北京三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题（含解析）

北京三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编一解答题

（含解析）

一、解答题

1.（2022・北京・统考高考真题）在AABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C；

（2）若6=6,且AABC的面积为66，求AABC的周长.

2.（2022・北京•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-44。中，侧面BCG4为正方形,

平面BCC4,平面AB=BC=2,M,N分别为丹与，AC的中点.

⑴求证：〃平面BCG4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面8A/N所成

角的正弦值.

条件①：ABLMN,

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

3.（2022•北京・统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,

比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数

及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E

(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证

明)

22

4.(2022•北京•统考高考真题)已知椭圆：氏=+2=1(°>6>0)的一个顶点为A(0,l),

ab

焦距为2班.

⑴求椭圆E的方程；

(2)过点尸(-2,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线AB,AC分别与

x轴交于点N,当|MN|=2时，求上的值.

5.(2022•北京・统考高考真题)已知函数/(x)=e，ln(l+x).

(1)求曲线y=/(x)在点(。,/(。))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,内)上的单调性；

(3)证明:对任意的sJw(0,+8),Wf(s+t)>f(s)+f(t).

6.(2022•北京・统考高考真题)已知。：％,出,…,如为有穷整数数列.给定正整数〃z,若

对任意的"e{1,2,…,刈，在。中存在即4+1，6+2,.••，《+/0^0),使得

ai+aM+ai+2+"-+ai+j=n,则称。为根-连续可表数列.

⑴判断。：2』,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

⑵若Q：%,出,…，4为8-连续可表数列，求证：上的最小值为4；

⑶若Q：%,%…，4为20-连续可表数列，且可+。2+…+4<20,求证：k>1.

7.(2020•北京・统考高考真题)如图，在正方体ABC。-4月£。中，£为B片的中点.

试卷第2页，共4页

（II）求直线用与平面ARE所成角的正弦值.

8.（2020.北京・统考高考真题）在AABC中，a+b=ll,再从条件①、条件②这两个条

件中选择一个作为己知，求：

（I）。的值：

（II）sinC和AABC的面积.

条件①：c=7,cosA=-y；

19

条件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

9.（2020・北京・统考高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活

动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机

抽样，获得数据如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有

2人支持方案一的概率；

（III）将该校学生支持方案二的概率估计值记为Po，假设该校一年级有500名男生和

300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为A，试比较P。与

Pi的大小.（结论不要求证明）

10.（2020•北京•统考高考真题）已知函数了（功=12-尤2.

（I）求曲线y=的斜率等于-2的切线方程；

（II）设曲线y=在点⑺）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s（r）,求

s⑺的最小值.

22

11.(2020•北京.统考高考真题)已知椭圆C:与+与=1过点4-2,-1),且々=劝.

ab

(I)求椭圆C的方程：

(II)过点8(-4,0)的直线/交椭圆c于点M,N,直线舷4,N4分别交直线x=-4于点

P2求溪的直

12.(2020・北京・统考高考真题)已知｛%｝是无穷数列.给出两个性质：

2

①对于｛4｝中任意两项％为(，＞/)，在｛4｝中都存在一项。加，使，加；

aj

②对于｛%｝中任意项。,在｛%｝中都存在两项氏，。/(左＞/).使得

(I)若4=〃("=1,2,…)，判断数列｛4｝是否满足性质①，说明理由；

1

(II)若an=2-(〃=1,2,...),判断数列｛4｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由;

(III)若｛4｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛4｝为等比数列.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.⑴！

6

(2)6+673

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的

值；

(2)利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ULBC的周

长.

【详解】(1)解：因为Ce(O/),则sinC>0,由已知可得指sinC=2sinCeosC,

可得cosC=走，因此，C=j

26

(2)解：由三角形的面积公式可得1ABe=；4加山。=：。=66，解得°=4/.

由余弦定理可得c?=/+62-2abcosC=48+36-2x4石x6x且=12,:,c=2后,

2

所以，AA5c的周长为a+b+c=6有+6.

2.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)取4B的中点为K,连接〃K,NK,可证平面M3〃平面BCC4,从而可证MN〃

平面BCGA.

(2)选①②均可证明8百，平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间

向量可求线面角的正弦值.

