，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是多种数学思想方法

的联用。例如函数思想与方程思想的联用，它们之间的相互转换使问题一步步获得解决，转

换的途径为“函数+方程+函数”或“方程+函数+方程”。

【例16】已知回二£=l(a),ce<),则有()

5a

A.b2>44cBb1>44cCkr<4acD.b2<4ac

解法一依题设条件有a・5-b・石+c=0则否是实系数一元二次方程

ax2+bx+c=Q的一个实根。得A=〃-4acN0,所以。224。(?.故选8

解法二去分母，移项，两边平方，W5b2=25«2+1Otzc+c2>1Oac+2»5a»c=20ac

则〃244心故选6

评注解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得

到解决；解法二转化为从是a,c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

【例17】设a>1,若仅有一个常数，使得对于任意的xw[a,2a],都有ye[a,4]

满足方程log.x+kgy=c,这时a的取值的集合为

讲解方程log“x+log”>=c是一个不定方程，可视为函数加以分析解决。

由已知得产三，单调递减，所以当xe[a,2a]时ye*,“1所以

x2

ac~]

----->ac>2+log”2

2n个因为有且只有一个常数。符合题意，所以2+log,2=3,解

c<3

ac~]<a2

得a=2,所以a的取值的集合为{2}

评注主要是综合考查数学素养，“对于任意的xe[a,2a],都有的意

2

义是“函数y=L在[a,2a]的值域是片]的子集”，不等式“夹逼原则”求出唯一的常

数

【例18]已知函数/。)=/+如+6在区间[0,2]上有两个零点，则2+6的范围是

讲解设两个零点分别为王,龙2。则玉+々=一。，*/2=b所以

2a+6=—2(%+々)+须％=(2-玉)(2-/)=—4根据零点的已知范围易得，所求范围为

[-4,0]=

变式求/一2。的范围。

2

讲解a=+x2),b-xix2,a-2b+xfe[0,8]

评论本题若用根的分布列不等式组来做会比较麻烦，以上解法简捷明了。

【例19】设。为实数，i己函数/(尤)=4，1一＞2一，]+X+31一%的最大值为g(a)

(1)设，=1心+)匚提，求f得取值范围，并把/(X)表示为，的函数根⑺

(2)求g(a)

(3)试求满足g(a)=g(3的所有实数

a

讲解(1)因为/=+J匚所以要使得，有意义，必须有x+120,且1—xiO,

即一IWxWl,又/=2+211-%2e[2,4],且①

所以f的取值范围是[夜,2],由①得JT=g»T，故

/??(/)6Z(—1~-1)+f=—Clt~+t—61,tG2]

(3)由题意知g(a)即为函数皿[夜,2]的最大值，因为直线

11

t=-一是抛物线加«)=—。9产+/一。的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论；

a2

(i)当a〉0时，函数根(。=3。/+/一。1@[&,2]的图像是开口向上的抛物线的

一段，由/=一1<0知，W。)在fw[a,2]上单调递增，故g(a)=根(2)=。+2

(ii)当a=0时加(f)=ga产+，-ajG[0,2],有g(a)=2;

(迨)当。<0时，函数相(/)=3。产+，一。/£[播,2]的图像是开口向下的抛物线的

15

一段，若，=一一e(0,V2],即°4一在时，g(a)=m(及)=血

a2

W时,g⑷1

若/=-，6(后,2],即ae-a-----

a2a

g(a)=m(2)=m+2

a+2(。＞一；)

综上所述:

।3

(3)当a＞一,时，g(a)=a+2＞-＞y/2

当一立＜a4—,1I(近、

时一aG5'三’一五c3，1故-QW-----

222a

g(a)=-a-—＞2J(-a)•(--)=V2故当Q＞一正时，g(a)＞V2

2aV2a2

当。＞0时，—＞0,由g(a)=gd)知。+2=工,故a=l

aaa

当。＜0时，=1,故。＜一1或!＜一1,从而有g(a)=血或gd)=及，从而

aaa

使g(。)=g(-)必须有a＜4—立即一&＜a4，此时g(a)=6=g(-)

ala22a

i/y

综上所述，满足g(a)=g(一)的所有实数。为—夜注或。=1

a2

评注本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法以及综合运

用数学知识分析问题和解决问题的能力。

【例20］已知直线/过点A(l,-2)和点8(4,1)