【详解】(1)取A3的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-可得四边形ABBtAt为平行四边形，

而耳MM4p3K=K4,则MK//BB,,

而MK.平面BCC4，平面BCC4，故MK〃平面BCC4,

答案第1页，共21页

而CN=NA,BK=KA,则腔〃BC,同理可得NK〃平面BCC#,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCC4,而"Nu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

（2）因为侧面BCC再为正方形，故

而C3u平面BCC,B,,平面CBB（11平面ABB}\,

平面CBBGc平面ABB^=BBl,故CB_L平面ABB^,

因为NK//BC,故NK_L平面48与4,

因为A5u平面43瓦4，故NKLAB,

若选①，则AB_LM?V,而NKJ_A6,NK^MN=N,

故AB/平面MAK,而MKu平面MNK,故AB_LA/K,

所以而CB_LB2],CBcAB=B,故2与，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故丽=(0,2,0),丽=(1,LO),两=(O,L2),

设平面BNM的法向量为〃=（尤,y,z）,

n-BN=0x+y=0

,从而取z=—l,则”=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

设直线AB与平面BMW所成的角为6,则

若选②，因为NK〃夕C,故NK_L平面A844，而KMu平面MKN,

故NKLKM,而BM=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B1B=MK=2,MB=MN,故ABB、M*MKN,

所以ZBBtM=ZMKN=90°,故4用1BBl,

而CBcAB=B,故5耳，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l』,0）,M（0,l,2）,

答案第2页，共21页

故丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽=(O,l,2),

设平面BMW的法向量为〃=(x,y,z),

fn-BN—0f%+y=0—，.

则kFZ从而CC，取z=—l，则〃=-2,2,-l,

[fi-BM=01y+2z=0''

设直线A3与平面BMW所成的角为6,则

3.(1)0.4

⑶丙

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计

值最大.

【详解】（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件4

------3

p（x=0）=P（A44）=0.6x0.5x0.5=,

p（x=1）=P（AAA）+P（444）+p（44a）

答案第3页，共21页

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P(X=2)=p(a&A)+尸(A44)+P(AAA)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P(X=3)=P(A44)=0.4x0.5x0.5=.

・・・X的分布列为

X0123

3872

P

20202020

38727

石(X)=0x——+lx——+2x—+3x——二

202020205

（3）丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为3，甲获得9.80

的概率为［，乙获得9.78的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越

106

多，对丙越有利.

4.(1)—+/

4

⑵无=T

b=\

【分析】（1）依题意可得2c=26,即可求出。，从而求出椭圆方程；

c2=a2-b2

（2）首先表示出直线方程，设网%,%）、C值,%）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达

定理，由直线AB、AC的方程，表示出X”、xN,根据卜|孙-泡|得到方程，解得即可;

【详解】（1）解：依题意可得6=1,2c=26,又。2=“2一加，

所以。=2,所以椭圆方程为土+y2=l；

4

（2）解：依题意过点尸（-2,1）的直线为y-1=为为+2）,设8（%,%）、C（x2,y2）,不妨令

答案第4页，共21页

-2<^<x2<2,

y-l=k（x+2）

由2,消去y整理得（1+4%2）£+（16左2+8人）％+16左2+16左=0,

彳+y=1

所以A=（16廿+认）2-4（1+4阴（16左2+169>0,解得k<0,

r-r-KI16左~+Sk16k2+16左

xx

所以玉+%=--1+锹2，r2=1+442

直线AB的方程为y-1=%匚X,令尸。，解得“意

X

<Vo—1

直线AC的方程为令y=o,解得/=#-

x21-%

所以门一年=|矶巧+2)&+2),

2c

16k2+8kI,I6k2+16k616/+16左（16左2+8左

即-4x......—^\1k\1-------+2-+4

1+442I1+4左21+4左21+442

BP^（2,2+4）2_（1+4/）仔+4）=[16左2+16左一2（16左2+8左）+4（1+4左2）]

整理得8G=4阳，解得上=-4

5.(1)丫=%

⑵g(x)在［0,+s)上单调递增.

答案第5页，共21页

(3)证明见解析

【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

(3)令皿x)=/(x+r)-/(x),(x,r>0),即证机(无)>加(0),由第二问结论可知根(X)在［0,+00)

上单调递增，即得证.

【详解】⑴解:因为解x)=e，ln(l+x),所以〃0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又小)=或比(皿)+占,

.•.切线斜率左=尸(0)=1

切线方程为：丁=工

⑵解：因为g(x)=「(x)=e，(ln(l+x)+占),

21

所以g⑷=e*(ln(l+x)+--石彳),

令力—+占一.’

i22x2+l

贝U"(X)=-HT=--------T>0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+X)3

Mx)在［0,”)上单调递增,

h(x)>/z(0)=1>0

•**g'(x)>。在［0,+8)上恒成立，

・・・g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)解：原不等式等价于/(s+，)-/(§)>/(%)-/(0),

令m(x)=/(%+力一f(x),(x,r>0),

即证相(%)>加(。),

*/m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(l+x+t)-exln(l+x),

x+tx

加(x)=ex+tln(l+x+t)-\----e---------exln(l+x)---e-----=g(x+/)—g(x),

1+x+t1+x

由(2)知8(%)=/'(%)=匕*(山(1+兀)+1^)在［0,+8)上单调递增，

.・・g(x+t)>g(x),

答案第6页，共21页

/.m(x)>0

在(O,+8)上单调递增，又因为XJ>O,

/.机(x)>机(0),所以命题得证.

6.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

(2)证明见解析.

⑶证明见解析.

【分析】(1)直接利用定义验证即可；

(2)先考虑左43不符合，再列举一个左=4合题即可；

(3)左45时，根据和的个数易得显然不行，再讨论左=6时，由/+%+…+4<2。可知里

面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.

(1)

a2=l,4=2,a,+a2=3,a3=4,a2+a3=5,所以。是5-连续可表数列；易知，不存

在iJ使得«,-+aM+-■■+ai+j=6,所以。不是6-连续可表数列.

(2)

若左43,设为"c,则至多o+b,b+c,a+b+c,a,b,c,6个数字，没有8个，矛盾；

当左=4时，数列Q：L4,1,2，满足q=1,%=2,%+%=3,%=4,%+%=5,q+%+%=6,

。2+/+〃4=7,%+%+。3+。4=8,媪=4.

(3)

。9，出,…，怎，若，=/最多有七种，若/九最多有C：种，所以最多有无+或=处皿种,

-2

若左45,则％,出,…,4至多可表空⑴=15个数，矛盾，

2

从而若左<7,则％=6,a,6,c,d,ej至多可表曾1=21个数，

^ja+b+c+d+e+f<20,所以其中有负的，从而。,6,。,3,土/可表1~20及那个负数(恰21

个)，这表明。~了中仅一个负的，没有0,且这个负的在。~了中绝对值最小，同时。~了中没

有两数相同，设那个负数为-机(机21)，

答案第7页，共21页

贝U所有数之和之，“+1+〃Z+2H-----\-m+5—m=4m+15,4m+15<19=>??i=l,

.■.{a,b,c,d,e,f}={-l,2,3A5,6},再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个,

,.•1=-1+2（仅一种方式），

.•.-I与2相邻,

若-1不在两端，则"三,T,2,形式,

若x=6,则5=6+（T）（有2种结果相同，方式矛盾），

:.x^6,同理XN5,4,3,故-1在一端，不妨为"zl，2,A旦G2”形式，

若4=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，

A=5,则6=-1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而4=6,

由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

这2种情形，

对①：9=6+3=5+4,矛盾，

对②：8=2+6=5+3,也矛盾，综上上W6,

当Z=7时，数列1,2,4,5,8,-2,T满足题意，

:.k>l.

【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为机-可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以

是一项）之和能表示从1到加中间的任意一个值.本题第二问左43时，通过和值可能个数否

定女43；第三问先通过和值的可能个数否定发45,再验证左=6时，数列中的几项如果符合

必然是{T,2,3,4,5,6}的一个排序，可验证这组数不合题.

7.（I）证明见解析；（H）

【分析】（I）证明出四边形为平行四边形，可得出2C//AR,然后利用线面平行的

判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（II）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立

空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】（I）［方法一］：几何法

如下图所示：

答案第8页，共21页

在正方体ABCO-AAG，中,ABIRB、且AB=A1B],ABJ/CQ、且44=CR,

.•.48//£R且48=6口,所以，四边形ABG2为平行四边形，则BCJ/AQ,

•.•8C]n平面ARE，AZ)[U平面AD]E,,BC]〃平面A，E；

[方法二]:空间向量坐标法

以点A为坐标原点，AD.AB,AA所在直线分别为x、＞、z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系A-孙z,

设正方体ABCD-AB£A的棱长为2,则A（0,0,0）、4（0,0,2）、0（2,0,2）、£（0,2,1）,

皿＞（2,0,2）,通=（0,2,1）,

一/、\h-AD,=0f2%+2z=0

设平面A?E的法向量为〃=X,y,z,由一I,得C八，

n-AE=Q|2y+z=0

答案第9页，共21页

令z=—2,贝！|x=2,y=l,则万=（2,1,—2）.