(1)若直线/与双曲线y2=i(a〉o)相交于瓦尸两点，且线段防的重点

a~

坐标为，求。的值

(2)对于平面上任一点P，当点0在线段A3上运动时，称|PQ|的最小值为尸与线段

AB的距离，已知点尸在x轴上运动，写出点PQ,0)到线段AB的距离关于/的函数关系式。

y=%—3

⑴由，V4一。卜+6龙-10=0

讲解得

V=i

设£1(%,y),F(X,y2),则玉+/=--=8,得a=2

2\-a~

⑵解法一设线段AB上任意一点。的坐标(x,x—3)|p0=J(-x)2+(x_3)2

记/(X)=J«_X)2+(X_3)2(1<X<4)

①当三"即时，与卜也

IVT<,<5|PQL=《F

②当(>4即f>5时，f(x)在［1,4］上单调递减,

="4)=4-41+1；

③当4即,<-1时，小)在口，用上单调递增，

|叫=川)="5+4;

7(r-1)2+4,,<-1'

用-3|

综上所述，〃(力=-2~，—1K，45,

7(?-4)2+1,

t>5.

解法二过A,B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于

A(10)，4(5,0)如图2-1-1所示。

①当点P在线段上，即-lWt<5时，

由点到直线的距离公式得|尸。二=噂；

mm12

②当点P在点A的左边，t<-i时,

归。*=|必|=衍不

③当点P在点4的右边，r>5时，1301nM=|尸身=4_4)2+1；

4-1)2+4,<1，

印-3|

综上所述，取)=―-l<f<5,

"4)"->5

评注第(1)问是运用了方程的思想，解方程组即可，第(2)问实质上是二次函数在限

定区间上的最值问题，注意分类求解。

【例21】已知/(x)=x2+("7+l)x+lg\m+2|(机w-2,/neR)

(1)若/(x)能表示成一个奇函数ga)和一个偶函数力。)的和，求g(x)和〃的解

析表达式。

(2)若/(x)和g(x)在区间［怆帆+2］,(加+1)2］上都是减函数，求m的取值范围。

(3)在(2)的条件下，比较/⑴和，的大小。

讲解第⑴小题可从方程的观点解出g(x)和〃(X)；在第⑵小题中，由式〃x)和g(x)的单

调性可得到关于m的一个不等式组；第(3)小题则可借助于函数的单调性进行灵活转化。

由题意得/(x)=g(x)+h(x),

所以/(-x)=g(-x)+/?(-x)=-g(x)+/?(x),

由①②得g(x)=；［/(x)-/(-%)］=(m+l)x.

h(x)=f(x)-g(x)=x2+lg\m+2|.

⑵由gM=(m+l)x为减函数得m+l<0,即〃"-1.

又由f(x)在［怆3+2］,(m+1力上为减函数，

得(〃?+1)20”,

3

所以--

2

3

由③④得-尹，此时lgpn+2|v(6+1＞.

3

故加取值范围是

(3)/(I)=m+2+1g忸+2|

易证在团)=m+2+1g帆+2]在上为增函数

311

故/⑴=以加之以一5)=-4-lg—

又＜+=;+坨〈＞。，故/⑴

22032o

评注一般地，定义在对称区间(-/，/)上的函数/(X)总能表示成一个奇函数和一个

偶函数之和，实际上，f(x)^[f(x)+/(-x)J+^[/(X)-f(-x)].

易证g(x)=g"(x)—f(—X)L为奇函数，〃(x)=g"(x)+)(一切为偶函数。

2.2分类讨论思想

在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一

的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区

域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大

化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但

分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种‘'合一一分一一合”的解决问题的过程，

就是分类讨论的思想方法。

分类讨论是许多考生的弱点，是高考的热点和难点。分类讨论思想在函数、数列、不等

式、解新几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题求解中有广泛的应用。

2.2.1分类讨论的原则与方法

分类讨论思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，对分类讨论思想要特别

注意以下几个方便：

1.明确引起分类的原因

根据引起分类的原因确定分类的标准才能有的放矢。引起分类的原因主要有：（1）某些

概念、定理、性质、法则、公式分类定义或分类给出：（2）含参数的函数、方程、不等式

等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”；（3）在研究几何问题时，由于图形的

变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能；（4）排列组合问题中含有

特殊情况或特殊要求。

2.掌握准确分类的方法.

能够进行科学的分类，分类时要注意标准统一，不重不漏。正确分类，有以下几个原则：

（1）要有明确的分类标准；（2）对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；（3）当讨论的对象

不止一种时，应分层次进行，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类另有

统一的标准。

3.注意分类结论的整合.

分类讨论思想具有明显的逻辑特征，解决这类问题需要有一定的分析能力和分类技巧。

但是，在重视分类讨论思想应用的基础上，也应防止“逢参就论”的倾向，能整体处理、

可免讨论的就不必自讨苦吃，非‘'论"不可了。

【例1］设集合/={1,2,3,4,5}。选择/的