又：向量南=（2,0,2）,^>i=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又平面.1BQ//平面A£）1E；

（II）［方法一］:几何法

延长CG到P,使得GF=8E,连接石/，交Bg于G,

又•.•C//ABE,.•.四边形8EPG为平行四边形，尸，

又•/BC\IIAD\ADj//EF，所以平面ARE即平面ADtFE,

连接。。，作G"垂足为“，连接我，

,?FG1平面4月C1〃,DXGu平面4月GR,Fq1RG,

又•:FC。QH=G,/,直线Dfi±平面C/H,

又直线Dfiu平面RGF,：.平面DfiF1平面QFH,

G在平面DfiF中的射影在直线FH上,•••直线FH为直线FG在平面DfiF中的射影,

ZC.FH为直线FQ与平面DfiF所成的角，

根据直线FCJ!直线AA,可知ZC/H为直线AA与平面ADfi所成的角.

2x12

则GG=GP=1,〃G=6；.CH=

设正方体的棱长为2,t石一君

C[H_2

sinZCjFH=

FH-3

7

即直线朋与平面ARE所成角的正弦值为;.

答案第10页，共21页

［方法二］:向量法

接续（I）的向量方法，求得平面平面ARE的法向量3=（2,1,-2）,

__,—..,几'AA.42

又•••明=（。,0,2）,cos<",M>=闲=一石=一§，

•••直线AA与平面ARE所成角的正弦值为;.

［方法三］:几何法+体积法

如图，设的中点为R延长4耳,人民。尸，易证三线交于一点P.

因为所〃AR,

所以直线M与平面ARE所成的角，即直线B}E与平面PEF所成的角.

设正方体的棱长为2,在！PE尸中，易得PE=PF=下,EF=母,

3

可得凡

1311

由/棱鸭-尸M=七棱鼾-且所，M-X-=-x—X1X1X2,

7

整理得4H=1.

所以sinNB［EH=当，=；.

所以直线A4与平面所成角的正弦值为1.

答案第11页，共21页

［方法四］:纯体积法

设正方体的棱长为2,点A到平面AEDt的距离为h,

在△AEQ中，AE=45,ADi=141,D,E=3,

。尸+盘―师_9+5-8_非

cosZAEDX=

2D{E'AE2x3x逐5

所以sin/AED、=~~，易得口皿二3.

114

由^E-AAXDX~^Ai-AEDi，得•A4=3SAAED、，h9解得a=；,

.八〃2

设直线用与平面AE2所成的角为0,所以=7丁=£.

【整体点评】（I）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算

进行证明；

（11）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学

生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算

论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；

方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论

证，不失为一种优美的方法.

8.选择条件①（I）8（II）sinC=—,S=6A/3;

2

选择条件②（I）6（II）sinC—~~~，S=—•

44

【分析】选择条件①（I）根据余弦定理直接求解，（H）先根据三角函数同角关系求得sinA,

再根据正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；

答案第12页，共21页

选择条件②(I)先根据三角函数同角关系求得sinAsinB,再根据正弦定理求结果，(II)

根据两角和正弦公式求sinC,再根据三角形面积公式求结果.

【详解】选择条件①(I)•.-c=7,cosA=-1,a+b^ll

■-a2=b2+c2-2bccosA:,a2=(ll-iz)2+72-2(ll-iz)-7-(-y)

.,.a=8

(II),/cosA=,A£(0,4)sinA=—cos?A=

77

ac87.「G

由正弦定理得：sinAsinC4乖)sinC2

S=；basinC=(11-8)x8x=6^3

19

选择条件②(I)vcosA=-,cosB=一，A,BE(0,7i)

816

/.sinA=A/1-COS2A=^^-,sinB=A/1-COS2B=

816

....a......-b____a,-------_\_\_-_a_-Q-6,

由正弦定理得：sin^—sinB一3夕—亚…

~8~~16~

/TT\.'(\D\-A.3A/795>/71V7

Qli7sinC=sin(A+B)=sinAcosBD+sinBDcosAA=-----x1--------x—=

8161684

a17,「1心小公币15币

S=­basinC=—(H-6)x6x——=-------

2244

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档

题.

13

9.（I）该校男生支持方案一的概率为:，该校女生支持方案一的概率为:；

13

（II）W（III）Pl<Po

36

【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果；

（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果;

（III）先求Po，再根据频率估计概率Pi，即得大小.

【详解】（I）该校男生支持方案一的概率为二^二!，

200+4003

该校女生支持方案一的概3率00为=43；

300+1004

（II）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一

答案第13页，共21页

个男生支持方案一，一个女生支持方案一,

Ia1141a

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：匕)2(1-7)+&6)(1;=前；

3433436

(HI)Pl<P0

【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属

基础题.

10.(I)2x+y-13=O,(II)32.

【分析】(I)根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

(II)根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角

形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】(I)因为〃x)=12-尤2,所以解(x)=-2x,

设切点为(为,12-2),则-2/=-2,即%=1,所以切点为(1,2),

由点斜式可得切线方程为：y-ll=-2(x-l),即2x+y—13=0.

(ID［方法一］：导数法

显然蜂0,因为y=/(无)在点”,12-4处的切线方程为：y一-2《xT),

令x=0,得y=〃+i2,令y=°,得1=^_^,

2t

所以5(。=夫行+12)-箸，

乙乙I4I

不妨设t>0«<0时，结果一样)，

则§⑺/+2：；+144=*+24/+?),

所以S")=L3/+24-学)=3(,+城一48)

4t4r

3(』-4)(』+12)3(/-2)(r+2)(d+12)

=4?=4?'

由S'(r)>0,得］>2,由S(r)<0,得0</<2,

所以S⑺在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以f=2时，S⑺取得极小值，

也是最小值为5(2)=电誓=32.

O

［方法二］【最优解】：换元加导数法

答案第14页，共21页

.(产)；

s*■篙+12=.(^o).

-Id-

2

因为S⑴为偶函数'不妨设S⑺=；♦r+12

令〃=",则。=〃2,Q>0.

令g(a)=《±U,则面积为S=1g(a)f,只需求出g(q)=《±U的最小值.

a4a

2

.4/•Q—/_123a4-123(4-2)(/+2)3(a-V2)(fl+V2)(a+2)

g(4)=一/一

因为。>0,所以令g'(a)=0,得0=虚.

随着a的变化，g'(a),g(a)的变化情况如下表:

a(o,@(亚,+8)

g'S)-0+

g⑷减极小值增

所以［g(a)］mi„=g(夜)=£=8万.

所以当。=&，即仁2时，［5(；)］3=%(8夜)2=32.

因为及⑺］为偶函数，当r<0时，［S⑺1mto=5(-2)=S(2)=32.

综上，当t=±2时，S0)的最小值为32.

［方法三］:多元均值不等式法

同方法二，只需求出g(a)="^(。>0)的最小值.

a

人，、/+123444、//444。6

令g(a)=---------=aH1-----1—N组a3-----------=8,2,

aaaayaaa

当且仅当即q=0时取等号.

a

所以当。=血，即/=2时，［5(53=；*(8夜)2=32.

因为S⑺为偶函数，当/<0时，［5。)］*=5(-2)=5(2)=32.

答案第15页，共21页

综上，当t=±2时，S⑺的最小值为32.

［方法四］:两次使用基本不等式法

同方法一得到

（-+12）2（「+12）2（-+4）2+16（/+4）+64

+4）+-^-+16>2A/64+16=32

4|?|"产+4f2+4

,r+4

，下同方法一.

【整体点评】（II）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，

确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为

简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.

22

11.（I）土+上=1;（II）1.

82

【分析】（I）由题意得到关于a力的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

（II）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线的方程确定点P,。的纵坐标，将线段

长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得上+为=0,从而可得两

线段长度的比值.

22

【详解】（I）设椭圆方程为：a+方=1（4>6>0）,由题意可得:

3+4=1［a2=8

<ab,斛得：<2个，

［b2=2

a-2bi

22

故椭圆方程为：—+^=1.

82

（II）［方法一］:

设/（和弘），N（x2,y2）,直线ACV的方程为：y=k（x+4）,

22

与椭圆方程上+匕=1联立可得：%2+4左2（x+4）2=8,

82

即：（4k2+l）x2+32k2x+（Mk2-8）=0,

-32k264k2-8

则：%+々=

直线的方程为：>1=”（计2）,

令X=T可得：y=_2x工tL-l=-2x左（石+4）+1%］+2—（2左+1）（玉+4）

玉+2%+2%+2玉+2

答案第16页，共21页

同理可得：+4)

X2+2

很明显3坨<。,且竺L”,注意到,

p

Q\yQ

%+4+%+4=一⑵+1）X（一+4）（%+2）+（尤2+4）（国+2）

%+%=-（2k+1）

%+2%+2（玉+2）（x2+2）

而（占+4）®+2）+（*2+4）（髭+2）=2[XR+3（&+々）+8]

6442-8-32左2

=2+3x+8

4抬+1442+1

（64/8）+3x（-32左2）+8（4/+1）

=2x二0,

必2+1

故乃+%=6%=—%.

PByp_

从而该==1

yQ

[方法二]【最优解】：几何含义法

①当直线/与x轴重合，不妨设M(-27Io),N(2夜,0),由平面几何知识得

4-2^4+2金3,所以需=】

\BP\==A/2,|B2|=

20-220+2

②当直线/不与X轴重合时，设直线/：x=3-4,由题意，直线/不过A(-2,-1)和点(-2,1),

x=ty-4,

所以tw±2.设加（占,%）小（%,%），联立/丁得卜2+4}2一跖+8=0.由题意知

----F一=1,

[82

OfQ

A>0,所以产>4.且%+

,yy1+1...

由题意知直线的斜率存在.l:y+l=^—（x+2）.

MAXi+2

当％=T时,

一2（%+1）_]=-2y「2--2=-2%-（3一--4=-«+2）y=-Q+2）y

%

%+2再+2%+2再+2一2

丫-«+2)%所以1PBi«+2)必•(例一2)|卜防一2%

同理,2仇-2,尸「"|%|一0+2)为•一2)「辰必-2y2

答案第17页，共21页

y+y-2y

因为。1%=%+%，所以sc尸i2l=1

\D(2\%+%一2%M一%

【整体点评】方法一直接设直线MN的方程为：y=M%+4),联立方程消去y,利用韦达定

理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程

为/:尤=力-4,联立方程消去尤，直接利用韦达定理求得的纵坐标，运算更为简洁，应

为最优解法.

12.(I)详见解析；(II)详解解析；(III)证明详见解析.

【分析】(I)根据定义验证，即可判断；

(II)根据定义逐一验证，即可判断；

(III)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明/=©，最后，用数学归纳法证明数

%

列为等比数列即可.

解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得4，%,生成等比数列，之后证得

4M4,应成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.

【详解】(I)Q出=2,q=3,}=：eZ,{为}不具有性质①；

22

(II)QVi,/eN*,i＞"=2⑵e,2"/eN*.•.生=a2T.•.{%}具有性质①；

CljQj

QVnwN*,n23,mk=nfl=n—2*==q,,;.{%}具有性质②；

al

(III)解法一

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然q产。(〃N*),假设数列中存在负项，设乂=max{”|a“＜0},

第一种情况：若乂=1,即/＜0＜卬＜见＜/＜…，

由①可知：存在吗，满足&＜。，存在加2，满足5=幺＜0，

%4

由乂=1可知a=或，从而外=。3,与数列的单调性矛盾，假设不成立.

4ax

答案第18页，共21页

第二种情况：若N°22,由①知存在实数相，满足册=』<0,由N。的定义可知：m<N.,

q

22

另一方面，=由数列的单调性可知：m>NQ,

«i%

这与N。的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

2

其次，证明用=毁：

ax

利用性质②：取〃=3,此时%=「（％>/）,

由数列的单调性可知ak>ai>Q,

而。3=%,">%,故左<3,

at

2

此时必有k=2,/=l,即4=区，

%

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列｛%｝的前左（左23）项成等比数列，不妨设4=叱（l<s<k）,

其中q>0,4>1,（q<0,。<“<1的情况类似）